X = {1, 2, 3, 4} மற்றும் R = { (1,1), (1,2), (1,3), (2,2), (3,3), (2,1), (3,1), (1, 4), (4,1)} எனில் R என்பது ________.

f(x) =  x² என்ற சார்பு இருபுறச் சார்பாக அமைய வேண்டுமெனில் அதன் சார்பகமும், துணைச்சார்பகமும் முறையே________.

log₃11 log₁₁ 13 log₁₃ 15 log₁₅ 27 log₂₇ 81-ன் மதிப்பு _______.

\(\frac { \sin { \left( A-B \right) } }{ \cos { A } \cos { B } } +\frac { \sin { \left( B-C \right) } }{ \cos { B } \cos { C } } +\frac { \sin { \left( C-A \right) } }{ \cos { C } \cos { A } } =\) _______.

எல்லாம் ஒற்றை எண்களாகக் கொண்ட 5 இலக்க எண்களின் எண்ணிக்கை______.

ஒரு சதுரங்க அட்டையில் உள்ள செவ்வகங்களின் எண்ணிக்கை ______.

e^-2x என்ற தொடரில் x⁵ ன் கெழு ______.

சாய்வு 2 உடைய கோட்டிற்கு ஆதியிலிருந்து வரையப்படும் செங்குத்துக் கோட்டின் \(\sqrt { 5 } \)  எனில், அக்கோட்டின் சமன்பாடு ______.

y= –x என்ற கோட்டிற்கு (2, 3) என்ற புள்ளியின் பிம்பப்புள்ளி ______.

\(\left[ \begin{matrix} \alpha & \beta \\ \gamma & -\alpha \end{matrix} \right] \) என்ற ஒரு சதுர அணியின் வர்க்கம் வரிசை 2 உடைய ஒரு அலகு அணி எனில், \(\alpha ,\beta \) மற்றும் \(\gamma \) என்பவை நிறைவு செய்யும் தொடர்பு______.

\(A+I=\left[ \begin{matrix} 3 & -2 \\ 4 & 1 \end{matrix} \right] \) எனில் \((A+I)(A-I)\) -ன் மதிப்பு ______.

\(\vec { a } \)மற்றும் \(\vec { b } \) ஆகியவற்றின் எண்ணளவு 2, மேலும் இவற்றிற்கு இடைப்பட்ட கோணம் 60⁰ எனில், \(\vec { a } \)மற்றும் \(\vec { a } +\vec { b }\) க்கு  இடைப்பட்ட கோணம் ______.

\(10\hat { i } +3\hat { i } ,12\hat { i } -5\hat { j } \) மற்றும் \(a\hat { i } +11\hat { j } \) ஆகிய நிலை வெக்டர்களின் புள்ளிகள் ஒரே கோட்டில் அமைந்தால் 'a'-ன் மதிப்பு ______.

சரியான அல்லது மிகவும் ஏற்புடைய விடையினைக் கொடுக்கப்பட்ட நான்கு மாற்று விடைகளிலிருந்து தேர்ந்தெடுக்கவும்.
\(f:R\rightarrow R\) என்பது \(f(x)=\left\lfloor x=3 \right\rfloor +\left\lfloor x-4 \right\rfloor .x\in R,\) என வரையறுக்கப்பட்டால் \(\lim _{ x\rightarrow { 3 }^{ - } }{ f(x) } \) -ன் மதிப்பு ______.

சரியான அல்லது மிகவும் ஏற்புடைய விடையினைக் கொடுக்கப்பட்ட நான்கு மாற்று விடைகளிலிருந்து தேர்ந்தெடுக்கவும்
\(\lim _{ x\rightarrow 0 }{ \frac { { xe }^{ x }-\sin { x } }{ x } } \)-ன் மதிப்பு ______.

