adj A=\(\\ \left[ \begin{matrix} 2 & 3 \\ 4 & -1 \end{matrix} \right] \) மற்றும் adj B=\(\left[ \begin{matrix} 1 & -2 \\ -3 & 1 \end{matrix} \right] \)எனில், adj(AB) ஆனது ______.

(a)

\(\left[ \begin{matrix} -7 & -1 \\ 7 & -9 \end{matrix} \right] \)

(b)

\(\left[ \begin{matrix} -6 & 5 \\ -2 & -10 \end{matrix} \right] \)

(c)

\(\left[ \begin{matrix} -7 & 7 \\ -1 & -9 \end{matrix} \right] \)

(d)

\(\left[ \begin{matrix} -6 & -2 \\ t & -10 \end{matrix} \right] \)

ρ(A)=r எனில் பின்வருவனவற்றுள் சரியானது எது?

(a)

எல்லா n வரிசை சீரணிக்கோவையும் பூச்சியமாவதில்லை 

(b)

'A' -ல் குறைந்தபட்சம் ஒரு r வரிசையுடைய பூச்சியமற்ற சிசிற்றினக்கோவையானது இடம் பெற்றிருத்தல் வேண்டும் மற்றும் அதைவிட அதிகமான வரிசை கொண்ட சிற்றிணிக் கோவைகளின் மதிப்புகள் பூச்சிங்களாகஇருத்தல் வேண்டும்.

(c)

'A' -ல் குறைந்தபட்சம் ஒரு (r+1) வரிசையுடைய சிற்றணிக்கோவையானது பூச்சியமாயிருத்தல் வேண்டும்.

(d)

எல்லா (r+1) வரிசை மற்றும் அதைவிட அதிகமான வரிசை கொண்ட சிற்றணிக் கோவைகள் மதிப்புகள் பூச்சியங்களாகயிருத்தல் கூடாது.

z, iz, மற்றும் z + iz என்ற கலப்பெண்கள் ஆர்கண்ட் தளத்தில் உருவாக்கும் முக்கோணத்தின் பரப்பளவு _______.

(a)

\(\frac { 1 }{ 2 } \)|z|²

(b)

|z|²

(c)

\(\frac32\)|z|²

(d)

2|z|²

\(\frac 1 {i}\) - ன் வீச்சு

(a)

0

(b)

\(\frac { \pi }{ 2 } \)

(c)

-\(\frac { \pi }{ 2 } \)

(d)

π

f மற்றும் g என்பன முறையே m மற்றும் n படியுள்ள பல்லுறுப்புக்கோவைகள்  மற்றும் h(x)=(f o g) (x) எனில், h-ன் படியானது_______.

(a)

mn

(b)

m+n

(c)

mⁿ

(d)

n^m

x-ன் மெய் மதிப்பிற்கு சமன்பாடு \(\left| \frac { x }{ x-1 } \right| +|x|=\frac { { x }^{ 2 } }{ |x-1| } \)க்கு _________ 

(a)

ஒரு தீர்வு 

(b)

இரண்டு தீர்வு 

(c)

குறைந்தபட்சம் இரண்டு தீர்வு 

(d)

தீர்வு இல்லை 

பின்வருவனவற்றில் எம்மதிப்புகளுக்கு sin⁻¹(cos x)\(=\frac{\pi}{2}-x \) க்கு மெய்யாகும். 

(a)

\(-\pi \le x\le 0\)

(b)

\(0\pi \le x\le 0\)

(c)

\(-\frac { \pi }{ 2 } \le x\le \frac { \pi }{ 2 } \)

(d)

\(-\frac { \pi }{ 4 } \le x\le \frac { 3\pi }{ 4 } \)

α = tan^-1 \(\left( \frac { \sqrt { 3 } x }{ 2y-x } \right) \), β = \(\left( \frac { 2x-y }{ \sqrt { 3 } y } \right) \) எனில் α - β = 

(a)

\(\frac { \pi }{ 6 } \)

(b)

\(\frac { \pi }{ 3 } \)

(c)

\(\frac { \pi }{ 2 } \)

(d)

\(\frac {- \pi }{ 3 } \)

x+y=6 மற்றும் x+2y=4 என்ற நேர்க்கோடுகளை விட்டங்களாகக் கொண்டு(6,2) புள்ளிவழிச் செல்லும் வட்டத்தின் ஆரம் _______.

