ஒரு சிறுவன் ax²+bx+c என்ற பாதையில் ( − 6, 8),( − 2,− 12), மற்றும் (3,8) எனும் புள்ளிகள் வழியாக செல்கிறான். P( 7, 60) என்ற புள்ளியில் உள்ள அவனுடைய நண்பனை சந்திக்க விரும்புகிறான். அவன் அவனுடைய நண்பனை சந்திப்பானா? (காஸ் நீக்கல் முறையை பயன்படுத்துக).

λ -வின் எம்மதிப்பிற்கு x+y+3z=0, 4x+3y+λz=0, 2x+y+2z=0 என்ற தொகுப்பிற்கு
(i) வெளிப்பைடைத் தீர்வு
(ii) வெளிப்படையற்ற தீர்வு கிடைக்கும்.

f(x)=ax²+ba+c மற்றும் f(1)=0, f(2)=-2, f(3)=-6 எனில் அணிக்கோவை முறையைப் பயன்படுத்தி தீர்க்க.

காஸ்-ஜோர்டன்முறையை பயன்படுத்தி, λ,μ, இன் எம்மதிப்புகளுக்கு 2x-3y+5z=12, 3x+y+λz=μ, x-7y+8z=17
i) ஒரே ஒரு தீர்வை பெற்றிருக்கும் 
ii) எண்ணிக்கையற்ற தீர்வுகளை பெற்றிருக்கும் 
iii) யாதொரு தீர்வும் பெற்றிராது என்பதனை ஆராய்க.

z = x + iy என்ற ஏதேனும் ஒரு கலப்பெண் Im\(\left( \frac { 2z+1 }{ iz+1 } \right) \) = 0 எனுமாறு அமைந்தால் z-ன் நியமப்பாதை 2x² + 2y² + x - 2y = 0 எனக்காட்டுக.

சுருக்குக: \({ \left( -\sqrt { 3 } +3i \right) }^{ 31 }\)

சரிபார்க்க
(i) 2 arg (-1) ≠ arg(-1)2

\({ (2-2i) }^{ \frac { 1 }{ 3 } }\) - ன் எல்லா மூலங்கள் மற்றும் அவற்றின் பெருக்கல் பலனை காண்க

தீர்க்க: (x − 5)(x − 7)(x + 6)(x + 4) = 504

x²-5x+6 மற்றும் x²-5x+16 ஆகிய பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் அதிகபட்ச சாத்தியமான மிகை எண் மற்றும் குறையெண் பூச்சியமாக்கிகளின் எண்ணிக்கையை ஆராய்க. வளைவரைகளின் தோராய வரைபடம் வரைக.

இங்கு a,b,c,d மற்றும் p வெவ்வேறான பூச்சியமற்ற மெய்யெண்கள் எனில்(a²+b²+c²)P²-2(ab+bc+cd)p+(b²+c²+d²)≤0. நிரூபிக்க a,b,c,d பெருக்கத் தொடரில் உள்ளன மற்றும் ad=bc.

சமன்பாடுகள் x²+bx+ca=0 மற்றும் x2+cx+ab=0 க்கு சமமான ஒரு மூலம் உள்ளது மற்றும் b≠c எனில் x²+ax+bc=0வை அவைகளின் மூலங்கள் நிறைவு செய்கின்றன எனக் காட்டுக.

முதன்மை மதிப்பு காண்க.
cosec^-1(-1)

d-ஐ பொது வித்தியாசமாகக் கொண்டு a₁, a₂, a₃, ... an ஒரு கூட்டுத் தொடர் எனில், \(\tan \left[ \tan^{ -1 }\left( \frac { d }{ 1+{ a }_{ 1 }{ a }_{ 2 } } \right) +\tan^{ -1 }\left( \frac { d }{ 1+{ a }_{ 2 }{ a }_{ 3 } } \right) +....\tan^{ -1 }\left( \frac { d }{ 1+{ a }_{ n }{ a }_{ n-1 } } \right) \right] =\frac { { a }_{ n }-{ a }_{ 1 } }{ 1+{ a }_{ 1 }{ a }_{ n } } \) என நிறுவுக.

பின்வரும் சார்புகளின் சார்பகம் காண்க.
f(x) = sin^-1 x + cos x

நிரூபிக்க: \({ tan }^{ -1 }\left( \frac { 1-x }{ 1+x } \right) -{ tan }^{ -1 }\left( \frac { 1-y }{ 1+y } \right) =sin\left( \frac { y-x }{ \sqrt { 1+{ x }^{ 2 } } .\sqrt { 1+{ y }^{ 2 } } } \right) \)

பொறியாளர் ஒருவர் குறுக்கு வெட்டு பரவளையமாக உள்ள ஒரு துணைக்கோள் ஏற்பியை வடிவமைக்கின்றார். ஏற்பி அதன் மேல்பக்கத்தில் 5மீ அகலமும், முனையிலிருந்து குவியம்
1.2 மீ தூரத்திலும் உள்ளது.
(a) முனையை ஆதியாகவும், x-அச்சு பரவளையத்தின் சமச்சீர் அச்சாகவும் கொண்டு ஆய அச்சுகளைப் பொருத்தி பரவளையத்தின் சமன்பாடு காண்க.
(b) முனையிலிருந்து செயற்கைக்கோள் ஏற்பியின் ஆழம் காண்க.

பின்வருவனவற்றிகான முனை, குவியம், இயக்குவரையின் சமன்பாடு மற்றும் செவ்வகல நீளம் காண்க:
 x²-2x+8y+17=0

பரவளையம் y2=4ax மீதமைந்த ஒரு சமபக்க முக்கோணத்தின் உச்சி புள்ளி பரவளையத்தின் முனையின் மீது அமைந்திருக்கிறது. அதனுடைய நீளத்தை காண்க.

