If F(\(\alpha\)) = \(\left[ \begin{matrix} \cos { \alpha } & 0 & \sin { \alpha } \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin { \alpha } & 0 & \cos { \alpha } \end{matrix} \right] \)  எனில், [F(\(\alpha\))]^-1 = F(-\(\alpha\)) எனக்காட்டுக.

A,B, மற்றும் C என்ற பொருட்களின் விலை ஓர் அலகிற்கு முறையே ரூ. x,y, மற்றும் z ஆகும். P என்பவர் B-ல் 4 அலகுகள் வாங்கி, A-ல் 2 அலகையும் C-ல் 5 அலகையும் விற்கிறார். Q என்பவர் C-ல் 2 அலகுகள் வாங்கி A-ல் 3 அலகுகள் மற்றும் B-ல் 1 அலகையும் விற்கிறார். R என்பவர் A-ல் 1 அலகை வாங்கி, B-ல் 3 அலகையும் C அலகில் ஒரு அலகையும் விற்கிறார். இவ்வணிகத்தில் P,Q, மற்றும் R முறையே ரூ.15,000, ரூ.1,000 மற்றும் ரூ.4,000 வருமானம் ஈட்டுகின்றனர் எனில் A,B மற்றும் C பொருட்களின் ஓரலகு விலை எவ்வளவு என்பதைக் காண்க. (நேர்மாறு அணி காணல் முறையில் இக்கணக்கைத் தீர்க்க.)

பின்வரும் நேரியச் சமன்பாடுகளின் தொகுதியின் ஒருங்கமைவினைச் சோதிக்கவும், மற்றும் இயலுமாயின் தீர்க்கவும்.
x - y + z = -9, 2x - 2y + 2z = -18, 3x - y + 3z + 27 = 0.

நேர்மாறு அணி காணல் முறையில் தீர்க்க 
2x-y+3z=9
x+y+z=9
x-y+z=2

கிராமரின் விதியைப் பயன்படுத்தித் தீர்க்க.
x+2y-2z=-3
2x+3y+z=4

z = x + iy மற்றும் arg \(\left( \frac { z-i }{ z+2 } \right) =\frac { \pi }{ 4 } \) எனில், x² + y² + 3x - 3y + 2 = 0 எனக்காட்டுக.

\(a=cos\alpha +isin\alpha ,b=cos\beta +isin\beta \) மற்றும் \(c=cos\gamma +isin\gamma \) மற்றும் \( \cfrac { b }{ c } +\cfrac { c }{ a } +\cfrac { a }{ b } =1\) \(cos\left( \beta -\gamma \right) +cos\left( \gamma -\alpha \right) +cos\left( \alpha -\beta \right) =1\) என நிறுவுக.

தீர்க்க \({ \tan }^{ -1 }\left( \frac { x-1 }{ x-2 } \right) +{ \tan }^{ -1 }\left( \frac { x+1 }{ x+2 } \right) =\frac { \pi }{ 4 } \)

f(x) = tan^-1 \(\sqrt { \frac { a-x }{ a+x } } \) -a < x < a என்ற சார்பை சுருங்கிய வடிவத்தில் எழுதுக.

சூரியனிலிருந்து பூமியின் அதிகபட்சம் மற்றும் குறைந்தபட்ச தூரங்கள் முறையே 152×10⁶கி.மீ மற்றும் 94.5×10⁶ கி.மீ. நீள்வட்டப் பாதையின் ஒரு குவியத்தில் சூரியன் உள்ளது. சூரியனுக்கும் மற்றொரு குவியத்திற்குமான தூரம் காண்க.

ஒரு தொங்கு பாலத்தின் 60மீ சாலைப்பகுதிக்கு பரவளைய கம்பி வடம் படத்தில் உள்ளவாறு பொறுத்தப்பட்டுள்ளது. செங்குத்துக் கம்பி வடங்கள் சாலைப்பகுதியில் ஒவ்வொன்றுக்கும் 6மீ இடைவெளி இருக்குமாறு அமைக்கப்பட்டுள்ளது. முனையிலிருந்து முதல் இரண்டு செங்குத்து கம்பி வடங்களுக்கான நீளத்தைக் காண்க.

\({ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }=9\) மற்றும் \({ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }-2x+8y-7=0\) ஆகிய வட்டங்களுடன் செங்குத்தாக வெட்டிக் கொள்வதும்,(1,2) எனும் புள்ளி வழிச் செல்வதுமான வட்டத்தின் சமன்பாட்டைக் காண்க.

