கணிதம் மற்றும் வேதியியல் இரண்டும் பாடங்களாக ஏற்ற மாணவர்களின் எண்ணிக்கை 70. இது கணிதத்தை ஏற்றவர்களின் 10% மற்றும் வேதியியல் ஏற்றவர்களின் 14% ஆகும். இவற்றில் ஏதாவதொன்றைப் பாடமாக ஏற்ற மாணவர்களின் எண்ணிக்கை________.

வெற்றற்ற கணங்கள் A மற்றும் B என்க. \(A \subset B\) எனில் \((A\times B)\cap(B\times A)=\) ________.

5x - 1 < 24 மற்றும் 5x + 1 > -24 என்ற அசமன்பாடுகளின் தீர்வு _______.

cos 1^o + cos2^o + cos 3^o + ........ + cos 179^o = _______.

52 சீட்டுகள் உள்ள ஒரு சீட்டுக்கட்டிலிருந்து தேர்ந்தெடுக்கப்படும் 5 சீட்டுகளில் குறைந்தபட்சம் ஒரு இராஜா சீட்டு இருக்குமாறு உள்ள வழிகளின் எண்ணிக்கை ______.

ⁿC₄,ⁿC₅,ⁿC₆ ஆகியவை AP யில் (கூட்டுத் தொடரில்) உள்ளன எனில், n-ன் மதிப்பு ______.

\(\frac { 1 }{ 2 } ,\frac { 3 }{ 4 } ,\frac { 7 }{ 8 } ,\frac { 15 }{ 16 } ,..\)என்ற தொடர் முறையின் n ஆவது உறுப்பு ______.

ஒரு சமபக்க முக்கோணத்தின் ஒரு முனை (2, 3) மற்றும் இப்புள்ளிக்கு எதிர்ப்புறம் அமையும் பக்கத்தின் சமன்பாடு x + y = 2 எனில் பக்கத்தின் நீளம் ______.

6x²+41xy-7y²=0 என்ற இரட்டைக் கோடுகள் x -அச்சுடன் ஏற்படுத்தும் கோணங்கள் \(\alpha\) மற்றும் β எனில், tan α tan β  = ?

A  என்பது ஒரு சதுர அணி எனில், பின்வருவனவற்றுள் எது சமச்சீரல்ல? 

\(\left[ \begin{matrix} \alpha & \beta \\ \gamma & -\alpha \end{matrix} \right] \) என்ற ஒரு சதுர அணியின் வர்க்கம் வரிசை 2 உடைய ஒரு அலகு அணி எனில், \(\alpha ,\beta \) மற்றும் \(\gamma \) என்பவை நிறைவு செய்யும் தொடர்பு______.

ஒரு வெக்டர்\(\overrightarrow { OP } \)  அனைத்து x மற்றும் y அச்சுகளின் மிகைத் திசையில் முறையே 60⁰ மற்றும் 45⁰-ஐ ஏற்படுத்துகின்றது .\(\overrightarrow { OP } \) ஆனது z= அச்சுடன் ஏற்படுத்தும் கோணம் ______.

\(\hat { i } +3\hat { j } +\lambda \hat { k } \)-ன் மீது \(5\hat { i } -\hat { j } -3 \hat { k } \) வீழலும்  \(5\hat { i } -\hat { j } -3 \hat { k } \)-ன் மீது \(\hat { i } +3\hat { j } +\lambda \hat { k } \) வீழலும் சமம் எனில் \(\lambda \)-ன் மதிப்பு ______.

சரியான அல்லது மிகவும் ஏற்புடைய விடையினைக் கொடுக்கப்பட்ட நான்கு மாற்று விடைகளிலிருந்து தேர்ந்தெடுக்கவும்.
\(\lim _{ \theta \rightarrow 0 }{ \frac { \sin { \sqrt { \theta } } }{ \sqrt { \sin { \theta } } } } \) ______.

சரியான அல்லது மிகவும் ஏற்புடைய விடையினைக் கொடுக்கப்பட்ட நான்கு மாற்று விடைகளிலிருந்து தேர்ந்தெடுக்கவும்.
\(f(x)=x(-1{ ) }^{ \left\lfloor \frac { 1 }{ x } \right\rfloor },\ x\le 0,\) இங்கு x என்பது x-க்குச் சமமான அல்லது குறைவான மீப்பெரு முழு எண், எனில், \(\lim _{ x\rightarrow 0 }{ f(x) } \)-ன் மதிப்பு   ______.

சரியான அல்லது மிகவும் ஏற்புடைய விடையினைக் கொடுக்கப்பட்ட நான்கு மாற்று விடைகளிலிருந்து தேர்ந்தெடுக்கவும்.
\(f\left( x \right) =\begin{cases} x-5 \quad ,\quad x\le 1 \\ 4{ x }^{ 2 }-9\quad ,\quad 1< x< 2 \\ 3x+4\quad ,\quad x\ge 2 \end{cases} \) எனில், x=2-ல் f(x)-ன் வலப்பக்க வகைக்கெழு ______.

