ஊகச் சராசரி A =30
C = 5

\(\sigma =\sqrt { \left( \cfrac { { \Sigma d }^{ '2 } }{ n } \right) -\left( \cfrac { { \Sigma d }^{ ' } }{ n } \right) ^{ 2 }\times 2 } \)
= \(\sqrt { \cfrac { 10 }{ 5 } -0\times 5 } \)
= \(\sqrt { 2 } \times 5=5\sqrt { 2 } \)
மதிப்பெண்களை 100க்கு மாற்றம் செய்தால் ஒவ்வொரு மதிப்பெண்களையும் 2 ஆல் பெருக்க வேண்டும்.\(\therefore \) புதிய மதிப்புகள் 40,50,60,70,80
A =60,C=10 என்க 

\(\sigma =\sqrt { \left( \cfrac { { \Sigma d }^{ '2 } }{ n } \right) -\left( \cfrac { { \Sigma d }^{ ' } }{ n } \right) ^{ 2 } } \times c\)
= \(\sqrt { \cfrac { 10 }{ 5 } -0 } \times 10\)
= \(\sqrt { 2 } \times 10=10\sqrt { 2 } \)
\(\therefore \) புதிய திட்டவிலக்கம், முதல் திட்டவிலகத்தை 2 ஆல் பெருக்கக் கிடைக்கிறது.

\(\bar { x } =\cfrac { \Sigma x }{ n } =\cfrac { 75 }{ 5 } =15\)
\({ d }^{ ' }=\cfrac { x-\bar { x } }{ c } =\cfrac { x-A }{ c } \)
A என்பது ஊகச் சராசரி, C என்பது பொதுக் காரணி 
இங்கு A =15,C =5
\({ d }^{ ' }=\cfrac { x-\bar { x } }{ c } =\cfrac { x-A }{ c } \)
= \(\sigma =\sqrt { \left( \cfrac { \Sigma d'2 }{ n } \right) -\left( \cfrac { \Sigma d' }{ n } \right) ^{ 2 }\times c } \)
= \(\sqrt { \cfrac { 10 }{ 5 } -0\times c } =\sqrt { 2 } \times 5\)
= \(5\sqrt { 2 } \)
3 ஐ ஒவ்வொரு தரவுடன் கூட்டக் கிடைப்பது 8,13,18,23,28 என்ற புதிய மதிப்புகள் 

\(\therefore \sigma =\sqrt { \left( \cfrac { \Sigma { d }^{ '{ 2 } } }{ n } \right) -\left( \cfrac { \Sigma { d }^{ ' } }{ n } \right) \times c } \)
= \(\sqrt { \cfrac { 10 }{ 5 } -0\times 5 } \)
= \(\sqrt { 2 } \times 5=5\sqrt { 2 } \)
திட்டவிலக்கம் மாறவில்லை.
\(\therefore \) ஒரு எண்ணை கூடினாலோ, கழித்தாலோ திட்டவிலக்கம் மாறாது.

உருளையின் கன அளவு=செவ்வக தொட்டியின் கன அளவு 
πr²h=28x16x11மீ³

உருளையின் உயரம் h=\(\frac{16\times11}{88}\)=2மீ

வாளியானது கூம்பின் இடைக்கண்டம். இடைக்கண்டத்தின் r1=28 செ.மீ, r2=7செ.மீ, h=45 செ.மீ
வாளியின் கொள்ளளவு=இடைக்கண்டத்தின் கன அளவு 
\(\Rightarrow \frac { 1 }{ 3 } \times \pi h[{ r }_{ 1 }^{ 2 }+{ r }_{ 2 }^{ 2 }+{ r }_{ 1 }{ r }_{ 2 }]\)
\(\Rightarrow \frac { 1 }{ 3 } \times \frac { 22 }{ 7 } \times 45\left[ { 28 }^{ 2 }+{ 7 }^{ 2 }+28\times 7) \right] \)
\(\Rightarrow 22\times 15\times \times (28\times 4+7+28)\)
⇒330x147 செ.மீ³ ⇒ 48510 செ.மீ³

