பின்வரும் எல்லை மதிப்பினைக் காண்க:\(\lim _{ \sqrt { x } \rightarrow 0 }{ \frac { \sqrt { { x }^{ 2 }+1 } -1 }{ \sqrt { { x }^{ 2 }+16 } -4 } } \)

பின்வரும் எல்லை மதிப்பினைக் காண்க:\(\lim _{ x\rightarrow 2 }{ \frac { 2-\sqrt { x+2 } }{ \sqrt [ 3 ]{ 2 } -\sqrt [ 3 ]{ 4-x } } } \)

\(\lim _{ x\rightarrow { 0 }^{ + } }{ x\left[ \left\lfloor \frac { 1 }{ x } \right\rfloor +\left\lfloor \frac { 2 }{ x } \right\rfloor +...+\left\lfloor \frac { 15 }{ x } \right\rfloor \right] } =120\) என நிறுவுக. 

கொடுக்கப்பட்ட சார்புக்குக் கொடுக்கப்பட்ட புள்ளி x_0-இல் தொடர்ச்சியானதா அல்லது  தொடர்ச்சியற்றதா எனக் காரணத்துடன் கூறுக .
\({ x }_{ 0 }=1,f(x)=\begin{cases} \frac { { x }^{ 2 }-1 }{ x-1 } ,\quad x\neq 1 \\ 2\quad ,\quad x=1 \end{cases}\quad \)

\(f(x)=\begin{cases} \frac { { x }^{ 4 }-1 }{ x-1 } ,\quad ;x\neq 1 \\ \alpha \quad ,\quad ;\quad x=1 \end{cases}\) என வரையறுக்கப்பட்ட சார்பில் x = 1-இல் சார்பு தொடர்ச்சியானது எனில், \(\alpha \)-ன் மதிப்பு காண்க. 

நிறுவுக: \(\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { 1 }{ 1.2 } +\frac { 1 }{ 2.3 } +\frac { 1 }{ 3.4 } +...+\frac { 1 }{ n(n+1) } =1 } \)

கொடுக்கப்பட்ட சார்புக்குக் கொடுக்கப்பட்ட புள்ளி x_0-இல் தொடர்ச்சியானதா அல்லது  தொடர்ச்சியற்றதா எனக் காரணத்துடன் கூறுக .
\({ x }_{ 0 }=3,f(x)=\begin{cases} \frac { { x }^{ 2 }-9 }{ x-3 } ,;\quad x\neq 3 \\ 5\quad ,\quad ;\quad x=3 \end{cases}\)

கீழ்க்காணும் சார்புக்குக் குறிப்பிட்டுள்ள புள்ளிகளில் வகைமை இல்லை என்பதை நிறுவுக.\(f(x)=\begin{cases} -x+2,\quad x\le 2 \\ 2x-4,\quad x>2 \end{cases};\ x=2\)

\({ x }^{ 2 }+x+1\)-ஐப் பொறுத்து \(\tan ^{ -1 }{ (1+{ x }^{ 2 }) } \) -ஐ வகையிடுக.  

\({ x }^{ 4 }+{ y }^{ 4 }=16\) எனில் \(y^{ '' }\) காண்க.

 \(u=\tan ^{ -1 }{ \frac { \sqrt { 1+{ x }^{ 2 } } -1 }{ x } } ,\ v=\tan ^{ -1 }{ x } \) எனில் \(\frac { du }{ dv } \) காண்க.

\(x=a(\theta +\sin { \theta ),\ y=a(1-\cos { \theta } ) } \) எனில், \(\theta =\frac { \pi }{ 2 } \)எனும்போது \({ y }^{ '' }=\frac { 1 }{ a } \) என நிரூபிக்க.

\(y={ (\cos ^{ -1 }{ x } ) }^{ 2 }\) எனில், \((1-{ x }^{ 2 })\frac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } -x\frac { dy }{ dx } -2=0\)என நிரூபிக்க.மேலும் \(x=0\) -ன் போது \({ y }_{ 2 }\) மதிப்பைக் காண்க.

f''(x)=12x-6 மற்றும் f(1)=30 f'(1)=5 எனில், f(x) காண்க.  

ஒருவருக்கு ஏற்பட்ட காயம் ஆனது \(=\frac {6}{ t+ 2^2}\)  செ.மீ ²/நாள் 0 < t   ≤ 8 என்ற வீதத்தில் ஞாயிற்றுக்கிழமை முதல் குணமடையத் தொடங்குகிறது. திங்கட்கிழமை அன்று காயப்பகுதியின் பரப்பு 1.4 செ.மீ² எனில் (இங்கு t என்பது நாட்களைக் குறிக்கிறது)
(அ) ஞாயிற்றுக்கிழமையன்று காயப்பகுதியின் பரப்பளவு எவ்வளவாக இருந்திருக்கும்?
(ஆ) இதே வீதத்தில் தொடர்ந்து குணமாகிக் கொண்டிருக்கும்போது வியாழக்கிழமையன்று எதிர்பார்க்கும் காயப் பகுதியின் பரப்பு எவ்வளவு?

