2x + y + z = 5, x + y + z = 4, x − y + 2z = 1 என்ற சமன்பாடுகள் ஒருங்கமைவு உடையது எனக்காட்டுக மேலும் அவற்றைத் தீர்க்க.

பின்வரும் சமன்பாடுகள் ஒருங்கமைவு உடையது எனில் k-ன் மதிப்பைக் காண்க.x + 2y − 3z = −2, 3x − y − 2z = 1, மற்றும் 2x + 3y − 5z = k.

A=\(\left( \begin{matrix} 1 & 1 & -1 \\ 2 & -3 & 4 \\ 3 & -2 & 3 \end{matrix} \right) \)மற்றும் B=\(\left( \begin{matrix} 1 & -2 & 3 \\ -2 & 4 & -6 \\ 5 & 1 & -1 \end{matrix} \right) \) எனில் AB மற்றும் BA இவற்றின் தரத்தினைக் காண்க.

பின்வரும் சமன்பாட்டு தொகுப்பினை தர முறையில் தீர்க்க.
x+y+z=9, 1x+5y+7z=52, 2x+y-z=0

5x+3y+7z=4, 3x+26y+2z=9, 7x+2y+10z=5 என்ற சமன்பாடுகளை தர முறையில் ஒருங்கமைவுடையது எனக்காட்டுக. மேலும் அவற்றை தீர்க்க.

ஒரு தொகை ரூ.5,000 ஆனது ஆண்டிற்கு 6%, 7% மற்றும் 8% தரக்கூடிய மூன்று பங்குகளில் பிரித்து முதலீடு செய்யப்பட்டு, ஆண்டு மொத்த வருமானமாக ரூ358 பெறப்படுகிறது. முதல் இரண்டு முதலீடுகளிலிருந்து கிடைக்கும் வருமானம், மூன்றாவது முதலீட்டிலிருந்து கிடைக்கும் வருமானத்தை விட ரூ.70 அதிகம் எனில், அம்மூன்று பங்குகளில் செலுத்தப்படும் முதலீடுகளை தரமுறையில் காண்க.

தரப்பட்ட சமன்பாடுகள் ஒருங்கமைவு அற்றவை எனில் k-ன் மதிப்பு காண்க.x + y + z = 7, x + 2y + 3z = 18, y + kz = 6 .

‘a’ மற்றும் ‘b’ இன் எம்மதிப்புகளுக்கு x + y + z = 6, x + 2y + 3z = 10, x + 2y + az = b என்ற சமன்பாடுகள்
(i) எந்த தீர்வும் பெற்றிராது
(ii) ஒரே ஒரு தீர்வை பெற்றிருக்கும்
(iii) எண்ணிக்கையற்ற தீர்வுகளைப் பெற்றிருக்கும் என ஆராய்க.

3 வணிகக் கணிதப் புத்தகங்கள், 2 கணக்கு பதிவியல் புத்தகங்கள் மற்றும் ஒரு வணிகவியல் புத்தகம் ஆகியவற்றின் மொத்த விலை ரூ.840. இரண்டு வணிகக் கணித புத்தங்கள், ஒரு கணக்குபதிவியல் மற்றும் ஒரு வணிகவியல் புத்தகத்தின் மொத்த விலை ரூ.570. ஒரு வணிகக் கணித புத்தகம், ஒரு கணக்குப்பதிவியல் புத்தகம் மற்றும் 2 வணிகவியல் புத்தகங்களின் மொத்த விலை ரூ.630 எனில், ஒவ்வொரு புத்தகத்தின் விலையை கிரேமரின் விதியைக் கொண்டுக் காண்க.

ஒரு வாரப் பத்திரிக்கைக்குச் சந்தா கட்டுமாறு கேட்டுக் கொள்ளப்படும் கடிதம் அந்த பத்திரிக்கை அலுவலகத்திலிருந்து ஏராளமானவர்களுக்கு அனுப்பப்படுகிறது. கடிதம் பெற்றவர்களில், சந்தாதாரர்களாக இருந்து மீண்டும் சந்தா கட்டுபவர் 60% ஆகும். சந்தாதாரர்களாக இல்லாமலிருந்து புதியதாக சந்தா கட்டுபவர்கள் 25% ஆகும். இதே போல் முன்னர் கடிதம் அனுப்பப்பட்ட போது கடிதம் பெற்றவர்களில் 40% பேர் சந்தாதாரர்களாகச் சேர்ந்தனர் எனத் தெரிகிறது. தற்போது கடிதத்தைப் பெறுபவர்களில் எத்தனை சதவீதம் பேர் சந்தாதாரர்களாவர் என எதிர்பார்க்கலாம்.