1,-1,-3,-5
t₂-t₁=-1-1=-2
t₃-t₂=-3-(-1)=-2
t₄-t₃=-5-(-3)=-2
இது ஒரு A.P பொது வித்தியாசம் -2.
அடுத்த இரண்டு உறுப்புகள் (-5+(-2))=-7,-7+(-2)=-9, i.e \(\underline { -7 } ,\underline {-9} .\)

4,10,16,22,..
இங்கு a₂-a₂=10-4=6
a₃-a₂=16-10=6
a₄-a₃=22-16=6
∴ அது ஒரு A.P. பொது வித்தியாசம் 6.
∴ அடுத்து இரண்டு உறுப்புகள், \(\underline { 28 } ,\underline { 34 } .\)

A = {0, 1, 2, 3},  B = {1, 3, 5, 7, 9}
f(x) = 2x +1
f(0) = 2(0) + 1 = 1
f(1) = 2(1) + 1 = 3
f(2) = 2(2) + 1 = 5
f(3) = 2(3) + 1 = 7
(i) வரிசைச் சோடி கணம் 
f = {(0, 1), (1, 3), (2, 5), (3, 7)}
(ii) அட்டவணை

(iii) அம்புக்குறி படம்

(iv) வரைபடம் 
f = {(x, f(x)/ x ∈ A}
= {(0, 1), (1, 3), (2, 5), (3, 7)}

R-ன் மதிப்பகம் = {1, 2, 3, 4}
R-ன் துணை மதிப்பகம் = B = {-1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
R-ன் வீச்சகம் = {3, 6, 10, 9} 

A (1, 7), B (4, 2), C (-1, -1) மற்றும் D (-4, 4) என்க. ABCD ஒரு சதுரம் என நிரூபிக்க வேண்டுமாயின் அதன் நான்கு பக்கங்களும் சமம் என்றும் மூலைவிட்டங்கள் சமம் என்றும் நிரூபிக்க வேண்டும்.
d = \(\sqrt { { \left( { x }_{ 2 }-{ x }_{ 1 } \right) }^{ 2 }+{ \left( { y }_{ 2 }-{ y }_{ 1 } \right) }^{ 2 } } \)
∴ AB = \(\sqrt { { \left( 1-4 \right) }^{ 2 }+{ \left( 7-4 \right) }^{ 2 } } =\sqrt { 9+25 } =\sqrt { 34 } \)
BC = \(\sqrt { { \left( 4+1 \right) }^{ 2 }+{ \left( 2+1 \right) }^{ 2 } } =\sqrt { 25+9 } =\sqrt { 34 } \)
CD = \(\sqrt { { \left( -1+4 \right) }^{ 2 }+{ \left( 7-4 \right) }^{ 2 } } =\sqrt { 9+25 } =\sqrt { 34 } \)
DA = \(\sqrt { { \left( 1+4 \right) }^{ 2 }+{ \left( 7+1 \right) }^{ 2 } } =\sqrt { 25+9 } =\sqrt { 34 } \)
AC = \(\sqrt { { \left( 1+1 \right) }^{ 2 }+{ \left( 7+1 \right) }^{ 2 } } =\sqrt { 4+64 } =\sqrt { 68 } \)
BD = \(\sqrt { { \left( 4+4 \right) }^{ 2 }+{ \left( 2-4 \right) }^{ 2 } } =\sqrt { 64+4 } =\sqrt { 68 } \)
AB = BC = CD = DA மற்றும் AC = BD
∴ ABCD ஒரு சதுரத்தின் உச்சிகள் ஆகும்.

