x	\({ d }^{ ' }=\cfrac { x-15 }{ 5 } \)	d'2
5	-2	4
10	-1	1
15	0	0
20	1	1
25	2	4
	\(\Sigma d=0\)	\(\Sigma d'^{ 2 }=10\)

\(\bar { x } =\cfrac { \Sigma x }{ n } =\cfrac { 75 }{ 5 } =15\)
\({ d }^{ ' }=\cfrac { x-\bar { x } }{ c } =\cfrac { x-A }{ c } \)
A என்பது ஊகச் சராசரி, C என்பது பொதுக் காரணி 
இங்கு A =15,C =5
\({ d }^{ ' }=\cfrac { x-\bar { x } }{ c } =\cfrac { x-A }{ c } \)
= \(\sigma =\sqrt { \left( \cfrac { \Sigma d'2 }{ n } \right) -\left( \cfrac { \Sigma d' }{ n } \right) ^{ 2 }\times c } \)
= \(\sqrt { \cfrac { 10 }{ 5 } -0\times c } =\sqrt { 2 } \times 5\)
= \(5\sqrt { 2 } \)
3 ஐ ஒவ்வொரு தரவுடன் கூட்டக் கிடைப்பது 8,13,18,23,28 என்ற புதிய மதிப்புகள் 

 

x	\({ d }^{ ' }=\cfrac { x-18 }{ 5 } \)	d'2
8	-2	4
13	-1	1
18	0	0
23	1	1
28	2	4
	\(\Sigma d'=0\)	\(\Sigma { d }^{ '2 }=0\)

\(\therefore \sigma =\sqrt { \left( \cfrac { \Sigma { d }^{ '{ 2 } } }{ n } \right) -\left( \cfrac { \Sigma { d }^{ ' } }{ n } \right) \times c } \)
= \(\sqrt { \cfrac { 10 }{ 5 } -0\times 5 } \)
= \(\sqrt { 2 } \times 5=5\sqrt { 2 } \)
திட்டவிலக்கம் மாறவில்லை.
\(\therefore \) ஒரு எண்ணை கூடினாலோ, கழித்தாலோ திட்டவிலக்கம் மாறாது.

வாளியானது கூம்பின் இடைக்கண்டம். இடைக்கண்டத்தின் r1=28 செ.மீ, r2=7செ.மீ, h=45 செ.மீ
வாளியின் கொள்ளளவு=இடைக்கண்டத்தின் கன அளவு 
\(\Rightarrow \frac { 1 }{ 3 } \times \pi h[{ r }_{ 1 }^{ 2 }+{ r }_{ 2 }^{ 2 }+{ r }_{ 1 }{ r }_{ 2 }]\)
\(\Rightarrow \frac { 1 }{ 3 } \times \frac { 22 }{ 7 } \times 45\left[ { 28 }^{ 2 }+{ 7 }^{ 2 }+28\times 7) \right] \)
\(\Rightarrow 22\times 15\times \times (28\times 4+7+28)\)
⇒330x147 செ.மீ³ ⇒ 48510 செ.மீ³

4,10,16,22,..
இங்கு a₂-a₂=10-4=6
a₃-a₂=16-10=6
a₄-a₃=22-16=6
∴ அது ஒரு A.P. பொது வித்தியாசம் 6.
∴ அடுத்து இரண்டு உறுப்புகள், \(\underline { 28 } ,\underline { 34 } .\)

A = {0, 1, 2, 3},  B = {1, 3, 5, 7, 9}
f(x) = 2x +1
f(0) = 2(0) + 1 = 1
f(1) = 2(1) + 1 = 3
f(2) = 2(2) + 1 = 5
f(3) = 2(3) + 1 = 7
(i) வரிசைச் சோடி கணம் 
f = {(0, 1), (1, 3), (2, 5), (3, 7)}
(ii) அட்டவணை