சரியான அல்லது மிகவும் ஏற்புடைய விடையினைக் கொடுக்கப்பட்ட நான்கு மாற்று விடைகளிலிருந்து தேர்ந்தெடுக்கவும்.
\(f^{ ' }\left( a \right) \) உள்ளது எனில், \(\lim _{ x\rightarrow a }{ \frac { xf\left( a \right) -af\left( x \right) }{ x-a } } \) என்பது ______.

\(\int { { e }^{ -7x } } \) sin 5xdx = ______.

\(\int { \sin } \sqrt { x } dx\) = ______.

ஒரு பையில் 5 வெள்ளை மற்றும் 3 கருப்பு நிறப்பந்துகள் உள்ளன. பையிலிருந்து தொடர்ச்சியாக 5 பந்துகளை மீண்டும் வைக்கப்பட்டால் எடுக்கும்போது பந்துகளின் நிறம் மாறி மாறிக் கிடைப்பதற்கான நிகழ்தகவானது______.

கீழ்க்காண்பவனற்றுள் எவை முடிவுள்ள கணம், முடிவில்லாத கணம் என்பதனைக் குறிப்பிடுக.
{ x ∈ N : x என்பது ஒரு ஒற்றைப்படை பகா எண்}.

வரைபடம் வரையாமல் y = x² + x + 2  ஆகியவை x- அச்சை வெட்டுமா எனச் சோதித்தறியவும். மேலும் வெட்டும் புள்ளிகளைக் காண்க. 

பின்வரும் சார்புகளை ஒற்றைச்சார்பு, இரட்டைச்சார்பு மற்றும் இரண்டும் இல்லை என வகைப்படுத்துக.
sin (cos (x))

3 ஆண்கள், 2 பெண்கள் மற்றும் 1 திருநங்கை ஆகியோர்களை 5 ஆண்கள், 2 பெண்கள் மற்றும் 2 திருநங்கைகளில் இருந்து எத்தனை வழிகளில் தேர்ந்தெடுக்கலாம்?

\(\sqrt { 3 } \)+y+4=0 என்ற கோட்டைச் செங்குத்து வடிவத்திற்கு மாற்றுக.

\(x,y,z\neq 1\) எனில்,\(\left| \begin{matrix} 1 & { \log _{ x }{ y } } & \log _{ x }{ z } \\ \log _{ y }{ x } & 1 & \log _{ y }{ z } \\ \log _{ z }{ x } & \log _{ z }{ y } & 1 \end{matrix} \right| \) ன் மதிப்பு காண்க. 

f(x) = 2x² + 3x - 5 R- ன் எல்லா புள்ளிகளிலும் தொடர்ச்சியானது என நிறுவுக. 

பின்வரும் சார்புத் தொடர்புடைய சாராமாறிகளைப் பொறுத்து வகையிடுக.
\(y=\frac { \sin { x } }{ { x }^{ 2 } } \)

தொகையிடுக: \(\left( { x }^{ 5 } \right) ^{ \frac { 1 }{ 8 } }\)

ஒரு தொடர்வண்டி செல்லும் புதிய பாலத்தின் அமைப்பிற்காக விருது கிடைப்பதற்கான நிகழ்தகவு 0.48 நேர்த்தியான முறையில் மூலப்பொருட்களைப் பயன்படுத்தியதற்கான விருது கிடைப்பதற்கான நிகழ்தகவு 0.36 மற்றும் மேற்கண்ட இரு விருதுகளையும் பெறுவதற்கான நிகழ்தகவு 0.2 எனில் (i) குறைந்தது ஒரு விருதாவது கிடைப்பதற்கு (ii) ஒரே ஒரு விருது மட்டும் கிடைப்பதற்கான நிகழ்தகவுகள் யாவை? 

பின்வருவனவற்றை, தகுந்த A, B, C கணங்களைக் கொண்டு சரிபார்க்கவும்.
C - (B-A) = (C∩A)U(C∩B')

log ₄2^8x = 2^log₂8  - ன் தீர்வு காண்க.

\(y=\frac { 2\sin { \alpha } }{ 1+\cos { \alpha } +\sin { \alpha } } \) எனில் \(\frac { 1-\cos { \alpha } +\sin { \alpha } }{ 1+\sin { \alpha } } =y\) என நிறுவுக.

IITJEE என்ற வார்த்தையில் உள்ள அனைத்து எழுத்துகளையும் எல்லா வழிகளிலும் வரிசை மாற்றம் செய்து உருவாக்கப்படும் எழுத்துச்சரங்களை ஆங்கில அகராதியில் உள்ளவாறு வரிசைப்படுத்தும் போது IITJEE என்ற வார்த்தையின் தரம் காண்க.

\(y=x+\frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } +\frac { { x }^{ 3 } }{ 3 } +\frac { { x }^{ 4 } }{ 4 } +...\)எனில் \(x=y+\frac { { y }^{ 2 } }{ 2! } +\frac { { y }^{ 3 } }{ 3! } +\frac { y^{ 4 } }{ 4! } +...\) என நிறுவுக

3x+2y+9 = 0 மற்றும் 12x+8y-15=0 ஆகியவை இணைகோடுகள் எனக் காட்டுக.