P(x, y) எனும் புள்ளி A(7, 1) மற்றும் B(3, 5) யிலிருந்து சமதூரத்தில் உள்ள புள்ளி. இங்கு AP = BP. ஆகையால் AP² = BP².
(x - 7)² + (y - 1)² = (x - 3)² + (y - 5)²
x² - 14x + 49 + y² - 2y + 1 = x² - 6x + 9 + y² - 10y + 25
x - y = 2
இதுவே தேவையான உறவு ஆகும்.

கொடுக்கப்பட்டது XY||AC

ஆகையால் ∠BXY = ∠A மற்றும்
∠BYX = ∠C  (ஒத்த கோணங்கள்)
∴ ΔABC~ΔXBY (SAS விதிமுறைப்படி)
ஆகையால் \(\frac { ar(ABC) }{ ar(XBY) } ={ \left( \frac { AB }{ XB } \right) }^{ 2 }\) ...(1)
ar(ABC) = 2ar(XBY)
\(\frac { ar(ABC) }{ ar(XBY) } =\frac { 2 }{ 1 } \) ...(2)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து,
\({ \left( \frac { AB }{ XB } \right) }^{ 2 }=\frac { 2 }{ 1 } \) i.e.  \(\frac { AB }{ XB } =\frac { \sqrt { 2 } }{ 1 } \)
\(\frac { XB }{ AB } =\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \)
\(1-\frac { XB }{ AB } =1-\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \)
\(\frac { AB-XB }{ AB } =\frac { \sqrt { 2 } -1 }{ \sqrt { 2 } } \)
\(\frac { AX }{ AB } =\frac { \sqrt { 2 } -1 }{ \sqrt { 2 } } =\frac { 2-\sqrt { 2 } }{ 2 } \)

OA.OB = OC.OD (கொடுக்கப்பட்டுள்ளது)

ஆகையால், \(\frac { OA }{ OC } =\frac { OD }{ OB } \) ...(1)
மேலும் ∠AOD = ∠COB (குத்தெதிர் கோணங்கள்) ....(2)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து
∴ ΔAOD~ΔCOB (SAS விதிமுறைப்படி)
ஆகையால் ∠A = ∠C மற்றும் ∠B = ∠D
(வடிவொத்த முக்கோணங்களின் ஒத்த கோணங்கள்)

AB = 5.6 செ.மீ
AD = 1.4 செ.மீ
AC = 7.2 செ.மீ
AE = 1.8 செ.மீ எனத் தரப்பட்டுள்ளது.
\(\mathrm{DB} =\mathrm{AB}-\mathrm{AD} \)
= 5.6 - 1.4 = 4.2 செ.மீ  
\(\mathrm{EC} =\mathrm{AC}-\mathrm{AE} \)
= 7.2 - 1.8 = 5.4 செ.மீ 
இங்கு \(\frac{A D}{D B}=\frac{1.4}{4.2}\)
\(\frac{A D}{D B}=\frac{1}{3}  \)
\(\frac{A E}{E C}=\frac{1.8}{5.4}  \)
\(\frac{A E}{E C}=\frac{1}{3}\)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து
\(\frac{A D}{D B}=\frac{A E}{E C}\) ∴ DE || BC

கட்டடத்தின் உயரம் BC என்க. தரையில் பந்து இருக்கும் இடத்தை A என்க. BC = 20 மீ, மேலும் ㄥXCA = 60° = ㄥCAB

AB = x மீ என்க.
செங்கோண Δ ABC – ல்
tan 60° = \(\frac {BC}{AB}\)
\(\sqrt 3 = \frac {20}{x }\)
x = \(\frac { 20\times \sqrt { 3 } }{ \sqrt { 3 } \times \sqrt { 3 } } =\frac { 20\times 1.732 }{ 3 } \) = 11.55 மீ
எனவே, கட்டடத்தின் அடிக்கும் பந்திற்கும் இடையேயுள்ள தொலைவு = 11.55 மீ.