x	0	1	2	3
f(x)	1	3	5	7

(iii) அம்புக்குறி படம்

(iv) வரைபடம் 
f = {(x, f(x)/ x ∈ A}
= {(0, 1), (1, 3), (2, 5), (3, 7)}

கொடுக்கப்பட்டது XY||AC

ஆகையால் ∠BXY = ∠A மற்றும்
∠BYX = ∠C  (ஒத்த கோணங்கள்)
∴ ΔABC~ΔXBY (SAS விதிமுறைப்படி)
ஆகையால் \(\frac { ar(ABC) }{ ar(XBY) } ={ \left( \frac { AB }{ XB } \right) }^{ 2 }\) ...(1)
ar(ABC) = 2ar(XBY)
\(\frac { ar(ABC) }{ ar(XBY) } =\frac { 2 }{ 1 } \) ...(2)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து,
\({ \left( \frac { AB }{ XB } \right) }^{ 2 }=\frac { 2 }{ 1 } \) i.e.  \(\frac { AB }{ XB } =\frac { \sqrt { 2 } }{ 1 } \)
\(\frac { XB }{ AB } =\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \)
\(1-\frac { XB }{ AB } =1-\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \)
\(\frac { AB-XB }{ AB } =\frac { \sqrt { 2 } -1 }{ \sqrt { 2 } } \)
\(\frac { AX }{ AB } =\frac { \sqrt { 2 } -1 }{ \sqrt { 2 } } =\frac { 2-\sqrt { 2 } }{ 2 } \)

\(3 y^2-y-4=0\)  என்பது 'y' ல் அமைந்த இருபடிச் சமன்பாடு
\(a x^2+b x+c=0\) உடன் ஒப்பிட a = 3, b = -1, c = -4
∴ மூலங்களின் கூடுதல் \(=-\frac{b}{a}=-\frac{(-1)}{3}=\frac{1}{3}\)
மூலங்களின் பெருக்கல் \(=\frac{c}{a}=-\frac{4}{3}\)

\(\frac { 1 }{ 2 } \),1,2,4,...
\(\frac { { t }_{ 2 } }{ { t }_{ 1 } } =\frac { 1 }{ 1/2 } =2;\frac { { t }_{ 3 } }{ { t }_{ 2 } } =\frac { 2 }{ 1 } =2;\frac { { t }_{ 4 } }{ { t }_{ 3 } } =\frac { 4 }{ 2 } =2\)
இங்கு அடுத்தடுத்த உறுப்புகளின் விகிதங்கள் சமம் என்பதால் \(\frac { 1 }{ 2 } \),1,2,4,.... என்ற தொடர்வரிசையின் பொது விகிதம் r = 2 என்பது ஒரு பெருக்குத் தொடர்வரிசையாகும்.

43.5, 13.6, 18.9, 38.4, 61.4, 29.8
மிகப் பெரிய மதிப்பு L = 61.4
மிகச் சிறிய மதிப்பு S = 13.6
வீச்சு = L - S
= 61.4 - 13.6 = 47.8
வீச்சுக் கெழு \(=\frac{61.4-13.6}{61.4+13.6}\)
\(=\frac{47.8}{75}=0.637=0.64\)
\(\therefore\) வீச்சு = 47.8; வீச்சுக் கெழு = 0.64

OQ-ஆரம்; PQ என்பது வட்டத்தின் வெளியே உள்ள P என்ற புள்ளியிலிருந்து வட்டத்திற்கு வரையப்பட்ட தொடுகோடு. தொடு புள்ளியில் ஆரமும் தொடுகோடும் செங்குத்து.
\(\therefore \angle P Q O=90^{\circ} \)
\(\angle P O Q=180-120=60^{\circ}\)
\([\because \angle P O Q\) மற்றும் ㄥPOR என்பவை நேரிய கோண இணை]
ΔPQO இல் \(\angle P O Q+\angle P Q O+\angle O P Q=180^{\circ}\)
[ ∵ முக்கோணத்தின் மூன்று கோணங்களின் கூடுதல்]
\(60^{\circ}+90^{\circ}+\angle O P Q =180^{\circ}  \)
\(\angle O P Q =180^{\circ}-150^{\circ}  \)
\(\angle O P Q =30^{\circ}\)

\(\cot \theta+\tan \theta=\sec \theta \operatorname{cosec} \theta\)
இடப்பக்கம் \(=\cot \theta+\tan \theta\)
\(=\frac{\cos \theta}{\sin \theta}+\frac{\sin \theta}{\cos \theta} \)
\(=\frac{\cos ^2 \theta+\sin ^2 \theta}{\sin \theta \cos \theta}=\frac{1}{\sin \theta \cos \theta} \)
\(=\left[\because \sin ^2 \theta+\cos ^2 \theta=1\right] \)
\(\frac{1}{\sin \theta} \times \frac{1}{\cos \theta} \)
\(=\operatorname{cosec} \theta \sec \theta \)
\(=\sec \theta \operatorname{cosec} \theta\)
= வலப்பக்கம்