(a)

10

(b)

2\(\sqrt {5}\)

(c)

6

(d)

4

பரவளையம் y²+4y+4x+2=0 - ன் செவ்வகலத்தின் சமன்பாடு 

(a)

x=-1

(b)

x=1

(c)

\(x=\cfrac { -3 }{ 2 } \)

(d)

\(x=\cfrac { 3 }{ 2 } \)

 \(\frac { x-2 }{ 3 } =\frac { y-1 }{ -5 } \frac { z+2 }{ 2 } \) என்ற கோடு x + 3y + αz + β = 0 என்ற தளத்தின் மீது இருந்தால், பின்னர் (α, β ) - என்பது _______.

(a)

(-5, 5)

(b)

(-6, 7)

(c)

(5, -5)

(d)

(6, -7)

\(\vec { a } =3\hat { i } +\hat { j } -2\hat { k } \) மற்றும் \(\vec { b } =\hat { i } -3\hat { j } +4\hat { k } \) என்ற மூலைவிட்டங்கள் கொண்ட இணைகரத்தின் பரப்பு ______

(a)

4

(b)

2\(\sqrt 3\)

(c)

4\(\sqrt 3\)

(d)

5\(\sqrt 3\)

ஆதியில் y² = x மற்றும் x² = y என்ற வளைவரைகளுக்கு இடைப்பட்ட கோணம் _______.

(a)

\({ \tan }^{ -1 }\frac { 3 }{ 4 } \)

(b)

\({ \tan }^{ -1 }\left( \frac { 4 }{ 3 } \right) \)

(c)

\(\frac { \pi }{ 2 } \)

(d)

\(\frac { \pi }{ 4 } \)

y = (x -1)³ என்ற வளைவரையின் வளைவு மாற்றப் புள்ளி_______.

(a)

(0,0)

(b)

(0,1)

(c)

(1,0)

(d)

(1,1)

f(x) = \(\frac { x }{ x+1 } \), எனில் அதன் வகையீடு _______.

(a)

\(\frac { -1 }{ { \left( x+1 \right) }^{ 2 } } dx\)

(b)

\(\frac { 1 }{ { \left( x+1 \right) }^{ 2 } } dx\)

(c)

\(\frac { 1 }{ x+1 } dx\)

(d)

\(\frac { -1 }{ x+1 } dx\)

\(\int _{ 0 }^{ 1 }{ ({ \sin }^{ -1 }{ x) }^{ 2 } } dx\) இன் மதிப்பு _______.

(a)

\(\frac { { \pi }^{ 2 } }{ 4 } -1\)

(b)

\(\frac { { \pi }^{ 2 } }{ 4 } +2\)

(c)

\(\frac { { \pi }^{ 2 } }{ 4 } +1\)

(d)

\(\frac { { \pi }^{ 2 } }{ 4 } -2\)

மூன்றாம் வரிசை வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டின் குறிப்பிட்டத் தீர்வில் உள்ள மாறத்தக்க மாறிலிகளின் எண்ணிக்கை _______.

(a)

3

(b)

2

(c)

1

(d)

0

சமவாய்ப்பு மாறி X -ன் நிகழ்தகவு அடர்த்தி சார்பு  மற்றும் E(X) = \(\frac{7}{12}\) ,எனில் a மற்றும் b -ன் மதிப்புகள் முறையே _______.

(a)

1 மற்றும் \(\frac{1}{2}\)

(b)

\(\frac{1}{2}\) மற்றும் 1

(c)

2 மற்றும் 1

(d)

1 மற்றும் 2

கழித்தலின் கீழ் பின்வரும் கணம் அடைவு பெறவில்லை.

(a)

(b)

(c)

(d)

மெய் எண்களின் கணம் -ன் மீது '✳️' பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது. இதில் எது -ன் மீது ஈருறுப்புச் செயலி அல்ல?

(a)

a✳️b=min(a-b)

(b)

a✳️b=max(a,b)

(c)

a✳️b=a

(d)

a✳️b=a^b

எந்த 2x2 அணிக்கும், \(A(adj\quad A)=\left[ \begin{matrix} 10 & 0 \\ 0 & 10 \end{matrix} \right] \) எனில் |A| காண்க.

\(1+i\sqrt { 3 } \) என்ற கலப்பெண்களை துருவ வடிவில் காண்க.

சமன்பாடு ax²+bx+c=0(c≠0) இன் மூலங்கள் sin∝, cos∝ எனில்(A+c)2=b²+c² என நிரூபிக்க.

மதிப்பீடுக. sin \(\left( \frac { 1 }{ 2 } { cos }^{ -1 }\frac { 4 }{ 5 } \right) \)

3x +4y -12=0 என்ற நேர்க்கோடு ஆய அச்சுகளை A மற்றும் B என்ற புள்ளிகளில் சந்திக்கின்றது. கோட்டுத்துண்டு AB-ஐ விட்டமாகக் கொண்ட வட்டத்தின் சமன்பாடு காண்க.