கோபுரத்தின் உயரம் PQ என்க. PQ = h என்க. கோபுரத்திற்கும் தரையில் உள்ள புள்ளி R - க்கும் இடைப்பட்ட தொலைவு QR என்க.
செங்கோண Δ PQR - ல் ㄥPRQ = 30°
tan θ = \(\frac{PQ}{QR}\) ; tan 30° = \(\frac{h}{48}\)
⇒ \(\frac{1}{\sqrt3}\) = \(\frac{h}{48}\) எனவே, h = 16\(\sqrt3\)
ஆகவே, கோபுரத்தின் உயரம் 16\(\sqrt3\) மீ ஆகும்.

ஒரு நாணயம் மூன்று முறை சுண்டப்படும்போது கிடைக்கும் முடிவுகளாவன

கூறுவெளி S \(= \{\mathrm{HHH}, \mathrm{HHT}, \mathrm{HTH}, \mathrm{HTT},THH, THT, TTH, TTT \}\)
n(S) = 8
A என்பது இரு அடுத்தடுத்த பூக்கள் கிடைக்கும் நிகழ்வு என்க.
\(A =\{\mathrm{HTT}, \mathrm{TTH}, \mathrm{TTT}\} \)
n(A) = 3
\(\mathrm{P}(\mathrm{A}) =\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{3}{8}\)
இரு அடுத்தடுத்த பூக்கள் கிடைப்பதற்கான நிகழ்தகவு \(=\frac{3}{8}\)

கூறுவெளி, S = {1H, 1T, 2H, 2T, 3H, 3T, 4H, 4T, 5H, 5T, 6H, 6T};
n(S) = 12
A ஆனது ஒற்றைப்படை எண் மற்றும் தலைக் கிடைப்பதற்கான நிகழ்ச்சி என்க.
A = {1H, 3H, 5H}; n(A) = 3
\(P(A)=\frac { n(A) }{ n(S) } =\frac { 3 }{ 12 } =\frac { 1 }{ 4 } \)
P(A) = 1/4

இங்கு முதல் உறுப்பு a = 8, பொது வித்தியாசம்  \(d=7 \frac{1}{4}-8=-\frac{3}{4}\),
கூட்டுத் தொடர்வரிசையின் முதல் n உறுப்புகளின் கூடுதல் S_n = \(\frac { n }{ 2 } \left[ 2a+(n-1)d \right] \)
S₁₅ = \(\frac { 15 }{ 2 } \left[ 2\times 8+(15-1)\left( -\frac { 3 }{ 4 } \right) \right] \)
S₁₅ = \(\frac { 15 }{ 2 } \left[ 16-\frac { 21 }{ 2 } \right] =\frac { 165 }{ 4 } \)

\(x^2+3 x-28=0\)
\(a x^2+b x+c=0\) உடன் ஒப்பிட
a = 1, b = 3, c = -28
∴ மூலங்களின் கூடுதல் \(=-\frac{b}{a}=-\frac{3}{1}=-3\) 
மூலங்களின் பெருக்கல் \(=\frac{c}{a}=-\frac{28}{1}=-28\)

\(\alpha \) மற்றும் \(\beta \) என்பன கொடுக்கப்பட்ட இருபடிச் சமன்பாட்டின் மூலங்கள் என்க
(i) x² + 8x - 65 = 0 இங்கு a = 1,b = 8, c = -65 
\(\alpha +\beta =\cfrac { b }{ a } =-8\) மற்றும் \(\alpha \beta =\cfrac { c }{ a } =-65\)
\(\alpha +\beta =-8;\alpha \beta =-65\)
(ii) 2x² + 5x + 7 = 0 இங்கு, a = 2, b = 5, c = 7
\(\alpha +\beta =-\cfrac { b }{ a } =\cfrac { -5 }{ 2 } \) மற்றும் \(\alpha \beta =\cfrac { c }{ a } =\cfrac { 7 }{ 2 } \)
\(\alpha +\beta =-\cfrac { 5 }{ 2 } ;\alpha \beta =\cfrac { 7 }{ 2 } \)
(iii) kx² - k²x - 2k³ = 0 இங்கு,a = k, b = -k², c = -2k³
\(\alpha +\beta =-\cfrac { b }{ a } =\cfrac { -(-k^{ 2 }) }{ k } =k\) மற்றும் \(\alpha \beta =\cfrac { c }{ a } =\cfrac { -2k^{ 3 } }{ k } =-2k^{ 2 }\)