தரப்பட்ட சமன்பாடுகள் ஒருங்கமைவு அற்றவை எனில் k-ன் மதிப்பைக் காண்க.
x+y+z=1, 3x-y-z=4, x+5y+5z=k

பின்வருவனவற்றை x-ஐ பொறுத்து தொகையிடுக.
\(\frac { x }{ 2x^{ 4 }-3x^{ 2 }-2 } \)

மதிப்பிடுக: \(\int _{ 0 }^{ \frac { \pi }{ 2 } }{ \frac { \sin x }{ \sin x+\cos x } } dx\)

மதிப்பிடுக: \(\int _{ 2 }^{ 5 }{ \frac { \sqrt { x } }{ \sqrt { x } +\sqrt { 7-x } } } \)dx

உற்பத்தி செய்யப்படும் x அழகு பொருள்களின் இறுதிநிலைச் செலவு சார்பு \(\frac { dC }{ dx } \)=100-10x+0.1x² என்க. அந்நிறுவனத்தின் மாறாச் செலவு ரூ.500 எனில், அந்நிறுவனத்தின் மொத்தச் செலவுச் சார்பு மற்றும் சராசரி செலவு ஆகியவற்றை காண்க.

ஒரு நிறுவனத்தின் உற்பத்தி பொருள்களின் இறுதிநிலை செலவு சார்பு C'(x)=5+0.13x, இறுதிநிலை வருவாய் சார்பு R'(x) =18 மற்றும் மாறாச் செலவு ரூ.120 எனில், இலாபச் சார்பைக் காண்க.

நெகிழ்ச்சி சார்பு \(\frac { { E }_{ y } }{ { E }_{ x } } =\frac { x }{ x-2 } \). x =6 மற்றும் y =16 எனும் போது அதன் தொடக்க நிலைச் சார்பைக் காண்க.

ஒரு வளைவரையின் மீதுள்ள ஏதேனும் ஒரு புள்ளி (x,y)-இல் வரையப்படும் செங்கோடு (1,0) என்ற புள்ளி வழியேச் செல்கிறது. வளைவரை (1,2) என்ற புள்ளி வழியாகச் செல்லுமாயின், இதனை வகைக்கெழு சமன்பாட்டு வடிவில் மாற்றி, வளைவரையின் சமன்பாட்டைக் காண்க.

x = 0 மற்றும் x = log 2 எனும்போது (D²-3D+2)y=e^3x -ன் தீர்வானது பூச்சியமாகிறது எனில், சமன்பாட்டை தீர்க்க.

வகைக்கெழு சமன்பாட்டைத் தீர்க்க : \(\frac { dy }{ dx } =\frac { x-y }{ x+y } \)

கொடுக்கப்பட்டுள்ள விவரங்களைக் கொண்டு 1964 மற்றும் 1966 ஆம் ஆண்டுகளுக்கான உற்பத்திகளைக் காண்க.

வருடம்	1961	1962	1963	1964	1965	1966	1967
உற்பத்தி	200	220	260	-	350	-	430

ஒரு தேர்வில் குறிப்பிட்ட இடைவெளிக்குள் மதிப்பெண்கள் பெறும் மாணவர்களின் எண்ணிக்கை கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ளன:

மதிப்பெண்கள்	0-19	20-39	40-59	60-79	80-99
மாணவர்களின் எண்ணிக்கை	41	62	65	50	17

70-க்கு குறைவான மதிப்பெண்கள் பெறும் மாணவர்களின் எண்ணிக்கையை காண்க.

கீழ்க்கண்ட விவரங்களிலிருந்து மாத வருமானம் ரூ.26-க்கு மிகாமல் பெறும் தொழிலாளர்களின் எண்ணிக்கையை இலக்ராஞ்சியின் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி காண்க.

வருமானம் மிகாமல்(ரூ)	15	25	30	35
தொழிலாளர்களின் எண்ணிக்கை	36	40	45	48

கொடுக்கப்பட்டுள்ள விவரங்களைக் கொண்டு 45-க்கு குறைவான மதிப்பெண்கள் பெற்ற மாணவர்களின் எண்ணிக்கையை காண்க.

மதிப்பெண்கள்	30-40	40-50	50-60	60-70	70-80
மாணவர்களின் எண்ணிக்கை	31	42	51	35	31

கொடுக்கப்பட்டுள்ள மதிப்புகளிலிருந்து இருபடி பல்லுறுப்புக் கோவையைக் காண்க.

x	0	1	2	3	4	5	6	7
y	1	2	4	7	11	16	22	29