n = 9,\({ \Sigma x }=99\),\(\bar { x } =\cfrac { \Sigma x }{ n } =\cfrac { 99 }{ 9 } =11\)
\(\Sigma \left( x-10 \right) ^{ 2 }=79={ \Sigma x }^{ 2 }-20x+100=79\)
= \({ \Sigma x }^{ 2 }-20\Sigma x+100\times 9=79\)
= \({ \Sigma x }^{ 2 }-20\times 99+100=79\)
\({ \Sigma x }^{ 2 }=79+1980-900=1159\)
\(\Sigma \left( x-\bar { x } \right) ^{ 2 }=\Sigma \left( x-11 \right) ^{ 2 }=\Sigma \left( { x }^{ 2 }-22x+121 \right) \)
= \({ \Sigma x }^{ 2 }-22\Sigma x+121\times 9\)
= \(1159-22\times 99+1089=70\)
\(\therefore { \Sigma x }^{ 2 }=1159,\Sigma \left( x-\bar { x } \right) ^{ 2 }=70\)

தேவைப்படும் வில்லைகளின் எண்ணிக்கை 
\(=\frac { \pi r_{ 1 }^{ 2 }{ h }_{ 1 } }{ { \pi r }_{ 2 }^{ 2 }{ h }_{ 2 } } =\frac { \pi \times \frac { 45 }{ 20 } \times \frac { 45 }{ 20 } \times 10 }{ \pi \times \frac { 15 }{ 20 } \times \frac { 15 }{ 20 } \times \frac { 2 }{ 10 } } \)

=450

\(\sqrt { 3 } \)=\(\frac {p}{q }\)
\(\sqrt { 3 } \)=\(\frac {p}{q }\)(q≠0) (p மற்றும் q  என்பன சார்பகா எண்கள்)
எனவே, \(\sqrt { 3 } \)=\(\frac {p}{q }\)
\(\sqrt { 3 } \)q =p 
இருபுறமும் வர்க்கப்படுத்த,
(\(\sqrt { 3 } \)q)²=p²
3q2=p2    ....(1)
q2=\(\frac{p^2}{3}\)
எனவே, 3 ஆனது p²-யை வகுக்கும் 3 ஆனது p-யையும் வகுக்கும்.
எனவே, \(\frac{p}{q}\)=c என்க 
p=3c
நமக்குத் தெரியும் 
3q²=p²
p=3c என (1)-ல் பிரதியட
3q²=(3c)²
3q²=9c²
q²=\(\frac{1}{3}\)x9x2
q²=3c²
\(\frac{q^2}{3}=c^2\)
எனவே 3 ஆனது q2 ஐ வகுக்கும் 
அதனால், 3 ஆனது q ஐயும் வகுக்கும் ...(3)
முரண்பாட்டினால் \(\sqrt { 3 } \) ஆனது விகிதமுறா எண் 

f (x) = 1 + x
g (x) = (2x - 1)
fog (x) = f (g(x)) = f(2x - 1)
= 1 + 2x - 1 = 2x              ....(1)
gof (x) = g(f(x)) = g(1 + x) = 2(1 + x) -1
= 2 + 2x -1
= 2x + 1
(1) ≠ (2)
∴ fog (x) ≠ gof (x) எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

இணைகரத்தில் மூலைவிட்டங்கள் இருசமக்கூறிடும்.
∴ AC யின் மையப்புள்ளி = BD-ன் மையப்புள்ளி 
i.e., \(\left[ \frac { 6+9 }{ 2 } ,\frac { 1+4 }{ 2 } \right] =\left[ \frac { 8+p }{ 2 } ,\frac { 2+3 }{ 2 } \right] \)
\(\left[ \frac { 15 }{ 2 } ,\frac { 5 }{ 2 } \right] =\left[ \frac { 8+p }{ 2 } ,\frac { 5 }{ 2 } \right] \)
\(\frac { 15 }{ 2 } ,\frac { 8+p }{ 2 } \)
P = 7 

ΔADC யில்
AC² = AD² + CD²  ...(1)
(பிதாகரஸ் தேற்றத்தின்படி)
ΔADB யில்,
AB² = AD² + BD² ...(2)
(பிதாகரஸ் தேற்றத்தின்படி)
(1) ஐ (2) லிருந்து கழிக்க
AB² - AC² = BD² - CD²
AB² + CD² = BD² + AC²

