சராசரி \(\bar { x } =\cfrac { 16+13+17+21+18 }{ 5 } =\cfrac { 85 }{ 5 } =17\)

x	d =x-17	d2
16	-1	1
13	-4	16
17	0	0
21	4	16
18	1	1
	\(\Sigma d=0\)	\({ \Sigma d }^{ 2 }=34\)

\(\sigma =\sqrt { \cfrac { { \Sigma d }^{ 2 } }{ n } } =\sqrt { \cfrac { 34 }{ 5 } } =\sqrt { 6.8 } \)
\(\sigma =2.61\)
மாறுபாட்டுக் கெழு 
\(CV=\cfrac { \sigma }{ \bar { x } } \times 100=\cfrac { 2.61 }{ 17 } \times 100\)
= 15.35%

n = 9,\({ \Sigma x }=99\),\(\bar { x } =\cfrac { \Sigma x }{ n } =\cfrac { 99 }{ 9 } =11\)
\(\Sigma \left( x-10 \right) ^{ 2 }=79={ \Sigma x }^{ 2 }-20x+100=79\)
= \({ \Sigma x }^{ 2 }-20\Sigma x+100\times 9=79\)
= \({ \Sigma x }^{ 2 }-20\times 99+100=79\)
\({ \Sigma x }^{ 2 }=79+1980-900=1159\)
\(\Sigma \left( x-\bar { x } \right) ^{ 2 }=\Sigma \left( x-11 \right) ^{ 2 }=\Sigma \left( { x }^{ 2 }-22x+121 \right) \)
= \({ \Sigma x }^{ 2 }-22\Sigma x+121\times 9\)
= \(1159-22\times 99+1089=70\)
\(\therefore { \Sigma x }^{ 2 }=1159,\Sigma \left( x-\bar { x } \right) ^{ 2 }=70\)

தேவைப்படும் வில்லைகளின் எண்ணிக்கை 
\(=\frac { \pi r_{ 1 }^{ 2 }{ h }_{ 1 } }{ { \pi r }_{ 2 }^{ 2 }{ h }_{ 2 } } =\frac { \pi \times \frac { 45 }{ 20 } \times \frac { 45 }{ 20 } \times 10 }{ \pi \times \frac { 15 }{ 20 } \times \frac { 15 }{ 20 } \times \frac { 2 }{ 10 } } \)

=450

உருளையின் கன அளவு \(={ \pi r }^{ 2 }h\)
கூம்பின் கன அளவு \(=\frac { 1 }{ 3 } { \pi r }^{ 2 }h\)
கோலத்தின் கன அளவு \(=\frac { 4 }{ 3 } { \pi r }^{ 3 }\)
அவற்றின் கன அளவுகளின் விகிதம் V₁:V₂:V₃

\(h:\frac { h }{ 3 } :\frac { 4r }{ 3 } \)
3h:h:4r
3h:h:2(2r)    (இங்கு 2r=h)
∴ V₁:V₂:V₃=3:1:2

1,1,1,2,2,2,3,3,3
t₂-t₁=1-1=0
t₃-t₂=1-1=0
t₄-t₃=2-1=1
இங்கு  t₂-t₁≠t₃-t₂.
∴ இது ஒரு கூட்டுத் தொடர் அல்ல.

-2,2,-2,2,-2
t₂-t₁=2-(-2)=4
t₃-t₂=-2-2=-4
t₄-t₃=2-(-2)=4
இது ஒரு கூட்டுத்தொடர் வரிசை அல்ல.

f (x) = 1 + x
g (x) = (2x - 1)
fog (x) = f (g(x)) = f(2x - 1)
= 1 + 2x - 1 = 2x              ....(1)
gof (x) = g(f(x)) = g(1 + x) = 2(1 + x) -1
= 2 + 2x -1
= 2x + 1
(1) ≠ (2)
∴ fog (x) ≠ gof (x) எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

A-யின் வெவ்வேறான உறுப்புகள் வெவ்வேறு நிழல் உறுப்புகளை கொண்டுள்ளன. B-ன் ஒவ்வொரு உறுப்புக்கும் முன் உரு உள்ளது.
∴ இது ஒரு ஒன்றுக்கொன்றான மேல் சார்பு ஆகும்.