கோளத்தின் ஆரம் = 12 செ.மீ
கோளத்தின் கன அளவு \(=\frac{4}{3} \pi r^3\) கன அலகுகள்
\(=\frac{4}{3} \pi(12)^3\)
\(=2304 \pi\)செ.மீ³
உருளையின் ஆரம் = 8 செ.மீ
உயரம் = h செ.மீ
உருளையின் கன அளவு \(=\pi r^2 h\) கன அலகுகள்
\(=\pi(8)^2 h=64 \pi \mathrm{h}\) செ.மீ³
கொடுக்கப்பட்டது: கோளம் உருக்கப்பட்டு உருளையாக மாற்றப்படுகிறது.
\(\therefore\) உருளையின் கன அளவு = கோளத்தின் கன அளவு
\(64 \pi \mathrm{h}=2304 \pi \)
\(h=\frac{2304 \pi}{64 \pi}=36\)
\(\therefore\) உருளையின் உயரம் = 36 செ.மீ

கொடுக்கப்பட்ட சாய்வுக்கோணம் \(\theta=90^{\circ}\)
∴ கோட்டின் சாய்வு \('m' =\tan \theta\)
\(=\tan 90^{\circ}=\infty\) (வரையறுக்கப்படாதது)

கிணற்றின் ஆரம் = 5 மீ
கிணற்றின் ஆழம் = 14 மீ
எடுக்கப்பட்ட மண்ணின் கன அளவு \(=\pi r^2 h \)
\(=\frac{22}{7} \times(5)^2 \times 14=1100\) மீ³
எடுக்கப்பட்ட மண்ணைக் கொண்டு கிணற்றைச் சுற்றி உள்ளீடற்ற உருளை வடிவத்தில் மேடை அமைக்கப்படுகிறது.
உட்புற ஆரம் = 5 மீ
மேடையின் அகலம் = 5 மீ
\(\therefore\) வெளிப்புற ஆரம் = 5 + 5 = 10 மீ
உயரம் = h
உள்ளீடற்ற உருளையின் கன அளவு \(=\pi h\left(\mathrm{R}^2-\mathrm{r}^2\right) \)
\(\therefore \ \pi h\left(\mathrm{R}^2-\mathrm{r}^2\right) =1100 \)
\(\frac{22}{7} \times h\left(10^2-5^2\right) =1100\)
மேடையின் உயரம்
\(h=\frac{1100 \times 7}{22 \times 75}=4.67\) மீ

(i) x = 1 எனப் பிரதியிட்டால்,
\(f(1)=2(1)-(1)^2=2-1=1\)
(ii) x = x + 1 எனப் பிரதியிட்டால்,
\(f(x+1)=2(x+1)-(x+1)^2=2 x+2-\left(x^2+2 x+1\right)=-x^2+1\)
(iii) \(f(x)+f(1)=\left(2 x-x^2\right)+1=-x^2+2 x+1\)
\([f(x)+f(1) \neq f(x+1)\) என்பதைக் காணலாம். பொதுவாக, f(a + b) ஆனது f(a) + f(b)-க்கு சமமாக இருப்பதில்லை]

A x B = {(3,2), (3,4), (5,2), (5,4)}
A = {A x B-யின் முதல் ஆயத்தொலைவு உறுப்புகளின் கணம்}. எனவே A = {3,5}
B = {A x B-யின் இரண்டாம் ஆயத்தொலைவு உறுப்புகளின் கணம்}. எனவே B = {2,4} எனவே A = {3,5} மற்றும் B = {2,4}.