A (2, -1, 3) மற்றும் B(4, 2, 1) என்ற புள்ளிகள் வழிச் செல்லும் நேர்க்கோட்டின் கார்டீசியன் சமன்பாட்டை காண்க.

கணக்கிடுக : \(\underset{x\rightarrow a}{\lim}(\frac{x^{n}-a^{n}}{x-a})\)

சார்பு F(x,y) = \(\frac { { x }^{ 2 }+5xy-10{ y }^{ 2 } }{ 3x+7y } \) படி 1 உடைய சமபடித்தான சார்பு எனக்காட்டுக.

பின்வரும் சமன்பாடுகள் ஒவ்வொன்றும் அவற்றிற்கெதிரே கொடுக்கப்பட்டுள்ள வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டின் தீர்வாகும் எனக்காட்டுக.
y = ae^x + be^-x ; y^" - y = 0

கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ள கணங்களின் மீது வரையறுக்கப்பட்டிருக்கும் * ஓர் ஈருறுப்புச் செயலியா எனத் தீர்மானிக்க.
R -ன் மீது a * b = a. \(\left| b \right| \)

\(\left[ \begin{matrix} 2 \\ -3 \\ 6 \end{matrix}\begin{matrix} -2 \\ 4 \\ 2 \end{matrix}\begin{matrix} 4 \\ -2 \\ -1 \end{matrix}\begin{matrix} 3 \\ -1 \\ 7 \end{matrix} \right] \) என்ற அணியை ஏறுபடி வடிவில் மாற்றி அணித்தரம் காண்க.

z³ + 2\(\bar { z } \) = 0 என்ற சமன்பாட்டிற்கு ஐந்து தீர்வுகள் இருக்கும் என நிறுவுக

தீர்க்க: 2^x+2^x-1+2^x-2=7x+7^x-1+7^x-2

முதன்மை மதிப்பு காண்க tan^-1(\(\sqrt3\))

x²=-36y என்ற பரவளையத்தின் முனையை செவ்வகலத்தின் முனைகளோடு கோடுகளாக இணைக்க கிடைக்கும் முக்கோணத்தின் பரப்பைக் காண்க.

(5,4,2) என்ற \(\frac { x+1 }{ 2 } =\frac { y-3 }{ 3 } =\frac { z-1 }{ -1 }\) புள்ளியிலிருந்து என்ற நேர்க்கோட்டிற்கு வரையப்படும் செங்குத்துக் கோட்டின் அடியைக்  காண்க. மேலும், இச்செங்குத்துக் கோட்டின் சமன்பாட்டைக் காண்க.

\(\frac{1}{x}\) -ன் டெய்லர் தொடரின் விரிவை  x = 2 -ல் முதல் மூன்று பூச்சியமற்ற உறுப்புகள் வரை காண்க.

V (x, y, z) = xy + yz + zx, x, y, z ∈ R எனில் வகையீடு dV -ஐக் காண்க .

பின்வரும் வகைக்கெழுச் சமன்பாடுகளின் தீர்வுகளைக் காண்க:
\(\frac { dy }{ dx } -x\sqrt { { 25-x }^{ 2 } } =0\)

q ⟶ p ≡ ¬p ⟶ ¬q என நிறுவுக.

1. சுருக்குக: (1 + i)¹⁸

2. மெய்மை அட்டவணையைப் பயன்படுத்தி ¬( p V q) V (¬p ∧ q) மற்றும் ¬p என்ற கூற்றுகள் தர்க்க சமானமானவை எனச் சோதிக்க.

1. இரண்டு கோ-கோ கம்பங்களுக்கும்,விளையாட்டு வீரர்களும் இடையே உள்ள தூரங்களில் கூடுதல் எப்பொழுது 8மீ உள்ளது என ஒரு கோ-கோ வீரர் பயிற்சி நேரத்தில் ஓடும் போது உணருகிறார். அந்த கம்பங்களுக்கு இடையே உள்ள தூரம் 6 மீ எனில் அவர் ஓடுகின்ற பாதையின் சமன்பாட்டை காண்க.