 கொடுக்கப்பட்டது வெட்டுத்துண்டுகள் சமம்
\(\therefore \ \mathrm{a}=\mathrm{b}\)
கோட்டின் வெட்டுத்துண்டு வடிவச் சமன்பாடு
\(\frac{x}{a}+\frac{y}{b} =1 \)
\(\Rightarrow \frac{x}{a}+\frac{y}{a}=1 \)
\(\Rightarrow x+y=a\) ..........(1)
இது (-8, 4) புள்ளி வழிச் செல்வதால்
\(\therefore-8+4 =a \)
\(\Rightarrow a =-4 \)
\(\therefore\) நேர்கோட்டின் சமன்பாடு
a-ன் மதிப்பை 1 ல் பிரதியிட 
x + y = -4
x + y + 4 = 0
இதுவே தேவையான நேர்கோட்டின் சமன்பாடு 

A =\(\left[\begin{matrix} 5 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 2 \\ 2 \end{matrix}\begin{matrix} 9 \\ 8 \end{matrix} \right] ,B=\left[\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 5 \end{matrix}\begin{matrix} 7 \\ 2 \\ -1 \end{matrix} \right] \)
(AB) =\(\left[ \begin{matrix} 5 & 2 & 9 \\ 1 & 2 & 8 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 1 & 7 \\ 1 & 2 \\ 5 & -1 \end{matrix} \right] \)
=\(\left[ \begin{matrix} (5+2+45) & (35+4-9) \\ (1+2+40) & (7+4-8) \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 52 & 30 \\ 43 & 3 \end{matrix} \right] \)
(AB)^T =\(\left[ \begin{matrix} 52 & 43 \\ 30 & 3 \end{matrix} \right] \)
\(B^{ T }=\left[ \begin{matrix} 1 & 1 & 5 \\ 7 & 2 & -1 \end{matrix} \right] ,{ A }^{ T }=\left[ \begin{matrix} 5 & 1 \\ 2 & 2 \\ 9 & 8 \end{matrix} \right] \)  ....(1)
\(\mathrm{B}^{\mathrm{T}} \mathrm{A}^{\mathrm{T}}=\left[\begin{array}{rrr} 1 & 1 & 5 \\ 7 & 2 & -1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{ll} 5 & 1 \\ 2 & 2 \\ 9 & 8 \end{array}\right]\)
B^TA^T =\(\left[ \begin{matrix} (5+2+45) & (1+2+40) \\ (35+4-9) & (7+4-8) \end{matrix} \right] \)
=\(\left[ \begin{matrix} 52 & 43 \\ 30 & 3 \end{matrix} \right] \)  ....(2)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து,
\((\mathrm{AB})^{\mathrm{T}}=\mathrm{B}^{\mathrm{T}} \mathrm{A}^{\mathrm{T}}\)
நிறுவப்பட்டது.

CD என்பது 13 மீ உயரமுள்ள மரம் மற்றும் AB என்பது மற்றொரு மரம் என்க.
\(\angle A D E=45^{\circ} \)
\(\angle E D B=\angle D B C=30^{\circ}\)
CB = DE மற்றும் CD = EB = 13 மீ
செங்கோண முக்கோணம் \(\triangle A E D\) லிருந்து
\(\tan 45^{\circ} =\frac{A E}{D E} \)
\(1 =\frac{A E}{D E} \)
AE = DE   ....(1)
செங்கோண முக்கோணம் \(\triangle D B C\) லிருந்து
\(\tan 30^{\circ} =\frac{D C}{B C} \)
\(\frac{1}{\sqrt{3}} =\frac{13}{B C} \)
\(\mathrm{BC} =13 \sqrt{3}\)  மீ
\(\therefore\) (1) லிருந்து \(\mathrm{AE}=13 \sqrt{3}\) மீ
\([\because B C=D E=A E]\)
இரண்டாவது மரத்தின் உயரம் \(= \mathrm{AB}=\mathrm{AE}+\mathrm{EB}\)
\(=(13 \sqrt{3}+13) \)
\(=(13 \times 1.732+13) \)
\(=(22.516+13) =35.516=35.52\) மீ
\(\therefore\)  இரண்டாவது மரத்தின் உயரம் = 35.52 மீ