A (1, -1), B(-4, 6), மற்றும் C(-3, -5) சூத்திரத்தை பயன்படுத்தி 
Δ = \(\frac { 1 }{ 2 } \) {x₁(y₂ - y₃) + x₂(y₃ - y₁) + x₃(y₁ - y₂)} சதுர அலகுகள்
= \(\frac { 1 }{ 2 } \) [1 (6 + 5 ) + (-4) (-5 + 1) + (-3) (- 1 - 6)]
= \(\frac { 1 }{ 2 } \) [11 + 16 + 21] = 24 சதுர அலகுகள்
∴ முக்கோணத்தின் பரப்பு = 24 சதுர அலகுகள்

P, Q என்ற புள்ளிகள் AB கோட்டினை 
AP = PQ = QB எனப் பிரிப்பதாகக் கொள்வோம்.

எனவே P ஆனது AB ஐ உட்புறமாக 1:2 என்ற விகிதத்தில் பிரிக்கிறது. எனவே, P பிரிவு சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி
\(P(x,y)=\left[ \frac { 1(-7)+2(2) }{ 1+2 } ,\frac { 1(7)+2(-2) }{ 1+2 } \right] \)  i.e., (-1, 0)
மேலும் Q ஆனது AB இன் உட்புறமாக 2:1 என்ற விகிதத்தில் Q பிரிக்கிறது.
\(\therefore Q(x,y)=\left[ \frac { 2(-7)+1(2) }{ 2+1 } ,\frac { 2(4)+(-2) }{ 2+1 } \right] \) i.e., (-4, 2)
∴ AB கோட்டினை P(-1, 0) மற்றும் (-4, 2) புள்ளிகள் மூன்றும் பிரிவுகளாகப் பிரிக்கின்றன. 

நிரூபணம்:

ΔABC ஒரு செங்கோண முக்கோணம்
∠B செங்கோணம்
நிரூபிக்க வேண்டியது: AC² = AB² + BC²
அமைப்பு: BC 丄 AC
ΔABC = ΔABC
\(\frac { AD }{ AB } =\frac { AB }{ AC } \)
(பக்கங்களின் விகிதம்)
AD · AC = AB² ...(1)
மேலும், ΔBDC ~ ΔABC
\(\frac { CD }{ BC } =\frac { BC }{ AC } \)
CD · AC =BC² ...(2)
(1) மற்றும் (2) ஐக் கூட்ட
AD.AC+CD.AC = AB²+ BC²
AC(AD+CD) = AB² + BC²
AC.AC = AB²+ BC²
AC² = AB² + BC²

BL மற்றும் CM என்பன ΔABC யின் நடுக்கோடுகள்
A = ∠90°.
ΔABC யிலிருந்து
BC² = AB² + AC² ...(1)
(பிதாகரஸ் தேற்றத்தின்படி)

ΔABL லிருந்து,
BL² = AL² + AB²
\(BL^{ 2 }={ \left( \frac { AC }{ 2 } \right) }^{ 2 }+{ AB }^{ 2 }\)....(1)
(L ஆனது BC யின் நடுப்புள்ளி)
\({ BL }^{ 2 }=\frac { { AC }^{ 2 } }{ 4 } +{ AB }^{ 2 }\)
4BL² = AC² + 4AB² ...(2)
ΔCMA லிருந்து,
CM² = AC² + AM²
\({ CM }^{ 2 }={ AC }^{ 2 }+{ \left( \frac { AB }{ 2 } \right) }^{ 2 }\)
(M ஆனது AB யின் நடுப்புள்ளி)
\({ CM }^{ 2 }={ AC }^{ 2 }+\frac { { AB }^{ 2 } }{ 4 } \) 
4CM² = 4AC² + AB² ...(3)
(2) மற்றும் (3) ஐ கூட்ட கிடைப்பது
4(BL² + CM²) = 5(AC² + AB²)
4(BL² + CM²) = 5BC² [(1) லிருந்து]

