\(\vec { a } ,\vec { b } ,\vec { c } \) என்பன \(\vec { b } .\vec { d } \) ≠ 0 மற்றும் \(\vec { a } .\vec { b } \) ≠ 0 எனுமாறுள்ள மூன்று வெக்டர்கள் என்க. \(\vec { a } (\vec { b } \times \vec { c } )=(\vec { a } \times \vec { b } )\times \vec { c } \) எனில், \(\vec { a } \) மற்றும் \(\vec { c } \) என்பவை _______.

\(\vec { a } \) மற்றும் \(\vec { b } \) என்பன இணை வெக்டர்கள் எனில் \(\left[ \vec { a } ,\vec { c } ,\vec { b } \right] \) ன் மதிப்பு _______.

\(\vec { \beta } \) மற்றும் \(\vec { \gamma } \) ஆகியவை அமைக்கும் தளத்தில் அமைந்துள்ளது எனில் _______.

\(\vec { b } \) க்கு செங்குத்தாகவும் \(\vec { c } \) க்கு இணையாகவும் உள்ள வெக்டர் \(\vec { a } \) என்றவாறுள்ள ஓரலகு வெக்டர்கள் \(\vec { a } ,\vec { b } ,\vec { c } \) எனில் \(\vec { a } \times \left( \vec { b } \times \vec { c } \right) \)க்குச் சமமானது _______.

 \(\frac { x-2 }{ 3 } =\frac { y-1 }{ -5 } \frac { z+2 }{ 2 } \) என்ற கோடு x + 3y + αz + β = 0 என்ற தளத்தின் மீது இருந்தால், பின்னர் (α, β ) - என்பது _______.

\(\vec { r } =(6\hat { i } -\hat { j } -3\hat { k } )+t(-\hat { i } +4\hat { j } )\) என்ற கோடு  \(\vec { r } .(\hat { i } +\hat { j } -\hat { k } )\) = 3 என்ற தளத்தை சந்தை சந்திக்கும் புள்ளியின் அச்சுத்தூரங்கள்_______.

\(\left( \overset { \wedge }{ i } +\overset { \wedge }{ j } \right) \) மற்றும் \(\left( \overset { \wedge }{ j } +\overset { \wedge }{ k } \right) \) வெக்டர்களின் செங்குத்து வெக்டர்களின் எண்ணிக்கை 

\(\vec { a }\) = \(\hat { i }\)-2\(\hat { j }\)+3\(\hat { k }\), \(\vec { b }\) = 2\(\hat { i }\)+\(\hat { j }\)-2\(\hat { k }\), \(\vec { c }\) = 3\(\hat { i }\)+2\(\hat { j }\)+\(\hat { k }\), எனில் \(\vec { a } .\left( \vec { b } \times \vec { c } \right)\) காண்க.

7\(\hat { i }\)+\(\lambda\)\(\hat { j }\)-3\(\hat { k }\), \(\hat { i }\)+2\(\hat { j }\)-\(\hat { k }\), -3\(\hat { i }\)+7\(\hat { j }\)+5\(\hat { k }\) என்ற வெக்டர்களை ஒரு புள்ளியில் சந்திக்கும் விளிம்புகளாகக் கொண்ட இணைகரத் திண்மத்தின் கன அளவு 90 கன அலகுகள் எனில், \(\lambda\) -ன் மதிப்பைக் காண்க.

\(4\hat { i }+3\hat { j }-7\hat { k }\) என்ற வெக்டரை நிலை வெக்டராகக் கொண்ட புள்ளி வழிச் செல்வதும் \(2\hat { i }-6\hat { j }+7\hat { k }\) என்ற வெக்டருக்கு இணையானதுமான நேர்க்கோட்டின் துணை அலகு அல்லாத வெக்டர் சமன்பாடு, மற்றும் கார்ட்டீசியன் சன்பாடுகளைக் காண்க.

(2,3,4), (-1,4,5) மற்றும் (8,1,2) என்ற புள்ளிகள் ஒரு கோடமைப் புள்ளிகள் எனக் காட்டுக.