மொத்த பந்துகள் = நீல பந்துகள் + சிவப்பு பந்துகள் n(S) = 12 + x
(i) எடுக்கும் பந்து சிவப்பு நிற பந்தாக இருக்க நிகழ்தகவு:
சிவப்பு பந்து எடுக்கும் நிகழ்ச்சி A என்க.
\(\therefore \quad \mathrm{n}(\mathrm{A}) =\mathrm{x} \)
\(\mathrm{P}(\mathrm{A}) =\frac{n(\mathrm{~A})}{n(S)} \)
\(\mathrm{P}(\mathrm{A}) =\frac{x}{12+x}\)
(ii) 8 புதிய சிவப்பு பந்துகளை அப்பையில் வைத்த பின் பையிலுள்ள மொத்த சிவப்பு பந்துகள் = x + 8
பையிலுள்ள மொத்த பந்துகள் = 12 + x + 8
\(\therefore\) சிவப்பு பந்தை எடுக்கும் நிகழ்தகவு
\(\mathrm{P}(\mathrm{B}) =\frac{n(B)}{n(S)} \)
\(=\frac{x+8}{12+x+8}=\frac{x+8}{x+20}\)
சிவப்பு நிற பந்தை எடுக்கும் நிகழ்தகவு (i) இல் பெறப்பட்ட நிகழ்தகவைப் போல இருமடங்கு எனில்,
\(\frac{x+8}{x+20}=2 \times\left[\frac{x}{12+x}\right] \)
\((x+8)(12+x) =2 x(x+20) \)
\(12 x+96+x^2+8 x =2 x^2+40 x \)
\(2 x^2-x^2+40 x-12 x-8 x-96 =0 \)
\(x^2+20 x-96 =0 \)
\((x-4)(x+24) =0\)
x = 4 மற்றும் x = -24 (இயலாதது)
\(\therefore\) P(A) ல் x இன் மதிப்பை பிரதியிட;
\(\mathrm{P}(\mathrm{A})=\frac{4}{12+4}=\frac{4}{16} \)
\(\mathrm{P}(\mathrm{A}) =\frac{1}{4} \)

\(\mathrm{r}_1, \mathrm{r}_2\) என்பன இரு கோளங்களின் ஆரங்கள் என்க.
கொ.ப: \(\frac{r_1}{r_2}=\frac{4}{7} \Rightarrow r_1=\frac{4 r_2}{7}\)
கன அளவுகளின் விகிதம் \(=\frac{V_1}{V_2}=\frac{\frac{4}{3} \pi r_1^3}{\frac{4}{3} \pi r_2^3} \)
\(=\frac{\left(\frac{4 r_2}{7}\right)^3}{r_2^3}=\frac{4^3}{7^3}\)
கன அளவுகளின் விகிதம்
\(\mathrm{V}_1: \mathrm{V}_2=64: 343\)

கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் \(\left(-\frac{1}{2}, 3\right), (-5,6)\) மற்றும் (-8,8).
முக்கோணத்தின் பரப்பளவு \(=\frac{1}{2}\left[x_1\left(y_2-y_3\right)+x_2\left(y_3-y_1\right) +x_3\left(y_1-y_2\right)\right] \)
\(=\frac{1}{2}\left[-\frac{1}{2}(6-8)-5(8-3)-8(3-6)\right]  \)
\(=\frac{1}{2}\left[-\frac{1}{2}(-2)-5(5)-8(-3)\right]  \)
\(=\frac{1}{2}[1-25+24]=\frac{1}{2}(0)=0\)
முக்கோணத்தின் பரப்பளவு பூச்சியம் என்பதால், புள்ளிகள் ஒரே கோட்டமைந்த புள்ளிகளாகும்.