AC ஐ இணைக்கும் கோடு PQ ஐ G இல் சந்திக்கிறது.
\(\therefore \mathrm{AB} \| \mathrm{DC}\) மற்றும் \(\mathrm{PQ} \| \mathrm{DC}\)
\(\mathrm{PQ} \| \mathrm{AB}\)
ΔADC இல்
PG || DC
\(\frac{A P}{P D}=\frac{A G}{G C}\)    ...(1)
ΔCAB இல்
\(\frac{A G}{G C}=\frac{B Q}{Q C}\)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து
\(\frac{A P}{P D} =\frac{B Q}{Q C}  \)
\(\frac{A P}{18} =\frac{35}{15}  \)
\(A P =\frac{35 \times 18}{15} \)
AP =42  செ.மீ
இங்கு \(\mathrm{AD} =A \mathrm{P}^{\prime}+\mathrm{PD} \)
= 42 + 18 = 6 செ.மீ 
AD =60 செ.மீ 

(i) \(4,8,16, \ldots 8192 \)
\(a=4, r=\frac{8}{4}=2\)
பெருக்குத் தொடர் வரிசையின் n -வது உறுப்பு
\(\mathrm{t}_{\mathrm{n}} =a r^{\mathrm{n}-1}  \) \(\Rightarrow\) \(8192 =4 (2^{n-1})\)
\(\mathrm{2}^{\mathrm{n}-1} =\frac{8192}{4}  \) = 2058 = 2¹¹
n - 1 = 11 \(\Rightarrow\) n = 11 + 1 = 12
\(\therefore\) பெருக்குத் தொடர் வரிசையில் உள்ள உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை 12.
(ii) \(\frac { 1 }{ 3 } ,\frac { 1 }{ 9 } ,\frac { 1 }{ 27 } ,....\frac { 1 }{ 2187 }\)
இங்கு \( \mathrm{a}=\frac{1}{3}, \mathrm{r}=\frac{t_2}{t_1}=\frac{1 / 9}{1 / 3}=\frac{1}{9} \times \frac{3}{1}\)
\(r=\frac{1}{3}\)
பெருக்குத் தொடர் வரிசையின் n- வது உறுப்பு
\(\mathrm{t}_{\mathrm{n}} =\mathrm{ar}^{\mathrm{n}-1}  \)
\(\frac{1}{2187} =\frac{1}{3} (\frac{1}{3}) r^{n-1}  \)
\(\Rightarrow \frac{3}{2187} =(\frac{1}{3})^{n-1} \)
\(\frac{1}{729} =(\frac{1}{3})^{(n-1)}\)\(\Rightarrow \left(\frac{1}{3}\right)^6 =(\frac{1}{3})^{n-1}\)
n - 1 = 6 \(\Rightarrow\) n = 6 + 1 = 7
∴ பெருக்குத் தொடர் வரிசையில் உள்ள உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை 7.

கொடுக்கப்பட்ட முனைப்புள்ளிகள் (1, -1), (-4, 6) மற்றும் (-3, -5)

A(-4, 6), B(-3, -5), C(1, -1)
ΔABC -ன் பரப்பளவு \(=\frac{1}{2}\left[x_1\left(\mathrm{y}_2-\mathrm{y}_3\right)+x_2\left(\mathrm{y}_3-\mathrm{y}_1\right)\right]\)\(\left.+x_3\left(\mathrm{y}_1-\mathrm{y}_2\right)\right]\) சதுர அலகுகள் 
\(=\frac{1}{2} [-4(-5+1)-3(-1-6)+1(6+5)] \)
\(=\frac{1}{2}[-4 \times(-4)-3 \times(-7)+1 \times(11)] \)
\(=\frac{1}{2}[16+21+11]\)
\(=\frac{1}{2}(48)=24\) சதுர அலகுகள்