கொடுக்கப்பட்ட நேர்க்கோட்டின் சமன்பாடு 8x − 7y + 6 = 0
7y = 8x + 6 (இதனை y = mx + c வடிவத்திற்கு மாற்றவும்)
\(y=\frac { 8 }{ 7 } x+\frac { 6 }{ 7 } \) ...(1)
(1) ஐ y = mx + c உடன் ஒப்பிட,
சாய்வு m = \(\frac 87\) மற்றும் y வெட்டுத்துண்டு c = \(\frac 67\)

கூம்பின் ஆரம் r = 7 செ.மீ 
கூம்பின் மொத்தப் புறப்பரப்பு = \(\pi\)r (l + r) ச.அ
மொத்தப் புறப்பரப்பு = 704 ச.செ.மீ 
704 = \(\frac { 22 }{ 7 } \times 7(l+7)\)
32 = l + 7 ⇒  l = 25 செ.மீ 
ஆகவே, கூம்பின் சாயுயரம் 25 செ.மீ. ஆகும்.

n = 9,\({ \Sigma x }=99\),\(\bar { x } =\cfrac { \Sigma x }{ n } =\cfrac { 99 }{ 9 } =11\)
\(\Sigma \left( x-10 \right) ^{ 2 }=79={ \Sigma x }^{ 2 }-20x+100=79\)
= \({ \Sigma x }^{ 2 }-20\Sigma x+100\times 9=79\)
= \({ \Sigma x }^{ 2 }-20\times 99+100=79\)
\({ \Sigma x }^{ 2 }=79+1980-900=1159\)
\(\Sigma \left( x-\bar { x } \right) ^{ 2 }=\Sigma \left( x-11 \right) ^{ 2 }=\Sigma \left( { x }^{ 2 }-22x+121 \right) \)
= \({ \Sigma x }^{ 2 }-22\Sigma x+121\times 9\)
= \(1159-22\times 99+1089=70\)
\(\therefore { \Sigma x }^{ 2 }=1159,\Sigma \left( x-\bar { x } \right) ^{ 2 }=70\)

உருளையின் கன அளவு \(={ \pi r }^{ 2 }h\)
கூம்பின் கன அளவு \(=\frac { 1 }{ 3 } { \pi r }^{ 2 }h\)
கோலத்தின் கன அளவு \(=\frac { 4 }{ 3 } { \pi r }^{ 3 }\)
அவற்றின் கன அளவுகளின் விகிதம் V₁:V₂:V₃

\(h:\frac { h }{ 3 } :\frac { 4r }{ 3 } \)
3h:h:4r
3h:h:2(2r)    (இங்கு 2r=h)
∴ V₁:V₂:V₃=3:1:2

1,1,1,2,2,2,3,3,3
t₂-t₁=1-1=0
t₃-t₂=1-1=0
t₄-t₃=2-1=1
இங்கு  t₂-t₁≠t₃-t₂.
∴ இது ஒரு கூட்டுத் தொடர் அல்ல.

\(f(x)=\begin{cases} { x }^{ 2 }+2x+1\quad : -7\le x<-5 \\ x+5\quad \quad \quad\quad: -5\le x\le 2 \\ x-1\quad \quad \quad \quad2<x\le 6 \end{cases}\)
f(-7) = x² + 2x +1
= (-7)² + 2(-7) + 1
= 49 - 14 + 1 = 36
f(3) = x + 5 = -3 + 5 = 2
f(-7) - f(-3) = 36 - 2 = 34

A (1, -1), B(-4, 6), மற்றும் C(-3, -5) சூத்திரத்தை பயன்படுத்தி 
Δ = \(\frac { 1 }{ 2 } \) {x₁(y₂ - y₃) + x₂(y₃ - y₁) + x₃(y₁ - y₂)} சதுர அலகுகள்
= \(\frac { 1 }{ 2 } \) [1 (6 + 5 ) + (-4) (-5 + 1) + (-3) (- 1 - 6)]
= \(\frac { 1 }{ 2 } \) [11 + 16 + 21] = 24 சதுர அலகுகள்
∴ முக்கோணத்தின் பரப்பு = 24 சதுர அலகுகள்