கொடுக்கப்பட்ட முக்கோணம் ΔABC இல் D, E, F என்பவை முறையே பக்கங்கள் AB, BC, AC இல் அல்லது அவற்றின் நீட்சியில் அமைந்த புள்ளிகள்.
\(\mathrm{AD}: \mathrm{DB}=5: 3 \)
\(\mathrm{BE}: \mathrm{EC}=3: 2\)
\(\mathrm{AD}=5 \mathrm{k}_1 ; \mathrm{DB}=3 \mathrm{k}_1 ; \mathrm{BE}=3 \mathrm{k}_2 ; \mathrm{EC}=2 \mathrm{k}_2\) என்க
மெனிலாஸ் தேற்றத்தின்படி
\(\frac{B E}{E C} \times \frac{C F}{F A} \times \frac{A D}{D B} =-1  \)
\(\frac{3 k_2}{2 k_2} \times \frac{C F}{F C-A C} \times \frac{5 k_1}{3 k_1} =-1  \)
\(\frac{3}{2} \times \frac{C F}{F C-21} \times \frac{5}{3} =-1  \)
\(\frac{C F}{F C-21} =\frac{-1 \times 2}{5}  \)
\(\frac{C F}{(-C F)-21} =\frac{-2}{5}  \)
\(5 C F =-2[(-C F)-21]  \)
\(5 C F =2 C F+42 \quad[\because \text { FC }=-C F]  \)
\(5 C F-2 C F =42  \)
\(3 C F =42 \)
\(C F =\frac{42}{3}=14\) அலகுகள்

(i) செங்கோன Δ GOH-ல் cos 24° = \(\frac { OG }{ GH } \)
0.9135 = \(\frac { OG }{ 250 } \);  OG = 228.38 கி.மீ
G-ன் வடக்கு திசையிலிருந்து H-ன் தொலைவு = 228.38 கி.மீ.
(ii) செங்கோண Δ GOH-ல்,
sin 24° = \(\frac { OH }{ GH } \)
0.4067 = \(\frac { OH }{ 250 } \); OH = 101.68
G-ன் கிழக்கு திசையிலிருந்து H-ன் தொலைவு 101.68 கி.மீ.
(iii) செங்கோண Δ HIJ-ல்
sin11° = \(\frac { IJ }{ HJ } \)
0.1908 = \(\frac { IJ }{ 180 } \); IJ = 34.34 கி.மீ
H-ன் வடக்கு திசையிலிருந்து J-ன் தொலைவு = 34.34 கி.மீ.
(iv) செங்கோண Δ HIJ-ல்,
cos11° = \(\frac { HI }{ HJ } \)
0.9816 = \(\frac { HI }{ 180 } \); HI = 176.69 கி.மீ
H-ன் கிழக்கு திசையிலிருந்து J-ன் தொலைவு = 176.69 கி.மீ.

இரண்டு பகடைகள் ஒன்றாக உருட்டப்படும் பொழுது அதன் கூறுவெளியில் 6 x 6 = 36 உறுப்புகள் இருக்கும். எனவே n(S) = 36
A-ஆனது இரண்டு பகடைகளிலும் ஒரே முக மதிப்புகள் மற்றும் B-ஆனது இரண்டு பகடைகளின் முக மதிப்புகளின் கூடுதல் 4-ஆக கிடைக்கப்பெறும் நிகழ்ச்சிகள் என்க.
எனவே, A = {(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)}
B = {(1,3),(2,2),(3,1)}
A\(\cap \)B = {(2,2)}
எனவே, n(A) = 6, n(B) = 3, n(A\(\cap \)B) = 1
\(P(A)=\frac { n(A) }{ n(S) } =\frac { 6 }{ 36 } \)
\(P(B)=\frac { n(B) }{ n(S) } =\frac { 3 }{ 36 } \)
\(P(A\cap B)=\frac { n(A\cap B) }{ n(S) } =\frac { 1 }{ 36 } \)
P (ஒரே முக மதிப்புகள் அல்லது முக மதிப்புகள் கூடுதல் 4 கிடைக்க) = P(A\(\cup \)B)
P(A\(\cup \)B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)
\(=\frac { 6 }{ 36 } +\frac { 3 }{ 36 } -\frac { 1 }{ 36 } =\frac { 8 }{ 36 } =\frac { 2 }{ 9 } \)
எனவே, தேவையான நிகழ்தகவு \(\frac {2}{9}\)ஆகும்.