A மற்றும் B ஆகியவை \(\vec { a } \) மற்றும் \(\vec { b } \)-ன் நிலைவெக்டர்கள் எனில் AB என்ற கோட்டுத்துண்டை மூன்று சம பாகங்களாக பிரிக்கும் புள்ளிகளின் நிலை வெக்டர்கள் \(\frac { \vec { a } +2\vec { b } }{ 3 } \) மற்றும் \(\frac { \vec { b } +2\vec { a } }{ 3 } \) என நிறுவுக.

பின்வரும் எல்லை மதிப்பினைக் காண்க: \(\lim _{ x\rightarrow 0 }{ \frac { \sqrt { 1-x } -1 }{ { x }^{ 2 } } } \)

 \(y=\sqrt { { x }^{ 2 }+4 } .\sin ^{ 2 }{ x } .{ 2 }^{ x }\)எனில், y-ன் வகைக்கெழுவைக் காண்க. 

கீழ்காண்பவற்றைத் தொகையிடுக: \(x(1-x)^{17}\)

“f மற்றும் g o f ஆகியவை ஒன்றுக்கொன்றாக இருந்தால், g ஆனதும் ஒன்றுக்கொன்றாகும்” என்ற கூற்று தவறு என நிரூபிக்க

கீழ்க்காணும் விகிதமுறு கோவைகளைப் பகுதி பின்னங்களாகப் பிரித்தெழுதுக.
\(\frac{x}{(x^2+1)(x-1)(x+2)}\)

tan²\(\theta\) = 1 - k² எனில், sec \(\theta\) + tan³\(\theta\) cosec \(\theta\) = (2 - k²)^3/2 என நிறுவுக. மேலும் இவற்றை நிறைவு செய்யும் k இன் மதிப்பைக் காண்க.

cosec\(\theta\) - sin \(\theta\) = a³ மற்றும் sec\(\theta\) - cos b\(\theta\)  = b³ எனில், a²b² (a² + b²) = 1 என நிறுவுக.

கணிதத் தொகுத்தறிதல் மூலம், எல்லா இயல் எண்கள் n-க்கும் \(\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{n(n+1)}=\frac{n}{n+1}\) என நிறுவுக.

(a + x)ⁿ -ன் விரிவில் தொடர்ச்சியான மூன்று உறுப்புகளின் ஈருறுப்புக் கெழுக்களின் விகிதம் 1:7:42 எனில், n-ன் மதிப்புக் காண்க .

2x+3y = 10 என்ற கோட்டிற்கு இணையான கோட்டின் ஆய அச்சுகளின் வெட்டுத்துண்டுகளின் கூடுதல் 15 எனில்,அக்கோட்டின் சமன்பாட்டைக் காண்க.

3x + 4y - 12 = 0 என்ற நேர்க்கோட்டிற்கு i) செங்குத்தான ii) இணையான நேர்க்கோடுகளின் தொகுப்பினைக் காண்க

கீழ்காண்பவற்றில் எவை பூஜ்ஜிய மற்றும் புஜ்ஜியமற்ற கோவை அணிகள் எனக் காண்க.
\(\left[ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{matrix} \right]\)

\(\vec { a } =2\hat { i } +3\hat { j } -4\hat { k } ,\vec { b } =3\hat { i } -4\hat { j } +5\hat { k } ,\vec { c } =-3\hat { i } +2\hat { j } +3\hat { k } \)எனில் கீழ்க்காணும் வெக்டர்களின் எண்ணளவையும் திசைக் கொசைன்களையும் காண்க
(i) \(\vec { a } +\vec { b } +\vec { c }\)   (ii) \(3\vec { a } -2\vec { b } +5\vec { c }\)

கொடுக்கப்பட்ட சார்புக்குக் கொடுக்கப்பட்ட புள்ளி x_0-இல் தொடர்ச்சியானதா அல்லது  தொடர்ச்சியற்றதா எனக் காரணத்துடன் கூறுக .
\({ x }_{ 0 }=1,f(x)=\begin{cases} \frac { { x }^{ 2 }-1 }{ x-1 } ,\quad x\neq 1 \\ 2\quad ,\quad x=1 \end{cases}\quad \)

\(x \log { x } \) -ஐ பொறுத்து  \({ x }^{ x }\)-ன் வகையீடு காண்க.

மதிப்பிடுக: \(\int { { tan }^{ -1 }\left( \frac { 2x }{ 1-{ x }^{ 2 } } \right) dx } \)

X என்பவர் 70% தருணங்களில் உண்மையே பேசுவார்.Y என்பவர் 90% தருணங்களில் உண்மையே பேசுவார் எனில் ஒரே கருத்தை இருவரும் கூறுகையில் ஒருவருக்கொருவர் முரண்பட்ட கருத்தினைத் தெரிவிப்பதற்கான நிகழ்தகவு யாது?