\(\vec { \beta } \) மற்றும் \(\vec { \gamma } \) ஆகியவை அமைக்கும் தளத்தில் அமைந்துள்ளது எனில் _______.

\(\hat { i } +\hat { j } ,\hat { i } +2\hat { j } ,\hat { i } +\hat { j } +\pi \hat { k } \)என்ற வெக்டர்களை ஒரு புள்ளியில் சந்திக்கும் விளிம்புகளாகக் கொண்ட இணைகரத் திண்மத்தின் கன அளவு _______.

\(\overset { \rightarrow }{ d } =\overset { \rightarrow }{ a } \times \left( \overset { \rightarrow }{ b } \times \overset { \rightarrow }{ c } \right) +\overset { \rightarrow }{ b } \times \left( \overset { \rightarrow }{ c } \times \overset { \rightarrow }{ a } \right) +\overset { \rightarrow }{ c } \left( \overset { \rightarrow }{ a } +\overset { \rightarrow }{ b }\right)\) எனில்,

வெக்டர்கள் \(\overset { \rightarrow }{ a } \) மற்றும் \(\overset { \rightarrow }{ b } \) க்கு இடையேயான கோணம் θ எனில் sin θ என்பது

நேர்கோடுகள் \(\frac { x+2 }{ a } =\frac { y }{ -3 } =\frac { z-1 }{ 4 } \) மற்றும் \(\frac { x+2 }{ a } =\frac { y }{ -3 } =\frac { z-1 }{ a } \) செங்குத்து எனில் (\(\vec { a } \)) ன் மதிப்பு 

எண்ணளவுகள் முறையே 1, 1, 2 உடைய வெக்டர்கள் \(\vec { a } .\vec { b } \) மற்றும் \(\vec { c } \) என்க. \(\vec { a } \times (\vec { a } \times \vec { c } )+\vec { b } \) = 0 எனில் \(\vec { a } \) மற்றும் \(\vec { c } \) க்கு இடையேயான குறுங்கோணம்

எந்த ஒரு பூச்சியமற்ற வெக்டர்கள் \(\overset { \rightarrow }{ a } \) மற்றும் \(\overset { \rightarrow }{ b } \)  \(\overset { \rightarrow }{ a } \times \overset { \rightarrow }{ b } \) என்பது
(1) \(\overset { \rightarrow }{ a } \) மற்றும் \(\overset { \rightarrow }{ b } \) ன் குறுக்குப் பெருக்கல் 
(2) \(\left| \overset { \rightarrow }{ a } \right| \left| \overset { \rightarrow }{ b } \right| sin\theta \) 
(3) \(\left| \overset { \rightarrow }{ a } \right| \left| \overset { \rightarrow }{ b } \right| sin\theta \overset { \wedge }{ n } \)
(4) - \(\left( \overset { \rightarrow }{ b } \times \overset { \rightarrow }{ a } \right)\)

புள்ளி \(\vec { r } =(\hat { i } -\hat { k } )+t(3\hat { i } +2\hat { j } +7\hat { k } )\) மற்றும் தளம் \(\vec { r } =(\hat { i } +\hat { j } -\hat { k } )\) = 8 -க்கான வெட்டும்புள்ளி
(1) (8, 6, 22)
(2) (3t + 1, 2t, 7t -1) t - ன் ஏதேனும் மதிப்புக்கு
(3) (-8, -6, -22)
(4) \(\frac { x-1 }{ 3 } =\frac { y-0 }{ 2 } =\frac { z+1 }{ 7 } \) = t ன் எதேனும் மதிப்புக்கு

\(4\hat { i }+3\hat { j }-7\hat { k }\) என்ற வெக்டரை நிலை வெக்டராகக் கொண்ட புள்ளி வழிச் செல்வதும் \(2\hat { i }-6\hat { j }+7\hat { k }\) என்ற வெக்டருக்கு இணையானதுமான நேர்க்கோட்டின் துணை அலகு அல்லாத வெக்டர் சமன்பாடு, மற்றும் கார்ட்டீசியன் சன்பாடுகளைக் காண்க.

ஆதியில் இருந்து 12 அலகுகள் தூரத்தில் இருப்பதும் \(6\hat { i } +2\hat { j } -3\hat { k } \) என்ற வெக்டருக்குச் செங்குத்தானதாகவும் உள்ள தளத்தின் வெக்டர் மற்றும் கார்டீசியன் சமன்பாடுகளைக் காண்க.

பின்வரும் கோடுகளுக்கு இடைப்பட்ட குறுங்கோணம் காண்க.
2x = 3y = −z மற்றும் 6x = -y = -4z

தளங்கள் \(\vec { r } .(\hat { i } +2\hat { j } +3\hat { k } )\) = 7 மற்றும் \(\vec { r } .(\lambda \hat { i } +\hat { j } -7\hat { k } )=26\) செங்குத்து எனில் λ ன் மதிப்பை காண்க

வெக்டர் முறையில், AC மற்றும் BD ஆகியவற்றை மூலைவிட்டங்களாகக் கொண்ட நாற்கரம் ABCD-ன் பரப்பு \(\frac { 1 }{ 2 } \left| \overrightarrow { AC } \times \overrightarrow { BD } \right| \) என நிறுவுக.

\(\vec { a }\), \(\vec { b }\), \(\vec { c }\), \(\vec { d }\) என்பன ஒரு தள வெக்டர்கள் எனில், \(\left( \vec { a } \times \vec { b } \right) \times \left( \vec { c } \times \vec { d } \right) =\vec { 0 }\) என நிரூபிக்க.

\(\hat { 2i } +\hat { j } -\hat { k } \) என்னும் விசை ஆதிப்புள்ளி வழியாகச் செயல்படுகிறது எனில், (2,0,1) − என்ற புள்ளியைப் பொறுத்து அவ்விசையின் முறுக்குத் திறனின் எண்ணளவு மற்றும் திசைக் கொசைன்களைக் காண்க.

கோடு \(\frac { x-2 }{ 3 } =\frac { y-1 }{ -1 } =\frac { z-3 }{ 2 } \) மற்றும் தளம் 3x + 4y + z + 5 = 0 க்கு இடையேயான கோணம் காண்க.

\(\vec { r } =(\hat { i } -\hat { j } +3\hat { k } )+t(2\hat { i } -\hat { j } +4\hat { k } )\) என்ற கோட்டை உள்ளடக்கியதும் \(\vec { r } .(\hat { i } +2\hat { j } +\hat { k } )=8\) என்ற தளத்திற்குச் செங்குத்தானதுமான தளத்தின், துணையலகு வடிவ வெக்டர், மற்றும் கார்டீசியன் சமன்பாடுகளைக் காண்க.

\(\left| \overset { \rightarrow }{ A } \right| =\overset { \wedge }{ i } +\overset { \wedge }{ j } +\overset { \wedge }{ k } \) மற்றும் \(\overset { \wedge }{ i } =\overset { \wedge }{ j } -\overset { \wedge }{ k } \) என்பன கொடுக்கப்பட்ட இரண்டு வெக்டர்கள் எனில் \(\overset { \rightarrow }{ A } \times \overset { \rightarrow }{ B } =\overset { \rightarrow }{ C } \) மற்றும் \(\overset { \rightarrow }{ A } .\overset { \rightarrow }{ B } =3\) என்ற சமன்பாடுகளை பூர்த்தி செய்யும் B யைக் காண்க.