கொடுக்கப்பட்டது \(\begin{aligned} 2 x &+\left[\begin{array}{ll} 1 & 3 \\ 5 & 7 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll} 5 & 7 \\ 9 & 5 \end{array}\right] \\ \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} 2 x &=\left[\begin{array}{ll} 5 & 7 \\ 9 & 5 \end{array}\right]-\left[\begin{array}{ll} 1 & 3 \\ 5 & 7 \end{array}\right] \\ \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} &=\left[\begin{array}{cc} 4 & 4 \\ 4 & -2 \end{array}\right] \\ \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} x &=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{cc} 4 & 4 \\ 4 & -2 \end{array}\right] \\ \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} &=\left[\begin{array}{cc} 2 & 2 \\ 2 & -1 \end{array}\right] \end{aligned}\)

செங்கோண முக்கோணம் \(\triangle O M P^{\prime}\) லிருந்து
\(\tan 45^{\circ} =\frac{h+(x+h)}{O M} \)
\(1 =\frac{x+2 h}{O M} \)
\(O M =x+2 h\)
செங்கோண முக்கோணம் \(\triangle O M P\) லிருந்து
\(\tan \beta =\frac{x}{O M} \)
\(O M =\frac{x}{\tan \beta}\)
(1) மற்றும் (2).லிருந்து
\(x+2 \mathrm{~h} =\frac{x}{\tan \beta} \)
\(\frac{x}{\tan \beta}-x =2 \mathrm{~h} \)
\(\frac{x-x \tan \beta}{\tan \beta} =2 \mathrm{~h} \)
\(\frac{x-x \tan \beta}{\tan \beta} =2 h \)
\(x(1-\tan \beta) =2 h \tan \beta \)
\(x =\frac{2 h \tan \beta}{1-\tan \beta} \)
\(\mathrm{PN} =x+\mathrm{h}=\frac{2 h \tan \beta}{1-\tan \beta}+h \)
\( \frac{2 h \tan \beta+h-h \tan \beta}{1-\tan \beta} \)
\(=\frac{h \tan \beta+h}{1-\tan \beta} \)
\(=\frac{h(1+\tan \beta)}{1-\tan \beta}\)
\(\therefore\) ஏரியிலிருந்து மேகத்தின் உயரம்
\(=\frac{h(1+\tan \beta)}{1-\tan \beta}\)

S = {a, b ,.......,z} என்க
n(S) = 26
தேர்ந்தெடுக்கும் எழுத்து x க்கு முந்தைய எழுத்தாக இருக்கும் நிகழ்வு A என்க
A = {a, b, c, ......., w }
n(A) = 23
\(P(A) =\frac{\pi(A)}{\pi(5)}=\frac{23}{25}\)

மொத்த பந்துகள் = p சிவப்பு + q நீலம் + r பச்சை
\(\mathrm{n}(\mathrm{S})=\mathrm{p}+\mathrm{q}+\mathrm{r}\)
சிவப்பு பந்து, எடுக்கும் நிகழ்வு A என்க.
\(\mathrm{n}(\mathrm{A})=\mathrm{P} \)
\(\mathrm{P}(\mathrm{A})=\frac{n(A)}{\mathrm{n}(\mathrm{S})}=\frac{p}{p+q+r}\)

(2,1) என்பதை சமன்பாடுகள் (2) ல் பிரதியிட, x + y = 3 மற்றும் 3 x +y = 7
இரண்டு சமன்பாடுகளும் (2,1) என்ற புள்ளியால் நிறைவு செய்யப்படுகிறது.

கொ.ப r = 5 செ மீ, l = 13 செ மீ
\(\therefore\)  உயரம் \(h =\sqrt{F-r}=\sqrt{13-5} \)
\(=\sqrt{163-25}=\sqrt{144}=12\) செ மீ

13 -க்கு குறைவாக உள்ள பகா எண்களின் கணம் {2,3,5,7,11}
உறவு \(\mathrm{R}=\left\{\left(\mathrm{x}, \mathrm{x}^2\right) / \mathrm{x}\right.\) என்பது 13 -க்கும் குறைவான பகா எண்}
R = {(2,4),(3,9),(5,25),(7,49),(11,121)}
\(\therefore\) வீச்சகம் = {4,9,25,49,121}