2. பின்வரும் நேரியல் வகைக்கெழுச் சமன்பாடுகளின் தீர்வு காண்க:
   \(\frac { dy }{ dx } +\frac { y }{ (1-x)\sqrt { x } } =1-\sqrt { x } \)

1. ஒரு குறிப்பிட்ட தொலைநோக்கியில் பரவளைய பிரதிபலிப்பான் மற்றும் அதிபரவளைய பிரதிபலிப்பான் இரண்டும் உள்ளது. படத்தில் உள்ள தொலைநோக்கியில் பரவளையத்தின் முனையிலிருந்து 14மீ உயரத்தில் உள்ள F₁ என்ற அதிபரவளையத்தின் ஒரு குவியம் பரவளையத்தின் குவியமாகவும் உள்ளது. அதிபரவளையத்தின் இரண்டாவது குவியம் F₂ பரவளையத்தின் முனையிலிருந்து 2மீ உயரத்தில் உள்ளது. அதிபரவளையத்தின் முனை F₁-க்கு 1மீ கீழே உள்ளது. அதிபரவளையத்தின் மையத்தை ஆதியாகவும் குவியங்களை y-அச்சிலும் கொண்ட அதிபரவளையத்தின் சமன்பாடு காண்க.

2. மதிப்பிடுக : \(\int ^{2a}_{0} x^2 \sqrt {2ax- x^2 dx}\).

1. தீர்க்க: (2x²-3x+1)(2x²+5x+1)=9x².

2. \(\vec { r } =(-\hat { i } -3\hat { j } -5\hat { k } )+s(3\hat { i } +5\hat { j } +7\hat { k } )\) மற்றும் \(\vec { r } =(2\hat { i } +4\hat { j } +6\hat { k } )+t(\hat { i } +4\hat { j } +7\hat { k } )\) ஆகிய கோடுகள் ஒரே தளத்தில் அமையும் எனக்காட்டுக. மேலும், இக்கோடுகளைத் தன்னகத்தே கொண்டுள்ள தளத்தின் துணையலகு அல்லாத வெக்டர் சமன்பாட்டைக் காண்க.

1. பின்வரும் ஜோடி கோடுகளுக்கு \(\frac { x-3 }{ 3 } =\frac { y-8 }{ -1 } =\frac { z-3 }{ 1 } \) மற்றும் \(\frac { x+3 }{ -3 } =\frac { y+7 }{ 2 } =\frac { z-6 }{ 4 } \) இடையேயான குறைந்தபட்ச தூரம் காண்க.

2. கீழ்க்காணும் சார்புகளுக்கு மெக்லாரனின் விரிவைக் காண்க:
   \(\tan^{-1}(x); -1\le x \le 1\)

1. d-ஐ பொது வித்தியாசமாகக் கொண்டு a₁, a₂, a₃, ... an ஒரு கூட்டுத் தொடர் எனில், \(\tan \left[ \tan^{ -1 }\left( \frac { d }{ 1+{ a }_{ 1 }{ a }_{ 2 } } \right) +\tan^{ -1 }\left( \frac { d }{ 1+{ a }_{ 2 }{ a }_{ 3 } } \right) +....\tan^{ -1 }\left( \frac { d }{ 1+{ a }_{ n }{ a }_{ n-1 } } \right) \right] =\frac { { a }_{ n }-{ a }_{ 1 } }{ 1+{ a }_{ 1 }{ a }_{ n } } \) என நிறுவுக.

2. பின்வரும் சார்புகளின் சார்பகம் காண்க.
   f(x) = sin^-1 x + cos x

1. T20 ஆட்டமொன்றில் கடைசி ஓவரில் 1 பந்து மட்டும் வீசப்பட வேண்டிய நிலையில் சென்னை சூப்பர் கிங்ஸ் அணியானது 6 ரன்கள் (ஓட்டங்கள்) பெற்றால் மட்டுமே வெற்றி பெறும் நிலையில் இருந்தது. கடைசி பந்து மட்டையருக்கு வீசப்பட்டது. அவர் அதனை மிக உயரம் செல்லுமாறு அடிக்கிறார். பந்தானது செங்குத்து தளத்தில் சென்ற பாதை அத்தளத்தில் y = ax² + bx + c = +2 என்ற சமன்பாட்டின்படி உள்ளது. பந்தானது (10,8), (20,16), (40, 22) என்ற புள்ளிகள் வழியாகச் செல்கிறது எனில் சென்னை சூப்பர் கிங்ஸ் அணியானது ஆட்டத்தை வெட்டத்தை வென்றதா என்பதை முடிவு செய்யலாமா? உனது விடையினை கிராமர் விதியைக் கொண்டு நியாயப்படுத்துக. (எல்லா தொலைவுகளும் மீட்டர் அளவில் உள்ளன. பந்து சென்ற பாதையின் தளமானது மிகத்தொலைவில் உள்ள எல்லைக் கோட்டினை (70, 0) என்ற புள்ளியில் சந்திக்கும்).

2. U(x,y) = e^x sin என்க. இங்கு x = st², y = s²t s, t ∈R.\(\frac { \partial u }{ \partial s } \),\(\frac { \partial u }{ \partial t } \) காண்க. மற்றும் s = t = 1 இல் அவற்றை மதிப்பிடுக.