\(\frac{\sin A-\sin B}{\cos A+\cos B} + \frac{\cos A-\cos B}{\sin A+\sin B}=0\)
இடப்பக்கம் \(=\frac{\sin A-\sin B}{\cos A + \cos B} + \frac{\cos A-\cos B}{\sin A + \sin B}\)
\(=\frac{(\sin A-\sin B)(\sin A+\sin B)+(\cos A-\cos B)(\cos A+\cos B)}{(\cos A+\cos B)(\sin A+\sin B)} \)
\(=\frac{\left(\sin ^2 A-\sin ^2 B\right)+\left(\cos ^2 A-\cos ^2 B\right)}{(\cos A+\cos B)(\sin A+\sin B)} \)
\(=\frac{\sin ^2 A-\sin ^2 B+\cos ^2 A-\cos ^2 B}{(\cos A+\cos B)(\sin A+\sin B)} \)
\(=\frac{\left(\sin ^2 A+\cos ^2 A\right)-\left(\sin ^2 B+\cos ^2 B\right)}{(\cos A+\cos B)(\sin A+\sin B)} \)
\(=\frac{1-1}{(\cos A+\cos B)(\sin A+\sin B)} \)
\( {\left[\because \sin ^2 \theta+\cos ^2 \theta=1\right] } \)
\(= \frac{0}{(\cos A+\cos B)(\sin A+\sin B)}=0 \)
= வலப்பக்கம்

அடுத்தடுத்த மூன்று உறுப்புகளின் பெருக்கற்பலன் கொடுக்கப்பட்டுள்ளதால் அந்த மூன்று உறுப்புகளை நாம் \(\frac { a }{ r } \), a, ar என எடுத்துக் கொள்வோம்.
உறுப்புகளின் பெருக்கற்பலன் = 343
\(\frac { a }{ r } \) x a x ar =343
a³ = 7³ ⇒ a = 7
உறுப்புகளின் கூடுதல் =\(\frac { 91 }{ 3 } \)
ஆகவே, a\(\left( \frac { 1 }{ r } +1+r \right) =\frac { 91 }{ 3 } \)-
\(7\left( \frac { 1+r+r^{ 2 } }{ r } \right) =\frac { 91 }{ 3 } \)
3 + 3r + 3r² = 13r ⇒ 3r² - 10r + 3 = 0
(3r - 1)(r - 3) = 0 ⇒ r = 3 அல்லது r = \(\frac{1}{3}\)
a = 7, r = 3 எனில், தேவையான மூன்று உறுப்புகள் \(\frac { 7 }{ 3 } \), 7, 21
a = 7, r = \(\frac{1}{3}\)  எனில், தேவையான மூன்று உறுப்புகள் 21, 7, \(\frac { 7 }{ 3 } \).

