A(1, -4), B(2, -3) மற்றும் C(4, -7) ஆகியன முக்கோணத்தின் முனைப் புள்ளிகள் என்க
AB -யின் சாய்வு = \(\frac { -3+4 }{ 2-1 } =\frac { 1 }{ 1 } \) = 1
BC -யின் சாய்வு  = \(\frac { -7+3 }{ 4-2 } =\frac { -4 }{ 2 } \) = -2
AC -யின் சாய்வு = \(\frac { -7+4 }{ 4-1 } =\frac { -3 }{ 3 } \) = -1
AB-யின் சாய்வு × AC-யின் சாய்வு = (1)(-1) = -1
ஆகவே, AB ஆனது AC-க்கு செங்குத்தாகும். ㄥA = 90⁰
எனவே, ΔABC ஆனது செங்கோண முக்கோணம் ஆகும்.

கொடுக்கப்பட்ட முனைப்புள்ளிகள் A(-5, -4), B(1, 6) மற்றும் C(7, -4)
முக்கோணத்தின் பரப்பு \(=\frac{1}{2}\left[\mathrm{x}_1\left(\mathrm{y}_2-\mathrm{y}_3\right)+\mathrm{x}_2\left(\mathrm{y}_3-\mathrm{y}_1\right)+\mathrm{x}_3\left(\mathrm{y}_1-\mathrm{y}_2\right)\right]\) சதுர அலகுகள் முக்கோணம் ABC ன் பரப்பளவு
\(=\frac{1}{2}[-5(6+4)+1(-4+4)+7(-4-6)]  \)
\(=\frac{1}{2}[-50+0-70]=\frac{-120}{2}=-60\)
[∵ பரப்பளவு குறை எண்ணாக இருக்க இயலாது]
∴ பரப்பளவு = 60 சதுர அலகுகள்
கொடுக்கப்பட்டது: 6 சதுர அடி பரப்புக்கு வர்ணம் பூச ஒரு வாளி வர்ணம் தேவைப்படுகிறது.
∴ வாளிகளின் எண்ணிக்கை \(=\frac{60}{6}=10\)

ஓர் ஓட்டின் முனைப் புள்ளிகள் (-3,2), (-1, -1) மற்றும் (1, 2) ஆகும்.
இந்த ஓட்டின் பரப்பு = \(\frac {1}{2}\) {(3 - 2 + 2) - (-2 - 1 - 6)} ச.அலகுகள்
= \(\frac {1}{2}\)(12) = 6 ச. அலகுகள்
தரைத்தளமானது ஒரே மாதிரியான 110 ஓடுகளால் நிரப்பப்படுவதால், தரைத்தளத்தின் பரப்பு = 110 × 6 = 660 ச.அலகுகள்.

(i) மின்கலச் சக்தி 40% எனில், நேரத்தைக் கணக்கிட, y = 0.40 என எடுத்துக் கொள்க.
0.40 = −0.25x + 1 ⇒ 0.25x = 0.60
x = \(\frac {0.60}{0.25}\) = 2.4 மணி
(ii) மின்கலம் தனது முழுச் சக்தியை இழந்துவிட்டால் y = 0 எனக் கிடைக்கும்.
எனவே , 0 = −0.25x + 1 ⇒ 0.25x = 1 எனவே , x = 4 மணி.
∴ நான்கு மணி நேரத்திற்குப் பின்பு அலைபேசியின் மின்கலம் தனது முழுச் சக்தியையும் இழக்கிறது.

(i) (a) AB - யின் சாய்வு = \(\frac { { y }_{ 2 }-{ y }_{ 1 } }{ { x }_{ 2 }-{ x }_{ 1 } } =\frac { -2+2 }{ 6-1 } \) = 0
(b) CD - யின் சாய்வு = \(\frac { 1-1 }{ 2-5 } =\frac { 0 }{ -3 } \) = 0
(ii) (a) BC - யின் சாய்வு = \(\frac { 1+2 }{ 5-6 } =\frac { 3 }{ -1 } \) = -3
(b) AD - யின் சாய்வு = \(\frac { 1+2 }{ 2-1 } =\frac { 3 }{ 1 } \) = 3
(iii) AB- யின் சாய்வும் CD–ன் சாய்வும் சமமாக இருப்பதால், அவைகள் இணையாகும். இதேபோல் AD– யின் சாய்வும், BC– ன் சாய்வும் சமம் இல்லை. எனவே, இவை இணை இல்லை.
ஆகையால், நாற்கரம் ABCD ஆனது ஒரு சரிவகம் என அறியலாம்