\(A=\{1,2\}, B=\{1,2,3,4\},\)
C = {5, 6}  மற்றும் D = {5,6,7,8}
\(\mathrm{A} \times \mathrm{C}=\{(1,5),(1,6),(2,5),(2,6)\} \)
\(\mathrm{B} \times \mathrm{D}=\{(1,5),(1,6),(1,7),(1,8), \)
\((2,5),(2,6),(2,7),(2,8), \)
\((3,5),(3,6),(3,7),(3,8), \)
\((4,5),(4,6),(4,7),(4,8)\} \)
எனவே, \((\mathrm{A} \times \mathrm{C}) \subset (\mathrm{B} \times \mathrm{D})\)

\(\bar { x } =\cfrac { \Sigma x }{ n } =\cfrac { 75 }{ 5 } =15\)
\({ d }^{ ' }=\cfrac { x-\bar { x } }{ c } =\cfrac { x-A }{ c } \)
A என்பது ஊகச் சராசரி, C என்பது பொதுக் காரணி 
இங்கு A =15,C =5
\({ d }^{ ' }=\cfrac { x-\bar { x } }{ c } =\cfrac { x-A }{ c } \)
= \(\sigma =\sqrt { \left( \cfrac { \Sigma d'2 }{ n } \right) -\left( \cfrac { \Sigma d' }{ n } \right) ^{ 2 }\times c } \)
= \(\sqrt { \cfrac { 10 }{ 5 } -0\times c } =\sqrt { 2 } \times 5\)
= \(5\sqrt { 2 } \)
3 ஐ ஒவ்வொரு தரவுடன் கூட்டக் கிடைப்பது 8,13,18,23,28 என்ற புதிய மதிப்புகள் 

\(\therefore \sigma =\sqrt { \left( \cfrac { \Sigma { d }^{ '{ 2 } } }{ n } \right) -\left( \cfrac { \Sigma { d }^{ ' } }{ n } \right) \times c } \)
= \(\sqrt { \cfrac { 10 }{ 5 } -0\times 5 } \)
= \(\sqrt { 2 } \times 5=5\sqrt { 2 } \)
திட்டவிலக்கம் மாறவில்லை.
\(\therefore \) ஒரு எண்ணை கூடினாலோ, கழித்தாலோ திட்டவிலக்கம் மாறாது.

வாளியானது கூம்பின் இடைக்கண்டம். இடைக்கண்டத்தின் r1=28 செ.மீ, r2=7செ.மீ, h=45 செ.மீ
வாளியின் கொள்ளளவு=இடைக்கண்டத்தின் கன அளவு 
\(\Rightarrow \frac { 1 }{ 3 } \times \pi h[{ r }_{ 1 }^{ 2 }+{ r }_{ 2 }^{ 2 }+{ r }_{ 1 }{ r }_{ 2 }]\)
\(\Rightarrow \frac { 1 }{ 3 } \times \frac { 22 }{ 7 } \times 45\left[ { 28 }^{ 2 }+{ 7 }^{ 2 }+28\times 7) \right] \)
\(\Rightarrow 22\times 15\times \times (28\times 4+7+28)\)
⇒330x147 செ.மீ³ ⇒ 48510 செ.மீ³

12576 > 4052 யூக்ளிடின் வகுத்தல் வழிமுறையைப் பயன்படுத்த 12576 மற்றும் 4052 இவற்றின் மீ.பொ.வ காணலாம்.
12576=4052x3+420
இங்கு மீதி 420≠0,
மீண்டும் யூக்ளிடின் வகுத்தல் வழிமுறையைப் பயன்படுத்த 
4052=420x9+272
இங்கு மீதி  272≠0
மீண்டும் யூக்ளிடின் வகுத்தல் வழிமுறையைப் பயன்படுத்த 
420=272x1+148, 148≠0.
மீண்டும் யூக்ளிடின் வகுத்தல் வழிமுறையைப் பயன்படுத்த 
272=148x1+124, இங்கு 124≠0.
மீண்டும் யூக்ளிடின் வகுத்தல் வழிமுறையைப் பயன்படுத்த 
148=124x1+24, இங்கு 24≠0.
மீண்டும் யூக்ளிடின் வகுத்தல் வழிமுறையைப் பயன்படுத்த 
124=24x5+4, இங்கு 4≠0.
மீண்டும் யூக்ளிடின் வகுத்தல் வழிமுறையைப் பயன்படுத்த 
24=4x6+0
இங்கு மீதி 0.
∴ 4 ஆனது 12576 மற்றும் 4052 இவற்றின் மீ.பொ.வ.4 ஆகும்.