(i) A(0, 5) மற்றும் B(4,1) என்ற புள்ளிகள் வழிச் செல்லும் AB என்ற கோட்டின் சமன்பாடு
\(\frac { y-{ y }_{ 1 } }{ { y }_{ 2 }-{ y }_{ 1 } } =\frac { x-{ x }_{ 1 } }{ { x }_{ 2 }-{ x }_{ 1 } } \)
\(\frac { y-5 }{ 1-5 } =\frac { x-0 }{ 4-0 } \)
4(y -5) = −4x ஆகவே, y –5 = – x
x + y – 5 = 0
(ii) AB என்ற கோட்டின் சமன்பாடு x + y − 5 = 0 இந்த நேர்க்கோட்டிற்குச் செங்குத்தான கோட்டின் சமன்பாடு  x − y + k = 0 ஆகும்.
இக்கோடானது மையம் (4,4) என்ற புள்ளி வழிச் செல்வதால்,
4 – 4 + k = 0 எனவே, k = 0
C வழியாக AB -க்கு செங்குத்தாக அமையும்  நேர்க்கோட்டின் சமன்பாடு  x − y = 0
(iii) x + y − 5 = 0 மற்றும் x − y = 0 ஆகிய நேர்க்கோடுகள் சந்திக்கும் புள்ளியே AB என்ற கோடானது வட்டத்தைத் தொடும் புள்ளி ஆகும்.
x + y − 5 = 0 மற்றும் x − y = 0 இவற்றைத் தீர்ப்பதின் மூலம்.
x = \(\frac 52\) மற்றும் y = \(\frac 52\)
எனவே, தொடுபுள்ளி P–யின் ஆயப் புள்ளிகள் \(\left( \frac { 5 }{ 2 } ,\frac { 5 }{ 2 } \right) \) ஆகும்.

70000 ஆனது 7 ஆல் வகுபடும் என்பதால்
70000 ≡ 0 (மட்டு 7)
70000 + 4 ≡ 0 + 4 (மட்டு 7)
70004 ≡ 4 (மட்டு 7)
எனவே 70004 ஐ 7 ஆல் வகுக்கக் கிடைக்கும் மீதி 4.
777 ஆனது 7 ஆல் வகுபடும் என்பதால்
777 ≡ 0 (மட்டு 7)
777 + 1 ≡ 0 + 1 (மட்டு 7)
778 ≡ 1 (மட்டு 7)
எனவே, 778 ஐ 7 ஆல் வகுக்கக் கிடைக்கும் மீதி 1.

கொடுக்கப்பட்ட தரவின் ஏறுவரிசையில் எழுதக் கிடைப்பது 11.4, 12.5, 12.8, 16.3, 17.8, 19.2  ஆகும்.
தரவுப் புள்ளிகளின் எண்ணிக்கை n = 6
சராசரி \(=\frac { 11.4+12.5+12.8+16.3+17.8+19.2 }{ 6 } =\frac { 90 }{ 6 } =15\)

xi	di=xi-\(\overset{-}{x }\) =x -15	di2
11.4	-3.6	12.96
12.5	-2.5	6.25
12.8	-2.2	4.84
16.3	1.3	1.69
17.8	2.8	7.84
19.2	4.2	17.64
		\(\sum \)di2=51.22

திட்ட விலக்கம் \(\sigma =\sqrt { \frac { { \sum { d } }_{ i }^{ 2 } }{ n } } \)
\(=\sqrt { \frac { 51.22 }{ 6 } } =\sqrt { 8.53 } \)
ஆகவே, \(\sigma \simeq 2.9\)

திண்ம உருளையின் விட்டம் = 1.4 செ.மீ
திண்ம உருளையின் ஆரம் \(=\frac{1.4}{2}=0.7\) செ.மீ
திண்ம உருளையின் உயரம் = 2.4 செ.மீ
உருளையின் கன அளவு \(=\pi r^2 h\) கனஅலகுகள்
\(=\frac{22}{7} \times 0.7 \times 0.7 \times 2.4\)
கூம்பின் ஆரம் = 0.7 செ.மீ
கூம்பின் உயரம் = 2.4 செ.மீ
கூம்பின் கன அளவு \(=\frac{1}{3} \pi r^2 h\) கன அலகுகள்
\(=\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 0.7 \times 0.7 \times 2.4\)
\(\therefore\) மீதமுள்ள திண்மத்தின் கன அளவு = உருளையின் கன அளவு- கூம்பின் கன அளவு
\(=\frac{22}{7} \times 0.7 \times 0.7 \times 2.4-\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 0.7 \times 0.7 \times 2.4\)
\(=\frac{22}{7} \times 0.7 \times 0.7 \times 2.4\left(1-\frac{1}{3}\right) \)
\(=\frac{22}{7} \times 0.7 \times 0.7 \times 2.4 \times \frac{2}{3}=2.464 \) செ.மீ
மாற்றுமுறை : உருளை மற்றும் கூம்பு ஆகியவற்றின் உயரங்கள் சமமாகவும், ஆரங்கள் சமமாகவும் இருப்பதால் மீதமுள்ள திண்மத்தின் கன அளவு = உருளையின் கன அளவு - கூம்பின் கன அளவு
\(=\pi r^2 h-\frac{1}{3} \pi r^2 h \)
\(=\frac{2}{3} \pi r^2 h \)
\(=\frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times(0.7)^2(2.4) \)
= 2.464 செ.மீ³