சரியான அல்லது மிகவும் ஏற்புடைய விடையினைக் கொடுக்கப்பட்ட நான்கு மாற்று விடைகளிலிருந்து தேர்ந்தெடுக்கவும்.
\(f\left( x \right) =\begin{cases} x-5 \quad ,\quad x\le 1 \\ 4{ x }^{ 2 }-9\quad ,\quad 1< x< 2 \\ 3x+4\quad ,\quad x\ge 2 \end{cases} \) எனில், x=2-ல் f(x)-ன் வலப்பக்க வகைக்கெழு ______.

சரியான அல்லது மிகவும் ஏற்புடைய விடையினைக் கொடுக்கப்பட்ட நான்கு மாற்று விடைகளிலிருந்து தேர்ந்தெடுக்கவும்.
\(f\left( x \right) =\left| x-1 \right| +\left| x-3 \right| +\sin { x } \) எனும் சார்பு R-ல் வகைமையாகாத  புள்ளிகளின் எண்ணிக்கை  ______.

\(\int { e^{ -4x } } \) cos x dx = ______.

\(\int { \frac { \sec x }{ \sqrt { \cos2x } } } dx=\) ______.

ஒரு பையில் 6 பச்சை, 2 வெள்ளை மற்றும் 7 கருப்பு நிற பந்துகள் உள்ளன. இரு பந்துகள் ஒரே சமயத்தில் எடுக்கும்போது அவை வெவ்வேறு நிறமாக இருப்பதற்கான நிகழ்தகவானது______.

கீழ்க்காணும் தொடர்புகள் சார்புகளா? என்பதனைச் சோதிக்கவும். சார்புகள் எனில் அவை ஒன்றுக்கொன்றா மற்றும் மேற்கோர்த்தலா எனச் சோதிக்கவும். சார்பு இல்லை எனில் காரணம் கூறவும்.
A = {a, b, c} மற்றும் f = {(a,c), (b,c)(c,b)}; (f: A⟶ A)

f(x) = 4x² - 25 என்ற பல்லுறுப்புச் சார்பின் பூஜ்ஜியங்களைக் காண்க

நிறுவுக:sin² (A+B) - sin² (A-B) = sin2A sin2B

\(\frac { \left( 2n \right) ! }{ n! } ={ 2 }^{ n }\left( 1.3.5...\left( 2n-1 \right) \right) \)என நிறுவுக.

\(\sqrt { 3 } \)x-y+4=0 என்ற கோட்டை கீழ்க்காணும் சமான வடிவத்திற்கு மாற்றுக. சாய்வு மற்றும் வெட்டுத்துண்டு வடிவம்.

a,b,c மற்றும்  x என்பன மிகை மெய்யெண்கள் எனில், \(\left| \begin{matrix} { (a }^{ x }+{ a }^{ -x }{ ) }^{ 2 } & { (a }^{ x }-{ a }^{ -x }{ ) }^{ 2 } & 1 \\ { (b }^{ x }+{ b }^{ -x }{ ) }^{ 2 } & { (b }^{ x }-{ b }^{ -x }{ ) }^{ 2 } & 1 \\ { (c }^{ x }+{ c }^{ -x }{ ) }^{ 2 } & { (c }^{ x }-{ c }^{ -x }{ ) }^{ 2 } & 1 \end{matrix} \right| \)  என்பது பூஜ்ஜியமாகும் என நிரூபிக்க .

எல்லையின் மதிப்பைக் காண்க :\(\lim _{ x\rightarrow \infty }{ \frac { { x }^{ 3 }+x }{ { { x }^{ 4 }-3x }^{ 2 }+1 } } \)

கீழ்க்காண்பவற்றை வகையிடுக:\(x=a\cos ^{ 3 }{ t } ;y=a\sin ^{ 3 }{ t } \)

பின்வருவனவற்றின் தொகை காண்க. x⁵ \({ e }^{ { x }^{ 2 } }\)