சார்பு அல்ல. குத்துக்கோடு வளைவரையை இரு புள்ளிகளில் சந்திக்கிறது.

கொடுக்கப்பட்டது XY||AC

ஆகையால் ∠BXY = ∠A மற்றும்
∠BYX = ∠C  (ஒத்த கோணங்கள்)
∴ ΔABC~ΔXBY (SAS விதிமுறைப்படி)
ஆகையால் \(\frac { ar(ABC) }{ ar(XBY) } ={ \left( \frac { AB }{ XB } \right) }^{ 2 }\) ...(1)
ar(ABC) = 2ar(XBY)
\(\frac { ar(ABC) }{ ar(XBY) } =\frac { 2 }{ 1 } \) ...(2)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து,
\({ \left( \frac { AB }{ XB } \right) }^{ 2 }=\frac { 2 }{ 1 } \) i.e.  \(\frac { AB }{ XB } =\frac { \sqrt { 2 } }{ 1 } \)
\(\frac { XB }{ AB } =\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \)
\(1-\frac { XB }{ AB } =1-\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \)
\(\frac { AB-XB }{ AB } =\frac { \sqrt { 2 } -1 }{ \sqrt { 2 } } \)
\(\frac { AX }{ AB } =\frac { \sqrt { 2 } -1 }{ \sqrt { 2 } } =\frac { 2-\sqrt { 2 } }{ 2 } \)

∠BAD = ∠CAD = θ
BD = y என்க.

BC - CD = y
6 - CD =  y
CD = 6-y
∠ADB = ∝ என்க.
∠ADC = 180 - ∝
ΔABD யில் \(\frac { BD }{ sin\theta } =\frac { AB }{ sin\alpha } \Rightarrow \frac { y }{ sin\theta } =\frac { 10 }{ sin\alpha } \)
\(\Rightarrow sin\alpha =\frac { 10 }{ y } sin\theta \)  ...(1)
ΔACD யில், \(\frac { CD }{ sin\theta } =\frac { AC }{ sin(180-\alpha ) } \)
⇒ \(\frac { 6-y }{ sin\theta } =\frac { 14 }{ sin\alpha } \) ....(2)
(1) ஐ (2)ல் பிரதியிட,
\(\frac { 6-y }{ sin\theta } =\frac { 14 }{ \frac { 10 }{ y } sin\theta } \Rightarrow 6-y=\frac { 14y }{ 10 } \)
\(\Rightarrow y\left( 1+\frac { 14 }{ 10 } \right) =6\Rightarrow y\left( \frac { 24 }{ 10 } \right) =6\)
\(\Rightarrow y=\frac { 60 }{ 24 } \Rightarrow y=2.5\)

∴  BD = 2.5 செ.மீ மற்றும் CD = 3.5 செ.மீ

கூறுவெளி
S = {(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)
(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)
(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)
(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)
(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)
(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)}
\(\therefore\)  n(S) = 36

\(\frac{1-\tan ^2 \theta}{\cot ^2 \theta-1} =\tan ^2 \theta \)
இடப்பக்கம் \( =\frac{1-\tan ^2 \theta}{\cot ^2 \theta-1} \)
\( =\frac{1-\tan ^2 \theta}{\frac{1}{\tan ^2 \theta}-1}\)
\( =\frac{1-\tan ^2 \theta}{1-\tan ^2 \theta}\times\frac{tan^2\theta}{1}\)
\( \tan ^2 \theta=\) வலப்பக்கம்