கீழ்காண்பவற்றைத் தொகையிடுக: x² e^5x

தொகையிடுக: x³ e^-x

பின்வருவனவற்றின் தொகை காண்க. x⁵ \({ e }^{ { x }^{ 2 } }\)

x - ஐப் பொறுத்து கீழ்காண்பவற்றைத் தொகையிடுக.
\(\frac{2x-3}{x^{2}+4x-12}\) 

நடப்பு ஆண்டுக்கான FIDE சதுரங்கப் போட்டியில் (World chess Federation) கோப்பையை வென்றிட X, Y மற்றும் Z என்ற மூன்று நபர்கள் போட்டியிடுகின்றனர்.X-ன் வெற்றி வாய்ப்பு Y-ன் வெற்றி வாய்ப்பைப் போல 3மடங்காக இருக்கும் .Y-ன் வெற்றி வாய்ப்பு Z -ன் வெற்றி வாய்ப்பைப் போல 3மடங்காக இருக்கும்எனில் ஒவ்வொருவரும் கோப்பையை வெல்லுவதற்கான நிகழ்தகவைக் காண்க.

ஒரு தொழிற்சாலையில் இயந்திரங்கள் I மற்றும் II என இருவகை உள்ளன. இயந்திரம் I தொழிற்சாலையின் உற்பத்தியில் 60% மற்றும் இயந்திரம் -II உற்பத்தியில் 40% தயாரிக்கிறது. மேலும் இயந்திரம் I-ன் மூலம் உற்பத்தி செய்யப்பட்ட [பொருட்களில் 2% குறைபாடுள்ளதாகவும் இயந்திரம் II-ன் மூலம் உற்பத்தி செய்யப்பட்ட பொருட்களில் 4% குறைபாடு உள்ளதாகவும் இருக்கின்றன. உற்பத்தி செய்யப்பட்ட பொருட்களிலிருந்து, சமவாய்ப்பு முறையில் ஒரு போறும் தேர்ந்தெடுக்கப்படுகிறது. அப்பொருள் குறைபாடுடன் இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு யாது?

திருமணமான ஆண்கள் மற்றும் பெண்கள் பிரதான நேரத்தில் காணும் தொலைகாட்சி நிகழ்ச்சிகளைப் பற்றி ஒரு விளம்பர நிறுவனத்தின் நிர்வாகி ஆராய்ந்த பொழுது கடந்த காலப் பதிவுகளின்படி பிரதான நேரத்தில் தொலைக்காட்சி நிகழ்ச்சிகளைக் காணும் மனைவியர் 60 சதவீதத்தினர் ஆவர். மனைவியர் தொலைகாட்சி நிகழ்ச்சிகளைக் காணும் நேரத்தில் 40% கணவர்களும் தொலைக்காட்சி நிகழ்ச்சிகளை காண்கின்றனர். மனைவியர் தொலைக்காட்சி நிகழ்ச்சிகளைக் காணாத நேரங்களில் 30% கணவர்கள் தொலைக்காட்சி நிகழ்ச்சிகளைக் காண்கின்றனர் எனில் 
(i) பிரதான நேரத்தில் கணவர் தொலைக்காட்சி காணும் நிகழ்தகவு
(ii) கணவர் தொலைக்காட்சி காணும் நேரங்களில் மனைவியும் தொலைக்காட்சி காணும் நிகழ்தகவு ஆகியவற்றைக் காண்க.  

எட்டு நாணயங்கள் ஒரு முறை சுண்டப்படுகின்றன (i) சரியாக இரண்டு பூக்கள்.(ii)குறைந்தது இரண்டு பூக்கள் (iii) அதிகபட்சமாக இரண்டு பூக்கள் கிடைப்பதற்கான நிகழ்தகவுகளைக் காண்க.

ஒரு நாணயம் இருமுறை சுண்டிவிடப்படுகிறது.E என்பது முதல் முறை சுண்டும்போது தலை விழுதல்,F என்பது இரண்டாம் முறை சுண்டும்போது தலை விழுதல் என வரையறுக்கப்பட்டால் பின்வரும் நிகழ்தகவினைக் காண்க.
(i) P(EUF)
(ii) P(E/F)
(iii) P(\(\overline{E}/F\))
(iv) E மற்றும் F சார்பிலா நிகழ்ச்சிகளா?

ஒரு நகரத்தில் உள்ள பிரதான சாலையில் 4 குறுக்குச் சாலையுடன் போக்குவரத்து சமிக்கைகள் உள்ளன. ஒவ்வொரு போக்குவரத்து சமிக்கை திறப்பதற்கு அல்லது மூடுவதற்கான நிகழ்தகவு முறையே 0.4 மற்றும் 0.6 ஆகும்
(i) முதல் குறுக்குச்சாலையில் ஒரு மகிழுந்தானது நிற்காமல் செல்வதற்கான நிகழ்தகவு.
(ii) முதல் இரண்டு குறுக்குச் சாலையில் ஒரு மகிழுந்தானது நிற்காமல் செல்வதற்கான நிகழ்தகவு
(iii) மூன்றாவது குறுக்குச் சாலையில் நின்று மற்ற குறுக்குச் சாலைகளில் நிற்காமல் செல்வதற்கான நிகழ்தகவு
(iv) ஒரு குறுக்குச் சாலையில் நின்று மற்ற குறுக்குச் சாலைகளில் நிற்காமல் செல்வதற்கான நிகழ்தகவு காண்க.