நிரூபணம்:

ΔABC ஒரு செங்கோண முக்கோணம்
∠B செங்கோணம்
நிரூபிக்க வேண்டியது: AC² = AB² + BC²
அமைப்பு: BC 丄 AC
ΔABC = ΔABC
\(\frac { AD }{ AB } =\frac { AB }{ AC } \)
(பக்கங்களின் விகிதம்)
AD · AC = AB² ...(1)
மேலும், ΔBDC ~ ΔABC
\(\frac { CD }{ BC } =\frac { BC }{ AC } \)
CD · AC =BC² ...(2)
(1) மற்றும் (2) ஐக் கூட்ட
AD.AC+CD.AC = AB²+ BC²
AC(AD+CD) = AB² + BC²
AC.AC = AB²+ BC²
AC² = AB² + BC²

A என்பது பறவையின் தொடக்க நிலை
B என்பது 30^o கோணத்தில் பறந்த பின் இருந்த நிலை மற்றும் C என்பது பறவை 32 கி.மீ பறந்த பின் இருந்த நிலை என்க.
\(\therefore \angle O A P=55^{\circ} \)
\(\angle P B C=42^{\circ}\)
\([\because\) நிரப்புக் கோணங்கள்]
செங்கோண முக்கோணம் \(\triangle A O B\) லிருந்து
\(\cos 55^{\circ}=\frac{O A}{A B} \)
\(0.5736 =\frac{O A}{30} \)
OA = 30 x 0.5736 = 17.21 கி.மீ
A இன் மேற்குப்புறமாக B இன் தொலைவு 17.21 கி.மீ.

உருளை மற்றும் கூம்பின் உயரம் முறையே h₁ மற்றும் h₂ என்க.
இங்கு, ஒருவருக்குத் தேவையான பரப்பு = 4 ச.மீ 
நபர்களின் எண்ணிக்கை = 150
தேவையான மொத்த அடிப்பரப்பு = 150 x 4
πr² = 600  .....(1)
ஒருவருக்குத் தேவையான காற்றின் கனஅளவு = 40 க.மீ.
150 நபர்களுக்குத் தேவையான காற்றின் கன அளவு = 150 x 40 = 6000 க.மீ.
\(\pi { r }^{ 2 }{ h }_{ 1 }+\frac { 1 }{ 3 } { \pi r }^{ 2 }{ h }_{ 2 }=6000\) இதிலிருந்து, \(\pi { r }^{ 2 }\left( { h }_{ 1 }+\frac { 1 }{ 3 } { h }_{ 2 } \right) =6000\)
\((600) \left( 8+\frac { 1 }{ 3 } { h }_{ 2 } \right) =6000\)  [(1) ஐப் பிரதியிட]
\(8+\frac { 1 }{ 3 } { h }_{ 2 }=\frac { 6000 }{600 } \)
\(\frac { 1 }{ 3 } { h }_{ 2 }=10-8=2\)
h₂ = 6 மீ
ஆகவே, கூம்பின் உயரம் 6 மீ ஆகும்.

கொடுக்கப்பட்ட முனைப்புள்ளிகள் (-4,-2),(-3, k),(3,-2) மற்றும் (2,3)
நாற்கரத்தின் பரப்பளவு = 28 சதுர அலகுகள்
\(=\frac{1}{2}\left[\left(x_1-x_3\right)\left(y_2-y_4\right)-\left(x_2-x_4\right)\left(y_1-y_3\right)\right] \)
\(\frac{1}{2}[(-4-3)(k-3)-(-3-2)(-2+2)] =28 \)
\((-7)(k-3)-(-5)(0) =56 \)
\(-7 k+21 =56 \)
\(-7 k=56-21 =35 \)
\(k=\frac{35}{-7} =-5 \)
\(k =-5\)

\(\frac{x}{x^2-25}-\frac{8}{x^2+6 x+5} =\frac{x}{(x+5)(x-5)}-\frac{8}{(x+5)(x+1)}  \)
\(=\frac{x(x+1)-8(x-5)}{(x+5)(x-5)(x+1)}  \)
\(=\frac{x^2+x-8 x+40}{(x+5)(x-5)(x+1)}  \)
\(=\frac{x^2-7 x+40}{\left(x^2-25\right)(x+1)}\)