\(2 x^2-2 \sqrt{6} x+3=2 x^2-\sqrt{6} x-\sqrt{6} x+3\) (நடு உறுப்பைப் பிரிக்க) 
\(= \sqrt{2} x(\sqrt{2} x-\sqrt{3})-\sqrt{3}(\sqrt{2} x-\sqrt{3})=(\sqrt{2} x-\sqrt{3})(\sqrt{2} x-\sqrt{3})\)
காரணிகளைப் பூச்சியத்திற்குச் சமன்படுத்த
\(\left( \sqrt { 2x } -\sqrt { 3 } \right) \left( \sqrt { 2x } -\sqrt { 3 } \right) =0\)
மூலங்கள் சமம் எனவே \(\left( \sqrt { 2x } -\sqrt { 3 } \right) ^{ 2 }=0\)
\(\sqrt { 2x } -\sqrt { 3 } =0\)
எனவே, \(x=\cfrac { \sqrt { 3 } }{ \sqrt { 2 } } \) என்பது தீர்வாகும்.

கூம்பு வடிவக் குடுவையின் ஆரம் = 'r' அலகுகள்
கூம்பு வடிவக் குடுவையின் உயரம் = 'h' அலகுகள்
கூம்பு வடிவக் குடுவையின் கொள்ளளவு = தண்ணீரின் கன அளவு
\(=\frac{1}{3} \pi r^2 h\) கன அலகுகள்
கூம்பு வடிவக் குடுவையின் தண்ணீர் ஊற்றப்படுவதால், உருளையின் கன அளவு = தண்ணீரின் கன அளவு
\( \pi(\mathrm{xr})^2 H=\frac{1}{3} \pi r^2 h\)
[xr- உருளையின் ஆரம், H - உயரம்]
\(\mathrm{x}^2 \mathrm{r}^2 \mathrm{H}=\frac{r^2}{3} h\)
உருளைவடிவக் குடுவையில் நீரின் உயரம்
\(\mathrm{H}=\frac{h}{3 x^2}\)

மொத்த சீட்டுகள் =52
ஸ்பேடு கார்டு எடுக்கும் நிகழ்வு = A என்க 
ஹார்ட் கார்டு எடுக்கும் நிகழ்வு = B  என்க 
n(A)=13,n(B)=13
\(p(A)=\cfrac { 13 }{ 52 } =\cfrac { 1 }{ 4 } ,p(B)=\cfrac { 13 }{ 52 } =\cfrac { 1 }{ 4 } \)
\( A\cap B\) ஆனது ஒரே சீட்டு ஸ்பேடு மற்றும் ஹார்ட் ஆக இருக்க வாய்ப்பில்லை என்பதை குறிக்கிறது. 
\(\therefore A\cap B,n\left( A\cap B \right) =0\)
A,B என்பன ஒன்றையொன்று விலக்கும் நிகழ்ச்சிகள் 
\(P\left( A\cup B \right) =P(A)+P(B)=\cfrac { 1 }{ 4 } +\cfrac { 1 }{ 4 } =\cfrac { 1 }{ 2 } \)
இதற்கு வாய்ப்பில்லை 

தேவையான சிறிய கோளங்களின் எண்ணிக்கை 
\(=\frac { \frac { 4 }{ 3 } \pi r^{ 3 } }{ \frac { 4 }{ 3 } \pi \times { \left( \frac { r }{ 4 } \right) }^{ 3 } } \)
\(={ r }^{ 3 }\times \frac { 4 }{ r } \times \frac { 4 }{ r } \times \frac { 4 }{ r } =64\)
சிறிய கோளங்கள் செய்யலாம்.

DB = 3 CD
BC = BD + DC
BC = 3CD + CD
BC = 4CD
CD = \(\frac 14\)BC
CD = \(\frac 14\) BC
BD = 3CD = \(\frac 34\) BC

ΔABD ஒரு செங்கோண முக்கோணம் D = 90°
AB² = AD² + BD²...(ii)
ΔACD ஒரு செங்கோண முக்கோணம் ㄥD = 90°
AC² = AD² + CD² ...(iii)
(ii) லிருந்து (iii) ஐக் கழிக்க.,
AB² - AC² = BD² - CD²
⇒ AB² - AC² = \({ AB }^{ 2 }-{ AC }^{ 2 }={ \left( \frac { 3 }{ 4 } BC \right) }^{ 2 }-{ \left( \frac { 1 }{ 4 } BC \right) }^{ 2 }\) (i) லிருந்து
CD = \(\frac 14\)BC, BD = \(\frac 34\)BD
⇒ AB² - AC² = \(\frac {9}{16}\) BC²  - \(\frac {1}{16}\) BC²
⇒ AB² - AC² = \(\frac 12\) BC²
⇒ 2(AB² - AC²) = BC²
⇒2AB² = 2AC²+ BC²
என நிரூபிக்கப்பட்டது.