படத்திலிருந்து உருளையின் ஆரம் \(=\frac{3}{2}=1.5\) செ.மீ
உயரம் = 8 செ.மீ
உருளையின் கன அளவு \(=\pi r^2 h\) கன அலகுகள்
\(=\frac{22}{7} \times 1.5 \times 1.5 \times 8\)
கூம்பின் ஆரம் = 1.5 செ.மீ
கூம்பின் உயரம் = 2 செ.மீ
இரு கூம்புகளின் கன அளவு \(=2\left(\frac{1}{3} \pi r^2 h\right)\) கன அலகுகள்
\(=\frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times 1.5 \times 1.5 \times 2\)
\(\therefore\) மாதிரியின் கன அளவு = உருளையின் கனஅளவு + இரு கூம்புகளின் கன அளவு
\(=\frac{22}{7} \times(1.5)^2\left[8+\frac{4}{3}\right] \)
\(=\frac{22}{7} \times 2.25 \times \frac{28}{3} \)
\(=\frac{1386}{21}=66\) செ.மீ³

கொடுக்கப்பட்ட முனைப்புள்ளிகள் (-4,-2),(-3, k),(3,-2) மற்றும் (2,3)
நாற்கரத்தின் பரப்பளவு = 28 சதுர அலகுகள்
\(=\frac{1}{2}\left[\left(x_1-x_3\right)\left(y_2-y_4\right)-\left(x_2-x_4\right)\left(y_1-y_3\right)\right] \)
\(\frac{1}{2}[(-4-3)(k-3)-(-3-2)(-2+2)] =28 \)
\((-7)(k-3)-(-5)(0) =56 \)
\(-7 k+21 =56 \)
\(-7 k=56-21 =35 \)
\(k=\frac{35}{-7} =-5 \)
\(k =-5\)

 உறவு R என்பது x R y என வரையறுக்கப்படுகிறது. x என்பது y என்ற பணியாளருக்கு கொடுக்கப்பட்ட ஊதியம். 
வரிசைச் சோடி:
உறவு R = {(10000, A₁), (10000, A₂), (10000, A₃), (10000, A₄), (10000, A₅), (25000, C₁), (25000, C₂), (25000, C₃), (25000, C₄), (50000, M₁), (50000, M₂), (50000, M₃), (100000, E₁), (100000, E₂)}
அம்புக்குறி படம்:
 

\(\mathrm{f}(\mathrm{x})=6 \mathrm{x}+8, \mathrm{~g}(\mathrm{x})=\frac{x-2}{3} \)
(i) \(g\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\frac{1}{2}-2}{3}=\frac{1-4}{2 \times 3}=-\frac{3}{6}=-\frac{1}{2} \)
\(\therefore g g\left(\frac{1}{2}\right)=g\left[g\left(\frac{1}{2}\right)\right] \)
\(=g\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{-\frac{1}{2}-2}{3}=\frac{-1-4}{2 \times 3}=-\frac{5}{6}\)
(ii) \(\mathrm{g} \mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{g}[\mathrm{f}(\mathrm{x})]=\mathrm{g}[6 \mathrm{x}+8] \)
\(=\frac{6 x+8-2}{3}=\frac{6 x+6}{3} \)
\(=\frac{6(x+1)}{3}=2(x+1)\)