\(\vec { r } =(\hat { i } -\hat { j } +3\hat { k } )+t(2\hat { i } -\hat { j } +4\hat { k } )\) என்ற கோட்டை உள்ளடக்கியதும் \(\vec { r } .(\hat { i } +2\hat { j } +\hat { k } )=8\) என்ற தளத்திற்குச் செங்குத்தானதுமான தளத்தின், துணையலகு வடிவ வெக்டர், மற்றும் கார்டீசியன் சமன்பாடுகளைக் காண்க.

கோள வடிவில் உள்ள ஒரு ஊதுபையில் காற்றினை வினாடிக்கு 1000செமீ³ எனும் வீதத்தில் நாம் ஊதினால் ஆரம் 7 செ மீ எனும் போது ஊதுபையின் ஆரத்தின் மாறுபாட்டு வீதம் என்ன? மேலும் மேற்பரப்பு மாறுபாட்டு வீதத்தையும் கணக்கிடுக.

s(t) = 2t³-9t²+12t-4, இங்கு t ≥ 0 எனும் விதிப்படி ஒரு கோட்டில் ஒரு துகள் நகர்கிறது.
(i) எந்நேரங்களில் துகளின் திசை மாறுகின்றது?
(ii) முதல் 4 வினாடிகளில் துகள் பயணித்த தூரம் என்ன?
(iii) திசைவேகம் பூச்சிய மதிப்பை அடையும் நேரங்களில் எல்லாம் துகளின் முடுக்கம் காண்க?

கீழ்க்காணும் எல்லைகளை , தேவைப்படும் இடங்களில் லோபிதாலின் விதியை பயன்படுத்தி காண்க :
\(\underset{x\rightarrow 0^{+}}{\lim}(\cos x)^{\frac{1}{x^{2}}}\)

கொடுக்கப்பட்ட சுற்றளவுள்ள செவ்வகங்களுள், சதுரம் மட்டுமே பெரும பரப்பைக் கொண்டிருக்கும் என நிறுவுக.

U(x,y) = e^x sin என்க. இங்கு x = st², y = s²t s, t ∈R.\(\frac { \partial u }{ \partial s } \),\(\frac { \partial u }{ \partial t } \) காண்க. மற்றும் s = t = 1 இல் அவற்றை மதிப்பிடுக.

y = cos x  மற்றும் y = sin x என்ற வளைவரைகள் x = \(\frac {\pi}{4}\)  மற்றும் x =  \(\frac {5\pi}{4}\)  என்ற க  கோடுகள் ஆகியவற்றுக்கு இடையே உள்ள அரங்கத்தின் பரப்பைக்  காண்க.

தீர்க்க: \(x =(y+\sqrt { { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } } )dx-xdy=0,y(1)=0\)

தீர்வு காண்க: ye^y dx = (y³ + 2xe^y) dy.

வினாடிக்கு 10 மீட்டர் வேகத்தில் இயங்கும் ஒரு மின்விசைப் படகின் இயந்திரம் நிறுத்தப்படுகிறது. அதன் பின்னர் ஏதேனும் ஒரு நேரத்தில் (இயந்திரம் நிறுத்தப்பட்ட பிறகு) மின் விசைப் படகின் வேகம் குறையும் வீதமானது அந்நேரத்தில் அதன் திசைவேகத்திற்கு சமமாக உள்ளது எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. இயந்திரம் நிறுத்தப்பட்ட 2 வினாடிகளுக்குப் பிறகு விசைப்படகின் திசைவேகம் காண்க.

கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ள குவிவு பரவல் சார்பு F(x)-இன் தனிநிலை சமவாய்ப்பு மாறி X -யின் நிகழ்தகவு நிறைசார்பினைக் காண்க.

மேலும் (i) P(X < 0) மற்றும் (ii) P(X ≥ −1) காண்க.

கீழ்க்காணும் சார்பு ஒரு நிகழ்தகவு நிறை சார்பினைக் குறிக்கிறது என்க

x	1	2	3	4	5	6
f(x)	c2	2c2	3c2	4c2	c	2c

(i) c-ன் மதிப்பு (ii) சராசரி மற்றும் பரவற்படி காண்க.

இரு நிபந்தனைக் கூற்றை நிபந்தனைக் கூற்றுடன் இணைத்து p ↔️ q ≡ (p ➝ q) ∧ (q⟶ p) என்ற சமானமானவை பண்பை நிரூபிக்க.