\(\mathrm{p}^2-\mathrm{q}^2=(a \cot \theta+b \operatorname{cosec} \theta)^2-(b \cot \theta+a \operatorname{cosec} \theta)^2 \)
\(=a^2 \cot ^2 \theta+b^2 \operatorname{cosec}^2 \theta+2 a b \cot \theta \operatorname{cosec} \theta -\left(b^2 \cot ^2 \theta+a^2 \operatorname{cosec}^2 \theta+2 a b \cot \theta \operatorname{cosec} \theta\right)\)
\(=a^2 \cot ^2 \theta+b^2 \operatorname{cosec}^2 \theta+2 a b \cot \theta \operatorname{cosec} \theta -b^2 \cot ^2 \theta-a^2 \operatorname{cosec}^2 \theta-2 a b \cot \theta \operatorname{cosec} \theta\)
\(=a^2\left(\cot ^2 \theta-\operatorname{cosec}^2 \theta\right)+b^2\left(\operatorname{cosec}^2 \theta-\cot ^2 \theta\right) \)
\(=a^2(-1)+b^2(1) \)
\(=-a^2+b^2 \)
\(=\mathrm{b}^2-\mathrm{a}^2\)

a = 1, d = 4
t_n = a + (n - 1) d = 1 + (n - 1) 4 = 4n - 3
எண்ணானது 4n - 3 என்ற வடிவில் இருக்க வேண்டும்.
கொடுக்கப்பட்ட விடையிலிருந்து 7881 மட்டுமே 4n - 3 என்ற வடிவில் இருக்கும்.

வேலை கிடைக்கும் நிகழ்வு A என்க
\(P(A) + P(\bar{A}) =1 \)
\(\frac{x}{3}+\frac{2}{3} =1 \)
\(\frac{x+2}{3} =1 \)
x + 2 = 3
x = 3 - 2
x = 1 .

முதல் 20 இயல் எண்களின் கூடுதல்
\(=\frac{n(n+1)}{2}=\frac{20 \times 21}{2} \)
\(\sum x_i =210 \)
\(\sigma =\sqrt{\frac{\sum x_i^2}{n}-\left(\frac{\sum x_i}{n}\right)^2} \)
\(\sum x_i^2 =1^2+2^2+3^2+\ldots+20^2 \)
\(=\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6} \)
\(=\frac{20 \times 21 \times 41}{6}=10 \times 7 \times 41 \)
\(=2870 \)
\(\sigma =\sqrt{\frac{2870}{20}-\left(\frac{210}{20}\right)^2}\)
விலக்க வா்க்கச் சராசரி
\(\sigma^2 =\frac{2870}{20}-\left(\frac{210}{20}\right)^2 \)
\(=143.5-\frac{441}{4} \)
\(=143.5-110.25=33.25\)

உட்புற ஆரம் = r, வெளிப்புற ஆரம் = R
கொ.ப. கூடுதல் = R + r = 14, தடிமன் R - r = 4, உயரம் h = 20 செ.மீ
பயன்பட்ட பொருளின் கன அளவு
\(=\pi\left(\mathrm{R}^2-\mathrm{r}^2\right) \mathrm{h}\) கன அலகுகள்
\(=\pi(\mathrm{R}+\mathrm{r})(\mathrm{R}-\mathrm{r}) \mathrm{h} \)
\(=\pi(14)(4) 20 \)
= 1120π  செ.மீ

f = {(0,1),(2,0),(3,-4),(4,2),(5,7)}
g = {(0,2),(1,0),(2,4),(-4,2),(7,0)}
இப்போது,
\(\mathrm{fog}(0)=\mathrm{f}[2]=0 \)
\(\mathrm{f} \circ \mathrm{g}(1)=\mathrm{f}[0]=1 \)
\(\mathrm{f} \circ \mathrm{g}(2)=\mathrm{f}[4]=2 \)
\(\mathrm{f} \circ \mathrm{g}(-4)=\mathrm{f}[2]=0 \)
\(\mathrm{f} \circ \mathrm{g}(7)=\mathrm{f}[0]=1\)
'fog' ன் வீச்சகம் = {0,1,2}