AB || CD || EF என தரப்பட்டுள்ளது.
AB = 6 செ.மீ, BD = 5 செ.மீ,  EF = 4 செ.மீ, CD = x செ.மீ,  DE = y செ.மீ
ΔECD மற்றும் ΔEAB இல்
ㄥCED = ㄥAEB [பொதுக்கோணம்] 
ㄥECD = ㄥEAB  [ஒத்த கோணங்கள்] }
\(\triangle E C D \sim \triangle E A B\)
[ AA வடிவொப்புமை விதிமுறைப்படி]  ....(1)
\(\therefore \quad \frac{E C}{E A}=\frac{C D}{A B}\)
[∵ வடிவொத்த முக்கோணங்களின் ஒத்த பக்கங்கள் விகிதசமம்] .
\(\frac{E C}{E A}=\frac{x}{6}\)   ...(2)
ΔACD மற்றும் ΔAEF இல்
ㄥCAD = ㄥEAF [பொதுக்கோணம்] 
ㄥACD = ㄥAEF  [ஒத்த கோணங்கள்]
\(\triangle A C D \sim \triangle AEF\) [AA விதிமுறைப்படி]
\(\frac{A C}{A E}=\frac{C D}{E F}\)
[∴ வடிவொத்த முக்கோணங்களின் ஒத்த பக்கங்கள் விகித சமம்] .
\(\therefore \ \frac{A C}{A E}=\frac{x}{4} , \ldots \text { (3) } \)
\((2)+(3) \Rightarrow \frac{E C}{E A}+\frac{A C}{A E}=\frac{x}{6}+\frac{x}{4} \)
\(\frac{E C+A C}{A E} =\frac{4 x+6 x}{24}  \)
\(\frac{E C+A C}{A E} =\frac{4 x+6 x}{24}  \)
\(\frac{A E}{A E} =\frac{10 x}{24} \)
\(1=\frac{10 x}{24} \)
\(x=\frac{24}{10}=\frac{12}{5}\) செ.மீ 
(1) இலிருந்து \(\triangle E C D \sim \triangle E A B\)
\(\frac{D C}{A B} =\frac{E D}{E B}  \)
\(\frac{x}{6} =\frac{y}{5+y}  \)
\(\Rightarrow \frac{12 / 5}{6} =\frac{y}{5+y} \ \because \times=\frac{12}{5}  \)
\(\frac{12}{5 \times 6} =\frac{y}{5+y}  \)
\(12(5+y) =30 \mathrm{y}  \)
\(60+12 y =30 \mathrm{y}  \)
\(60 =30 \mathrm{y}-12 \mathrm{y}  \)
\(18 \mathrm{y} =60 \)
\(y=\frac{60}{18} \)
\(y=\frac{10}{3}  \) செ.மீ  

x² + x - 12 = 0
படி 1 : y = x² + x - 12 என்ற சமன்பாட்டின் மதிப்புகளை அட்டவணைப்படுத்துக.

படி 2 :  (x, y) என்ற வரிசைச் சோடி உடைய புள்ளிகளை வரைபடத் தாளில் குறிக்கவும்

படி 3: பரவளையம் வரைந்து அது X-அச்சை வெட்டும் புள்ளிகளைக் குறிக்கவும்
படி 4: பரவளையம் X-அச்சை (–4, 0) மற்றும் (3, 0) என்ற புள்ளிகளில் வெட்டுகிறது. இப்புள்ளிகளின் x- ஆயத் தொலைவுகள் −4 மற்றும் 3 ஆகும்.
இங்கு x² + x - 12 = 0 என்ற இருபடிச் சமன்பாடு X-அச்சை இருவேறு புள்ளிகளில் வெட்டுகிறது. எனவே, இருபடிச் சமன்பாட்டின் மூலங்கள் இரு சமமற்ற மெய்யெண்களாக இருக்கும்.