பின்வரும் ஒன்றையொன்று விலக்கிய A,B,C மற்றும் D என்ற நான்கு நிகழ்ச்சிகளை மட்டும் கொண்டு ஒரு சோதனையின் நிகழ்ச்சிகளின் நிகழ்தகவுகள் சாந்தியமானவையா எனத் தீர்மானிக்கவும்.
\(P(A)={2\over5}.P(B)={3\over5}.P(C)=-{1\over5},P(D)={1\over5}\)

(i) y=e^x
(ii) y=log,x

சுருக்குக: \(\frac{1}{3-\sqrt{8}}-\frac{1}{\sqrt{8}-\sqrt{7}}+\frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{6}}-\frac{1}{\sqrt{6}-\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{5}-{2}}\)

ஒரு முக்கோணத்தின் மூன்று கோணங்களின் விகிதங்கள் 1 : 2 : 3 எனில் அதன் பக்கங்களின் விகிதங்கள் 1: \(\sqrt3\) : 2 என நிறுவுக.

¹⁵C_2r-1=¹⁵C_2r+4 எனில், r ஐக் காண்க?

\(y=x+\frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } +\frac { { x }^{ 3 } }{ 3 } +\frac { { x }^{ 4 } }{ 4 } +...\)எனில் \(x=y+\frac { { y }^{ 2 } }{ 2! } +\frac { { y }^{ 3 } }{ 3! } +\frac { y^{ 4 } }{ 4! } +...\) என நிறுவுக

8 அலகுகள் நீளமுள்ள ஒரு நேரான கம்பியின் முனைகள் A மற்றும் B ஆகியவை முறையே எப்போதும் x மற்றும் y-அச்சுகளைத் தொடுமாறு நகர்ந்து கொண்டு இருக்கிறது, எனில் வெட்டுத்துண்டு AB -ன் நடுப்புள்ளியின் நியமப்பாதையின் சமன்பாட்டைக் காண்க.

\(\vec { a } =2\hat { i } +\hat { j } +\hat { 3k } \) மற்றும் \(\vec { b } =3\hat { i } +5\hat { j } -2\hat { k } \) எனில், \(\vec { a } \times \vec { b } \) -ன் எண் மதிப்பைக் காண்க. 

பின்வருவனவற்றின் மதிப்பைக் காண்க:\(\lim _{ x\rightarrow \infty }{ { { \left( \frac { { x }^{ 2 }-2x+1 }{ { x }^{ 2 }-4x+2 } \right) }^{ x } } } \)

வகையிடுக: \(y={ (x }^{ 3 }-1{ ) }^{ 100 }\) 

மதிப்பிடுக: \(\int { \frac { { (x-1) }^{ 2 } }{ { x }^{ 3 }+x } } dx\)

கீழ்க்காணும் தொடர்புகளுக்கு தற்சுட்டு, சமச்சீர் மற்றும் கடப்பு ஆகியவற்றை பற்றி ஆராய்க.
A என்பது ஒரு குடும்பத்தின் உறுப்பினர்கள் அனைவரையும் கொண்ட கணமாகக் கருதுக. தொடர்பு R என்பது ”a என்பவர் b -ன் சகோதரி இல்லையெனில் தொடர்பு R ஆனது aRb என வரையறுக்கப்படுகிறது.

10ஐ விடப் பெரிய அடுத்தடுத்த இரண்டு ஒற்றைப்படை இயல் எண்களின் கூடுதல் 40ஐ விடக் குறைவாக இருக்க வேண்டுமெனில், அவ்வெண்களைக் காண்க.

0 < x < \(\frac { \pi }{ 2 } \) , 0 < y < \(\frac { \pi }{ 2 } \) sin x = \(\frac { 15 }{ 17 } \) மற்றும்  \(\cos y=\frac { 12 }{ 13 } \), எனில் - sin(x+y) ஆகியவற்றின் மதிப்புகளைக் காண்க .

இரண்டு வட்டங்களில், ஓரே அளவு கொண்ட வில்லின் நீளங்கள் 60° மற்றும் 75°-ஐ மையக் கோணங்களாகத் தாங்கும்போது அவ்விருவட்டங்களுக்கான ஆரங்களின் விகிதம் காண்க.