கொடுக்கப்பட்டது {(a, 8),(6, b)} என்பது சமனிச் சார்பு
அதாவது, {(8,8), (6,6)}
\(\therefore a=8, b=6\)

குழு A
x1	d1=x -28	\({ d }_{ 1 }^{ 2 }\)
50	22	484
20	-8	64
10	-18	324
30	2	4
30	2	4
140	\(\Sigma d=0\)	880

\({ \bar { x } }_{ 1 }=\cfrac { 140 }{ 6 } =28\)
\({ \bar { \sigma } }_{ 1 }=\sqrt { \cfrac { { \Sigma d }^{ 2 } }{ n } } =\sqrt { \cfrac { 880 }{ 5 } } \)
= \(\sqrt { 176 } \)
= 13.27
\({ CV }_{ 1 }=\cfrac { { \sigma }_{ 1 } }{ { \bar { x } }_{ 1 } } \times 100\)
\({ CV }_{ 1 }=\cfrac { 13.27 }{ 28 } \times 100\)
= 47.39%

குழு B
x2	d2=x-30	d2
40	10	100
60	30	900
20	-10	100
20	-10	100
10	-20	400
150	\(\Sigma d=0\)	16000

\({ \bar { x } }_{ 2 }=\cfrac { 150 }{ 5 } =30\)
\({ \sigma }_{ 2 }=\sqrt { \cfrac { { \Sigma d }^{ 2 } }{ n } } =\sqrt { \cfrac { 1600 }{ 5 } } \)
= \(\sqrt { 320 } \)
= 17.89
\({ CV }_{ 1 }=\cfrac { { \sigma }_{ 2 } }{ { \bar { x } }_{ 2 } } \times 100\)
\({ CV }_{ 2 }=\cfrac { 17.89 }{ 30 } \times 100\)
= 59.63%
\(\therefore \) குழு A அதிக சீர்மைத் தன்மை கொண்டுள்ளது.

 

 

உருளையின் ஆரம் =r என்க.
உருளையின் உயரம்=h
மொத்த புறப்பரப்பு =உருளையின் புறப்பரப்பு +2 அரைக்கோளத்தின் புறப்பரப்பு 
=2πrh+2πr²=2πr(h+2r)
=2x\(\frac{22}{7}\)x3.5x(10+2x3.5)
=22x17=374 செ.மீ²

AB - ஏணி, CA - சுவர், A - ஜன்னல்,
மேலும், BC = 2.5 மீ மற்றும் CA = 6 மீ
பித்தாகரஸ் தேற்றத்தின்படி,

AB² = BC²+ CA²
= (2.5)² + (6)²
= 42.25
AB = 6.5
ஏணியின் நீளம் = 6.5 மீ.

கொ.ப : சமன்பாடு \(2 x^2-7 x+5=0 \ a x^2+b x+c=0\) உடன் ஒப்பிட 
\(\mathrm{a}=2, \quad \mathrm{~b}=-7, \quad \mathrm{c}=5\)
α, β என்பன மூலங்கள்
∴ மூலங்களின் கூடுதல் = α + β
\(=-\frac{b}{a}=\frac{7}{2}\)
மூலங்களின் பெருக்கல் = α β
\(=\frac{c}{a}=\frac{5}{2} \)
\(\frac{\alpha+2}{\beta+2}+\frac{\beta+2}{\alpha+2} =\frac{(\alpha+2)^2+(\beta+2)^2}{(\alpha+2)(\beta+2)}  \)
\(=\frac{\alpha^2+4 \alpha+4+\beta^2+4 \beta+4}{\alpha \beta+2 \alpha+2 \beta+4}  \)
\(=\frac{\left(\alpha^2+\beta^2\right)+4(\alpha+\beta)+8}{\alpha \beta+2(\alpha+\beta)+4}  \)
\(=\frac{(\alpha+\beta)^2-2 \alpha \beta+4(\alpha+\beta)+8}{\alpha \beta+2(\alpha+\beta)+4}  \)
\(=\frac{\left(\frac{7}{2}\right)^2-2\left(\frac{5}{2}\right)+4\left(\frac{7}{2}\right)+8}{\left(\frac{5}{2}\right)+2\left(\frac{7}{2}\right)+4} \)
\( =\frac {\frac{49}{4}+17 }{\frac{5}{2}+11  }\)
\(= \frac{117}{4} \times \frac{2}{27}=\frac{117}{54}\)