\(\frac{2 x^3+x^2+3}{\left(x^2+2\right)^2}-\frac{1}{x^2+2} =\frac{2 x^3+x^2+3-\left(x^2+2\right)}{\left(x^2+2\right)^2}  \)
\(=\frac{2 x^3+x^2+3-x^2-2}{\left(x^2+2\right)^2}  \)
\(=\frac{2 x^3+1}{\left(x^2+2\right)^2}\)

ΔPAC, ΔQBC இவை வடிவொத்த முக்கோணங்கள்
AP மற்றும் CR என்பன 6 மீ மற்றும் 3 மீ உயரமுடைய செங்குத்துத் தூண்கள் என்க BQ = y மீ
ΔCRA மற்றும் ΔBQA இல்
∠A = ∠A (பொதுக்கோணம்)
\(\angle A C R=\angle A B Q=90^{\circ}\)
∴ AA வடிவொப்புமை விதிமுறைப்படி,
\(\triangle C R A \sim \triangle B Q A\)
∴ அவற்றின் ஒத்த பக்கங்கள் விகிதசமம்.
\(\frac{A C}{A B}=\frac{C R}{B Q} \)
\(\frac{A C}{A B} =\frac{3}{y}  \)
\(A B =\frac{A C \times y}{3} \)   ....(1)
ΔCBQ மற்றும் ΔCAP இல்
\(\angle C B Q =\angle C A P=90^{\circ} \)
∠C = ∠C  [பொதுக்கோணம்] 
\(\therefore \triangle CB Q \sim \Delta C A P  \)
\(\frac{C B}{C A} =\frac{B Q}{A P}  \)
\(\frac{C B}{C A} =\frac{y}{6}  \)
\( \mathrm{BC}=\frac{y \times C A}{6} \)   ...(2)
\((1)+(2) \Rightarrow \mathrm{AB}+\mathrm{BC}=\frac{A C \times y}{3}+\frac{y \times C A}{6}\)
\(A C=y \times A C\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{6}\right)  \)
\(\frac{A C}{A C} =y\left(\frac{2+1}{6}\right)  \)
\(1 =y\left(\frac{3}{6}\right)  \)
\(1 =\frac{1}{2} y \)
y = 2 மீ

\(\begin{aligned} &X+Y=\left(\begin{array}{ll} 7 & 0 \\ 3 & 5 \end{array}\right) \\ \end{aligned}\)  ....(1)
\(\begin{aligned} &X-Y=\left(\begin{array}{ll} 3 & 0 \\ 0 & 4 \end{array}\right) \end{aligned}\)  ....(2)
\(\begin{aligned} (1)+(2) \Rightarrow 2 \mathrm{X} &=\left(\begin{array}{cc} 10 & 0 \\ 3 & 9 \end{array}\right) \\ \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \mathrm{X} &=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc} 10 & 0 \\ 3 & 9 \end{array}\right) \\ \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} &=\left(\begin{array}{cc} 5 & 0 \\ 3 / 2 & 9 / 2 \end{array}\right) \end{aligned}\)
(1) –ல் பிரதியிட,
\(\begin{aligned} Y &=\left(\begin{array}{ll} 7 & 0 \\ 3 & 5 \end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc} 5 & 0 \\ 3 / 2 & 9 / 2 \end{array}\right) \\ \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} &=\left(\begin{array}{cc} 2 & 0 \\ 3 / 2 & 1 / 2 \end{array}\right) \\ \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \therefore \mathrm{X} &=\left(\begin{array}{cc} 5 & 0 \\ 3 / 2 & 9 / 2 \end{array}\right) \\ \end{aligned}\)மற்றும் \(\begin{aligned} \mathrm{Y} &=\left(\begin{array}{cc} 2 & 0 \\ 3 / 2 & 1 / 2 \end{array}\right) \end{aligned}\)