ஒரு இயல் எண்=x என்க 
அடுத்த எண் =x+1
x(x+1)=20
x²+x-20=0
(x+5)(x-4)=0
x=-5,4
\(\therefore\) x=4
(\(\therefore\)x\(\neq \)-5,5 ஓர் இயல் எண்)
அடுத்த எண்=4+1=5
அந்த எண்கள்=4,5

சதுரங்க அட்டையின் ஒரு பக்க அளவு x என்க
64 சதுரங்களின் பரப்பு =(x-4)2
(x-4)²=64X6.25
\(\Rightarrow \)x²-8x+16=400
\(\Rightarrow \)x²-8x-384=0
\(\Rightarrow \)x²-24x+16x-384=0
\(\Rightarrow \)(x-24)(x+16)=0
x=24செ.மீ 

A  மற்றும் B என்பன பாலத்தின் இருமுனைகள் என்க.ஆற்றின் அகலம் AB என்க.P என்பது பாலத்தின் உச்சி DP = 3மீ. ஆற்றின் அகலம் AB ஐக் காண வேண்டும். அதற்கு \(\Delta APB\) யின் பக்கம் AB ஐக் காண வேண்டும்.

இங்கு,AB =AD +DB 
செங்கோண \(\Delta APD\) யில் 
\(\angle A={ 30 }^{ 0 }\)
\(\Rightarrow \cfrac { 1 }{ \sqrt { 3 } } =\cfrac { 3 }{ AD } \) (அ) \(AD=3\sqrt { 3 } \)
மேலும்,செங்கோண \(\Delta PBD\)  முக்கோணத்தில் 
B = 45^o
\(\therefore\)  BD=PD=3மீ 
இங்கு , AB = BD +AD 
= \(3+\sqrt { 3 } =3(1+\sqrt { 3 } )\)மீ 
\(\therefore \) ஆற்றின் அகலம் = \(3\left( \sqrt { 3 } +1 \right) \)மீ 

sin 3A = cos(A-26^o)
Since (90o-3A) = cos(A-26^o)
(90o-3A) மற்றும் A-26^o இவை குறுங்கோணங்கள் ஆதலால்,
90^o-3A = A -26^o
\(\therefore A=29^{ o }\)

மொத்த சீட்டுகள் =52
ஸ்பேடு கார்டு எடுக்கும் நிகழ்வு = A என்க 
ஹார்ட் கார்டு எடுக்கும் நிகழ்வு = B  என்க 
n(A)=13,n(B)=13
\(p(A)=\cfrac { 13 }{ 52 } =\cfrac { 1 }{ 4 } ,p(B)=\cfrac { 13 }{ 52 } =\cfrac { 1 }{ 4 } \)
\( A\cap B\) ஆனது ஒரே சீட்டு ஸ்பேடு மற்றும் ஹார்ட் ஆக இருக்க வாய்ப்பில்லை என்பதை குறிக்கிறது. 
\(\therefore A\cap B,n\left( A\cap B \right) =0\)
A,B என்பன ஒன்றையொன்று விலக்கும் நிகழ்ச்சிகள் 
\(P\left( A\cup B \right) =P(A)+P(B)=\cfrac { 1 }{ 4 } +\cfrac { 1 }{ 4 } =\cfrac { 1 }{ 2 } \)
இதற்கு வாய்ப்பில்லை 

\({ \bar { x } }_{ 1 }=\cfrac { 140 }{ 6 } =28\)
\({ \bar { \sigma } }_{ 1 }=\sqrt { \cfrac { { \Sigma d }^{ 2 } }{ n } } =\sqrt { \cfrac { 880 }{ 5 } } \)
= \(\sqrt { 176 } \)
= 13.27
\({ CV }_{ 1 }=\cfrac { { \sigma }_{ 1 } }{ { \bar { x } }_{ 1 } } \times 100\)
\({ CV }_{ 1 }=\cfrac { 13.27 }{ 28 } \times 100\)
= 47.39%

\({ \bar { x } }_{ 2 }=\cfrac { 150 }{ 5 } =30\)
\({ \sigma }_{ 2 }=\sqrt { \cfrac { { \Sigma d }^{ 2 } }{ n } } =\sqrt { \cfrac { 1600 }{ 5 } } \)
= \(\sqrt { 320 } \)
= 17.89
\({ CV }_{ 1 }=\cfrac { { \sigma }_{ 2 } }{ { \bar { x } }_{ 2 } } \times 100\)
\({ CV }_{ 2 }=\cfrac { 17.89 }{ 30 } \times 100\)
= 59.63%
\(\therefore \) குழு A அதிக சீர்மைத் தன்மை கொண்டுள்ளது.