TABLE என்ற வார்த்தையில் உள்ள எழுத்துகளை வரிசை மாற்றம் செய்து கிடைக்கும் எல்லா எழுத்துச் சரங்களையும் ஆங்கில அகராதியில் உள்ளபடி வரிசையாக அமைத்தால், கீழ்க்கண்ட வார்த்தைகளின் தரம் காண்க.
(i) TABLE
(ii) BLEAT

p மற்றும் q ஐ ஒப்பிடும்போது p - q சிறியது எனில்\(\sqrt [ n ]{ \frac { p }{ q } } \simeq \frac { (n+1)p+(n-1)q }{ (n-1)p+(n+1)q } \) என நிறுவுக. இதன் மூலம் \(\sqrt [ 8 ]{ \frac { 15 }{ 16 } } \)ன் மதிப்பினைக் காண்க.

ஒரு புகைப்பட நகலகத்தில் முதல் 10 பிரதிகளுக்கு ஒரு பிரதிக்கு ரூ1.50 வீதம் வசூலிக்கப்படுகிறது. 10 பிரதிகளுக்கு மேல் அடுத்தடுத்த பிரதிகளுக்கு ரூ1 வீதம் கட்டணம் வசூலிக்கப்படுகிறது.
i) x என்பது பிரதிகளின் எண்ணிக்கையையும், y என்பது நகல்களின் கட்டணத்தையும் குறிக்கிறது என்க x -ன் மதிப்பு 0 முதல் 50 நகல்கள் வரை உள்ள கட்டணத்தைக் குறிக்கும் வரைபடம் வரைக.
ii) 40 பிரதிகள் எடுப்பதற்கு ஆகும் கட்டணம் எவ்வளவு?

ax²+2hxy+by²=0 இவற்றில் ஒரு கோடு ஆய அச்சுகளுக்கு இடைப்பட்ட கோணத்தின் இருசமவெட்டி எனில் (a+b)²=4h² என நிறுவுக.

\(\cos { 2\theta } =0\) எனில் \(\left| \begin{matrix} 0 & \cos { \theta } & \sin { \theta } \\ \cos { \theta } & \sin { \theta } & 0 \\ \sin { \theta } & 0 & \cos { \theta } \end{matrix} \right| ^{ 2 }\)-ன் மதிப்பைக் காண்க.

கொடுக்கப்பட்ட திசை விகிதங்களைக் கொண்ட ஒரு வெக்டரின் திசைக் கொசைன்களைக் காண்க. 
1,2,3 

f பின்வருமாறு வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது:

\(f(x)=\begin{cases} 0\quad ;\quad x<0 \\ x\quad ;\quad 0\le x<1\quad \\ -{ x }^{ 2 }+4x-2;\quad 1\le x<3 \\ 4-x\quad ;\quad x\ge 3\quad \end{cases}\)
இந்தச் சார்பு தொடர்ச்சியானதா? 

\({ x }^{ 2 }+x+1\)-ஐப் பொறுத்து \(\tan ^{ -1 }{ (1+{ x }^{ 2 }) } \) -ஐ வகையிடுக.  

மதிப்பிடுக.
\(\int\frac{5x-7}{\sqrt{3x-x^{2}-2}}dx\)

ஒரு நாணயம் இருமுறை சுண்டிவிடப்படுகிறது.E என்பது முதல் முறை சுண்டும்போது தலை விழுதல்,F என்பது இரண்டாம் முறை சுண்டும்போது தலை விழுதல் என வரையறுக்கப்பட்டால் பின்வரும் நிகழ்தகவினைக் காண்க.
(i) P(EUF)
(ii) P(E/F)
(iii) P(\(\overline{E}/F\))
(iv) E மற்றும் F சார்பிலா நிகழ்ச்சிகளா?