\(\cfrac { { x }^{ 2 } }{ 25 } +\cfrac { { y }^{ 2 } }{ 9 } =1\) என்ற நீள்வட்டமும் ஒரு அதிபரவளையமும் ஒரே குவிங்களை கொண்டுள்ளன. அதிபரவளையத்தின் மையத் தகவு 2 எனில் அதனுடைய சமன்பாடு காண்க.

(2,2,1), (9,3,6) ஆகிய புள்ளிகள் வழிச் செல்லக்கூடியதும் 2x+6y+6z=9 என்ற தளத்திற்குச் செங்குத்தாக அமைவதுமான தளத்தின் துணையலகு வெக்டர் சமன்பாடு மற்றும் கார்டீசியன் சமன்பாடுகளைக் காண்க.

(2,2,1),(1,2,3) என்ற புள்ளிகள் வழிச் செல்வதும் (2,1,-3) மற்றும் (-1,5,-8) என்ற புள்ளிகள் வழிச் செல்லும் நேர்க்கோட்டிற்கு இணையாகவும் அமையும் தளத்தின் துணையலகு வெக்டர் சமன்பாடு, மற்றும் கார்டீசியன் சமன்பாடுகளைக் காண்க.

\(\left| \overset { \rightarrow }{ A } \right| =\overset { \wedge }{ i } +\overset { \wedge }{ j } +\overset { \wedge }{ k } \) மற்றும் \(\overset { \wedge }{ i } =\overset { \wedge }{ j } -\overset { \wedge }{ k } \) என்பன கொடுக்கப்பட்ட இரண்டு வெக்டர்கள் எனில் \(\overset { \rightarrow }{ A } \times \overset { \rightarrow }{ B } =\overset { \rightarrow }{ C } \) மற்றும் \(\overset { \rightarrow }{ A } .\overset { \rightarrow }{ B } =3\) என்ற சமன்பாடுகளை பூர்த்தி செய்யும் B யைக் காண்க.

(1, 1, -1) வழிச்செல்லும் மற்றும் தளங்கள் x + 2y +3z - 7 = 0 மற்றும் 2x - 3y + 4z = 0 க்கு செங்குத்து தளத்தின் வெக்டர் மற்றும் கார்டீசியன் சமன்பாட்டை காண்க.  

y = x² மற்றும் y=(x-3)² என்ற வளைவரைகளுக்கு இடைப்பட்ட கோணத்தைக் காண்க.

கீழ்க்காணும் சார்புகளை வரைக:
 y = \(\frac { 1 }{ { 1+e }^{ -x } } \)

சார்பு f(x,y) = \(\frac { { x }^{ 2 }-{ y }^{ 2 } }{ { y }^{ 2 }+1 } \)ஒவ்வொரு (x, y)∈ R² -க்கும் தொடர்ச்சியானது என நிறுவுக

U(x,y,z) = xyz, x=e^-t, y=e^-t cost, z= sin t t ∊ Rஎனில் \(\frac { dU }{ dt } \) -ஐக் காண்க.

மதிப்பிடுக : \(\int ^1_0\) [2x]dx, [.] என்பது மீப்பெரு முழுக்கள் சார்பு.

பின்வரும் வரையறுத்த  தொகையிடல்களை, தொகையிடலின்  பண்புகளைப்  பயன்படுத்தி மதிப்பு  காண்க:
 \(\int ^{1}_{0} \frac {log(1+x)}{1+x^2} \) dx

தீர்க்க: (x² - 3y²) dx + 2xydy = 0.

வெப்பநிலை 25⁰C ஆக உள்ள ஒரு அறையில் வைக்கப்பட்டுள்ள நீரின் வெப்பநிலை 100⁰C ஆகும். 10 நிமிடங்களில் நீரின் வெப்பநிலை 80⁰C ஆகக் குறைந்து விடுகிறது எனில், 20 நிமிடங்களுக்குப் பின்னர் நீரின் வெப்பநிலை காண்க.
(i) 20 நிமிடங்களுக்குப் பின்னர் நீரின் வெப்பநிலை 
(ii) வெப்பநிலை 40^oC ஆக இருக்கும்போது நேரம் காண்க.

ஒரு தனிநிலை சார்பு X -ன் நிகழ்தகவு நிறை சார்பானது

x	1	2	3	4	5	6
f(x)	k	2k	6k	5k	6k	10k

எனில், (i) P(2 < X < 6) (ii) P(2 ≤ X < 5) (iii) P(X ≤ 4) (iv) P(3 < X) என்பவற்றைக் காண்க.

ஒரு சமவாய்ப்பு மாறி X-க்கு நிகழ்தகவு நிறைசார்பானது

x	1	2	3	4	5
f(x)	k2	2k2	3k2	2k	3k

எனில்
(i) k மதிப்பு
(ii) P(2 ≤ X < 5)
(iii) P(3

\(M=\left\{ \left( \begin{matrix} x \\ x \end{matrix}\begin{matrix} x \\ x \end{matrix} \right) :x\epsilon R-\{ 0\} \right\} \) என்க. * என்பது அணிப் பெருக்கல் எனக் கொள்க. * ஆனது M –ன் மீது அடைவு பெற்றுள்ளதா எனத் தீர்மானிக்க. அவ்வாறெனில், ∗ ஆனது M -ன் மீது பரிமாற்றுப் பண்பு, சேர்ப்புப் பண்புகளையும் நிறைவு செய்யுமா எனச் சோதிக்க.

இரு நிபந்தனைக் கூற்றை நிபந்தனைக் கூற்றுடன் இணைத்து p ↔️ q ≡ (p ➝ q) ∧ (q⟶ p) என்ற சமானமானவை பண்பை நிரூபிக்க.