உருளையின் ஆரம் =r என்க.
உருளையின் உயரம்=h
மொத்த புறப்பரப்பு =உருளையின் புறப்பரப்பு +2 அரைக்கோளத்தின் புறப்பரப்பு 
=2πrh+2πr²=2πr(h+2r)
=2x\(\frac{22}{7}\)x3.5x(10+2x3.5)
=22x17=374 செ.மீ²

தேவையான சிறிய கோளங்களின் எண்ணிக்கை 
\(=\frac { \frac { 4 }{ 3 } \pi r^{ 3 } }{ \frac { 4 }{ 3 } \pi \times { \left( \frac { r }{ 4 } \right) }^{ 3 } } \)
\(={ r }^{ 3 }\times \frac { 4 }{ r } \times \frac { 4 }{ r } \times \frac { 4 }{ r } =64\)
சிறிய கோளங்கள் செய்யலாம்.

இங்கு 
S₁₄=1050
n=14
a=10
s_n=\(\frac{n}{2}\)(2a+(n-1)d)
1050=\(\frac{14}{2}\)(20+13d)
=140+91d
910=91d
d=10
a₂₀=10+(20-1)x10
=20
∴ 20 வது உறுப்பு =200.

23,21,19,...5 என்பது 
1,2,3,...n வந்து வரிசையில் உள்ள ரோஜாச் செடிகளின் எண்ணிக்கை.
∴ a=23, d=21-23-23=-2, l=5
a_n=a+(n-1)d⇒ t_n=a+(n-1)d
5=23+(n-1)(-2)
-18=(n-1)(-2)
n=10
∴ எனவே அப்பூந்தோட்டத்தில் 10 வரிசைகளில் ரோஜாச் செடிகள் உள்ளன.

f(2) = 2x - 1
= 2(2) -1 = 3
f(4) = 3x² - 10
= 3 (4²) - 10 = 38
∴ f(2) - f(4) = 3 - 38 = -35

\(f(x)=\begin{cases} 1+x\quad \quad \quad :1\le x<2 \\ 2x-1\quad \quad \quad :2\le x<4 \\ { 3x }^{ 2 }-10\quad \quad :4\le x<6 \end{cases}\)
கொடுக்கப்பட்டுள்ள சார்பு
f (5) = 3x² - 10
= 3 (5²) - 10 = 75 - 10 = 65

Δ-ன் பரப்பு
= \(\frac { 1 }{ 2 } \) [2(k + 3) + 4(- 3 - 3) + 6 (3 - k)] = 0
⇒ \(\frac { 1 }{ 2 } \) [-4k] = 0
⇒ k = 0
Δ ABC-யின் பரப்பு
= \(\frac { 1 }{ 2 } \) [2 (0 + 3) + 4(- 3 - 3) + 6(3 - 0)] = 0

= \(\frac { 1 }{ 2 } \) [(-12 - 30 - 28 - 10) - (+0 + 28 + 30 + 12)]
= \(\frac { 1 }{ 2 } \) [-80 - (-80)]
= \(\frac { 1 }{ 2 } \) [-160] = -80 = 80 சதுர அலகுகள்

ΔACD ~ ΔABC
ஆகையால்,
\(\frac { AC }{ AB } =\frac { AD }{ AC } \)
AC2 = AB·AD ...(1)
எனவே \(\frac { BC }{ BA } =\frac { BD }{ BC } \)
BC² = BA·BD ...(2)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து
\(\frac { { BC }^{ 2 } }{ { AC }^{ 2 } } =\frac { BA.BD }{ AB.AD } =\frac { BD }{ AD } \)

O வழியே, PQ || BC வரைக.