D மற்றும் E ஆனது BC ஐ மூன்று சம பகுதிகளாக பிரிக்கும் புள்ளிகள். எனவே.
\(\mathrm{BD}=\dot{\mathrm{DE}}=\mathrm{CE} \)
\(\mathrm{BD}=\mathrm{DE}=\mathrm{CE}=\mathrm{X}\) என்க. 
BE = 2x மற்றும் BC = 3x
செங்கோண முக்கோணங்கள் \(\triangle \mathrm{ABD}, \triangle \mathrm{ABE}\) மற்றும் \(\triangle \mathrm{ABC}\) இல்,
\(A D^2 =A B^2+B D^2  \)
\(\Rightarrow A D^2 =A B^2+x^2\)   ...(1)
செங் ΔABE இல்
\(\mathrm{AE}^2=\mathrm{AB}^2+\mathrm{BE}^2 \)
\(\Rightarrow \mathrm{AE}^2=\mathrm{AB}^2+(2 \mathrm{x})^2 \)
\(\Rightarrow A E^2=A B^2+4 x^2\)   ....(2)
செங்கோண ΔABC இல் 
\(A C^2 =A B^2+B C^2  \)
\(\Rightarrow A C^2 =A B^2+(3 x)^2 \)
\(8 A E^2-3 A C^2-5 A D^2=8\left(A B^2+4 x^2\right)-  3\left(A B^2+9 x^2\right)-5\left(A B^2+x^2\right)  \)
\(=8 A B^2+32 x^2-3 A B^2-27 x^2-5 A B^2-5 x^2  \)
\(\Rightarrow 8 A E^2-3 A C^2-5 A D^2=0  \) ....(3)
\(8 A E^2=3 A C^2+5 A D^2\)
எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

y = x² - 9x + 20 = 0
y = x² - 9x + 20  என்க  
அட்டவணை மதிப்புகள்

x	-1	0	1	2	3	4	5	6
x2	1	0	1	4	9	16	25	36
-9x	9	0	-9	-18	-27	-36	-45	-54
20	20	20	20	20	20	20	20	20
y	30	20	12	6	2	0	0	2

வரைபடத்தில் புள்ளிகளைக் குறிக்க, நமக்குக் கிடைப்பது y = x² - 9x + 20
பரவளையம் X-அச்சை (4, 0) மற்றும் (5, 0) என்ற புள்ளிகளில் வெட்டுகிறது.
எனவே, தீர்வு x =4 ,5
பரவளையம் X-அச்சை வெவ்வேறு புள்ளிகளில் வெட்டுவதால், மூலங்கள் மெய் மற்றும் வெவ்வேறானவை.

 ஊகச் சராசரி A = 34.5 என்க மற்றும் c = 4

விட்டங்கள் செ.மீ	மைய மதிப்பு xi	fi	\({ d }_{ i }=\cfrac { { x }_{ i }-A }{ C } \\ { d }_{ i }=\cfrac { { x }_{ i }-34.5 }{ 2 }\)	fidi	\({ d }_{ i }^{ 2 }\)	\({ f }_{ i }{ { d }_{ i }^{ 2 } }\)
20.5-24.5	22.5	15	-3	-45	9	135
24.5-28.5	26.5	18	-2	-36	4	72
28.5-32.5	30.5	20	-1	-20	1	20
32.5-36.5	34.5	16	0	0	0	0
36.5-40.5	38.5	8	1	8	1	8
40.5-44.5	42.5	7	2	14	4	28
		\(\Sigma f_i=N=84\)		\(\Sigma f_id_i=-79\)		\(\Sigma f_id_i^2=263\)

திட்ட விலக்கம்
\(\begin{aligned} \sigma & =\sqrt{\frac{\Sigma f_i d_i^2}{N}-\left(\frac{\Sigma f_i d_i}{N}\right)^2} \\ & =\sqrt{\frac{78}{50}-\left(\frac{8}{50}\right)^2}=\sqrt{\frac{78}{50}-\frac{64}{2500}} \\ & =\sqrt{\frac{3900-64}{2500}}=\sqrt{\frac{3836}{2500}} \\ & =\sqrt{1.5344}=1.24 \end{aligned}\)
\(\therefore\)  திட்ட விலக்கம் \(\sigma \simeq 1.24\)