\(2\hat { i } +6\hat { j } +3\hat { k }\) என்ற நிலை வெக்டரை கொண்ட புள்ளி வழியாகச் செல்வதும் \(\hat { i } +3\hat { j } +5\hat { k }\) என்ற வெக்டருக்குச் செங்குத்தானதுமான தளத்தின் வெக்டர் மற்றும் கார்டீசியன் சமன்பாடுகளைக் காண்க.

\(\left( \vec { a } .\left( \vec { a } \times \vec { b } \right) \right) \vec { a } =\left( \vec { a } \times \vec { b } \right) \times \left( \vec { a } \times \vec { c } \right) \)என நிறுவுக.

\(\vec { r } .(\hat { i } +\hat { j } -2\hat { k } )=3\) மற்றும் 2x - 2y + z =2 என்ற தளங்களுக்கு இடைப்பட்ட கோணம் காண்க.

x + 2y − 2z +1 = 0 மற்றும் 2x + 4y − 4z + 5 = 0ஆகிய இரண்டு இணையான தளங்களுக்கு இடைப்பட்ட தொலைவு காண்க.

ஒரு சாய்சதுரத்தின் மூலை விட்டங்கள் ஒன்றையொன்று செங்குத்தாக இருசமக்கூறிடும் என வெக்டர் முறையில் நிறுவுக.

\(\Delta\) ABC ன் நடுக்கோட்டு மையம் G எனில், வெக்டர் முறையில், ( \(\Delta\)GAB -ன் பரப்பு) = ( \(\Delta\)GBC -ன் பரப்பு) = ( \(\Delta\)GCA -ன் ப பரப்பு) = \(\frac { 1 }{ 3 } \) ( \(\Delta\)ABC -ன் பரப்பு) என நிறுவுக.

\(\vec { a }\), \(\vec { b }\), \(\vec { c }\) என்ற ஒரு தளம் அமையா மூன்று வெக்டர்களை ஒரு புள்ளியில் சந்திக்கும் விளிம்புகளாகக் கொண்ட இணைகரத்தின் திண்மத்தின் கன அளவு 4 கன அலகுகள் எனில் \(\left( \vec { a } +\vec { b } \right) .\left( \vec { b } \times \vec { c } \right) +\left( \vec { b } +\vec { c } \right) .\left( \vec { c } \times \vec { a } \right) +\left( \vec { c } +\vec { a } \right) .\left( \vec { a } \times \vec { b } \right)\)-ன் மதிப்பைக் காண்க.

\(\vec { a }\)=2\(\hat { i }\)+3\(\hat { j }\)-\(\hat { k }\), \(\vec { b }\)=-\(\hat { i }\)+2\(\hat { j }\)-4\(\hat { k }\), \(\vec { c }\)=\(\hat { i }\)+\(\hat { j }\)+\(\hat { k }\) எனில் \(\left( \vec { a } \times \vec { b } \right) .\left( \vec { a } \times \vec { c } \right)\) ன் மதிப்புக் காண்க.

(1,-2,4) என்ற புள்ளி வழிச் செல்வதும் x+2y-3z=11 என்ற தளத்திற்கு செங்குத்தாகவும்  \(\frac { x+7 }{ 3 } =\frac { y+3 }{ -1 } =\frac { z }{ 1 }\) என்ற கோட்டிற்கு இணையாகவும் அமையும் தளத்தின் துணையலகு அல்லாத வெக்டர் சமன்பாடு மற்றும் கார்டீசியன் சமன்பாடுகளைக் காண்க.

\(\vec { a } =\hat { i } -\hat { j } ,\hat { b } =\hat { i } -4\hat { k } ,\vec { c } =3\hat { j } -\hat { k } \)மற்றும் \(\vec { d } =2\hat { i } +5\hat { j } +\hat { k } \) எனில்
(i) \(\left( \vec { a } \times \vec { b } \right) \times \left( \vec { c } \times \vec { d } \right) =\left[ \vec { a } ,\vec { b } ,\vec { d } \right] \vec { c } -\left[ \vec { a } ,\vec { b } ,\vec { c } \right] \vec { d } \)
(ii) \(\left( \vec { a } \right) \times \left( \vec { b } \right) \times \left( \vec { c } \times \vec { d } \right) =\left[ \vec { a } ,\vec { c } ,\vec { d } \right] \vec { b } -\left[ \vec { b } ,\vec { c } ,\vec { d } \right] \vec { a } \)