PQ 丄 AB மற்றும் PQ 丄 DC (∵ ㄥB = 90° மற்றும் ㄥC = 90°)
ㄥBPQ = 90° மற்றும் ㄥCQP = 90°
∴ BPQC மற்றும் APQD செவ்வகங்கள்
ΔOPB லிருந்து
OB² = BP² + OP²  ...(1)
இதைப்போலவே ΔOQD லிருந்து
OD² = OQ²+DQ² ...(2)
ΔOQC லிருந்து 
OC² = OQ²+CQ² ...(3)
ΔOAP, we have
OA² = AP²+OP² ...(4)
(1) மற்றும் (2) ஐக் கூட்ட
OB² + OD² = BP² + OP² + OQ² + DQ²
(∵ BP = CQ மற்றும் DQ = AP)
= CQ² + OP² + OQ² + AP²
= CQ² + OQ² + OP² + AP²
= OC² + OA² [(3) மற்றும் (4) லிருந்து]

x² - 9 = 0
y = x² - 9 என்க.
அட்டவணை மதிப்புகள்

வரைபடத்தில் குறிக்கப்பட வேண்டிய புள்ளிகள்: (-4, 7), (-3, 0), (-2, -5), (0, -9), (1, -8), (2, -5), (3, 0), (4, 7)

வரைபடத்திலிருந்து y = x² - 9 என்ற வளைவரை X - அச்சை (-3, 0) மற்றும் (3, 0) ஆகிய புள்ளிகளில் வெட்டுகிறது.
∴ தீர்வு: x = -3, 3
மூலங்கள் மெய் மற்றும் சமமற்றவை.

ஆரம் = 3.4 செ.மீ

வரைமுறை:
படி 1: P ஐ மையமாக கொண்டு 3.4 செ.மீ ஆரமுள்ள வட்டம் வரைந்தேன்.
படி 2: வட்டத்தின் மேல் R என்ற புள்ளியைக் குறித்து PR ஐ இணைத்தேன்.
படி 3: R என்ற புள்ளி வழியே PR க்கு செங்குத்தாக TT' வரைந்தேன்.
படி 4: TT' தேவையான தொடுகோடு ஆகும்.

வரைமுறை:
படி 1: PQ = 6.8 செ.மீ என்ற கோட்டுத்துண்டு வரைந்தேன்.
படி 2: புள்ளி Q வழியே ∠QPE = 50° என இருக்கும்படி PE வரைந்தேன்.
படி 3: புள்ளி P வழியே ∠EPF = 90° என இருக்கும்படி PF வரைந்தேன்.
படி 4: PQ க்கு வரையப்படும் மையக்குத்துக் கோடானது PF ஐ 'O' விலும் PQ - ஐ G- யிலும் சந்திக்கிறது.
படி 5: O - வை மையமாகவும் OP - ஐ ஆரமாகவும் கொண்டு ஒரு வட்டம் வரைந்தேன்.
படி 6: புள்ளி P யிலிருந்து PQ - இல் 5.2 செ.மீ தொலைவில் D என்ற புள்ளிக்கு ஒரு வில் வரைந்தேன்.
படி 7: மையக்குத்துக்கோடானது வட்டத்தை I. என்ற புள்ளியில் சந்திக்கிறது. ID - ஐ இணைத்தேன்.
படி 8: ID - ஐ வட்டத்தில் R இல் சந்திக்குமாறு நீட்டினேன். RP மற்றும் RQ ஐ இணைத்தேன். ΔPQR என்பது தேவையான முக்கோணம் ஆகும்.

y = 2x² - 3x - 5
அட்டவணை மதிப்புகள்

புள்ளிகள் (-3,22),(-2,9)(-1,0),(0,-5),(1,-6),(2,-3) மற்றும் (3,-4)

\(y=2 x^2-3 x-5\) மற்றும் \(2 x^2-4 x-6=0\) ஆகியவற்றை கழிக்கக் கிடைப்பது
\(\quad \quad y=2 x^2-3 x-5  \)
\((-) \quad 0=2 x^2-4 x-6\)
          一一一一一一一一
              y = x + 1
y = x + 1 என்பது ஒரு நேர்க்கோடு மதிப்புகள் அட்டவணை மதிப்புகள் 

\({y}=2 x^2-2 x-5 \) என்ற வளைவரை y = x + 1 என்ற கோட்டை (-1,0) மற்றும் (3,4) ஆகிய புள்ளிகளில் வெட்டுகிறது.
எனவே \(2 x^2-4 x-6=0\) (அல்லது) \(x^2-2 x-3=0\) என்ற சமன்பாட்டின் தீர்வு x = -1,3.
மூலங்கள் மெய் மற்றும் சமமல்ல.