\(\sigma =\sqrt { \cfrac { { \Sigma x }^{ 2 } }{ n } -\left( \cfrac { \Sigma x }{ n } \right) ^{ 2 } } =\sqrt { \cfrac { 20300 }{ 7 } \left( \cfrac { 350 }{ 7 } \right) ^{ 2 } } \)
= \(=\sqrt { 400 } =20\)

உருளையின் கன அளவு=செவ்வக தொட்டியின் கன அளவு 
πr²h=28x16x11மீ³

உருளையின் உயரம் h=\(\frac{16\times11}{88}\)=2மீ

முதல் உறுப்பு a என்க, (a ஒரு மிகை ஒற்றை எண்)
எனினும் 0≤r<4, அதனால் கிடைக்கும் மீதி 0,1,2, 3 ஆகும்.
∴ a ஆனது 4q, (அல்லது)4q+1, (அல்லது) 4q+2 (அல்லது)4q+3, இங்கு q ஈவு ஆகும்.
a ஒரு ஒற்றை என்பதால் 4q மற்றும் 4q+2 ஆக இருக்க முடியாது(∵அவை 2ஆல் வகுப்படும்).
எனவே எந்த ஒரு மிகை ஒற்றை குழுவும் 4q+1 அல்லது 4q+3 என்ற வடிவில் அமையும்.

சார்பு அல்ல. குத்துக்கோடு வளைவரையை இரு புள்ளிகளில் சந்திக்கிறது.

OA.OB = OC.OD (கொடுக்கப்பட்டுள்ளது)

ஆகையால், \(\frac { OA }{ OC } =\frac { OD }{ OB } \) ...(1)
மேலும் ∠AOD = ∠COB (குத்தெதிர் கோணங்கள்) ....(2)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து
∴ ΔAOD~ΔCOB (SAS விதிமுறைப்படி)
ஆகையால் ∠A = ∠C மற்றும் ∠B = ∠D
(வடிவொத்த முக்கோணங்களின் ஒத்த கோணங்கள்)

மேலும் ΔQMO மற்றும் ΔRPN இல்
\(\angle O Q M=\angle N R P=90^{\circ}\)
\(\triangle L O P \sim \triangle Q M O\) மற்றும் \(\triangle L O P \sim \triangle R P N\)
\(\therefore \triangle Q M O \sim \triangle R P N\)

A என்ற அணியின் வரிசை 2 x 2. B என்ற அணியின் வரிசை 2 x 2 எனவே, 2 x 2 என்ற வரிசையுடைய AB என்ற அணி வரையறுக்கப்படுகிறது.
\(AB=\left( \begin{matrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} 2 & 0 \\ 1 & 3 \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} 4+1 & 0+3 \\ 2+3 & 0+9 \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} 5 & 3 \\ 5 & 9 \end{matrix} \right) \)
BA = \(\left[ \begin{matrix} 2 & 0 \\ 1 & 3 \end{matrix} \right] \times \left[ \begin{matrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 4+0 & 2+0 \\ 2+3 & 1+9 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 4 & 2 \\ 5 & 10 \end{matrix} \right] \)
எனவே, \(AB\neq BA\)

AB = x என்பது சாலையின் மையத்தில் உள்ள பாதசாரிக்கும் வீட்டிற்கும் இடையே உள்ள தூரம் என்க.
\(\therefore \mathrm{DB}=2 \mathrm{x}\) என்பது சாலையின் அகலம் ஆகும். வீட்டின் உயரம் \(B C=4 \sqrt{3}\) மீ
செங்கோண முக்கோணம் \(\triangle \mathrm{ABC}\) லிருந்து
\(\therefore \quad \tan 30^{\circ}=\frac{B C}{A B} \)
\(\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{4 \sqrt{3}}{x}\)
\(x=4 \sqrt{3} \times \sqrt{3}=4 \times 3=12\) மீ
சாலையின் அகலம் = 2x = 2 x 12 = 24 மீ
\(\therefore\) சாலையின் அகலம் = 24 மீ

ஒரு நாணயம் மூன்று முறை சுண்டப்படும்போது கிடைக்கும் முடிவுகளாவன

கூறுவெளி S \(= \{\mathrm{HHH}, \mathrm{HHT}, \mathrm{HTH}, \mathrm{HTT},THH, THT, TTH, TTT \}\)
n(S) = 8
A என்பது இரு அடுத்தடுத்த பூக்கள் கிடைக்கும் நிகழ்வு என்க.
\(A =\{\mathrm{HTT}, \mathrm{TTH}, \mathrm{TTT}\} \)
n(A) = 3
\(\mathrm{P}(\mathrm{A}) =\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{3}{8}\)
இரு அடுத்தடுத்த பூக்கள் கிடைப்பதற்கான நிகழ்தகவு \(=\frac{3}{8}\)

x  ≡ 13 (மட்டு 17)  
7x ≡ 13 x 7  (மட்டு 17) 
7x - 3  ≡ (91 - 3)  (மட்டு 17)
7x - 3  ≡ 88 (மட்டு 17) 
7x - 3  ≡ 3 (மட்டு 17) 
7x - 3 ஆனது மட்டு 17 இன் கீழ் 3 உடன் ஒருங்கிசைவாக இருக்கும்.

(-2, 3) மற்றும் (8, 5) ஆகிய புள்ளிகள் வழிச் செல்லும் கோட்டின் சாய்வு
\(m_1\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=\frac{3-5}{-2-8}=\frac{-2}{-10}=\frac{1}{5}\)
y = ax + 2 என்ற கோட்டின் சாய்வு 'a' = m₂
கொடுக்கப்பட்ட கோடுகள் ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்து என்பதால்
\(m_1 \times m_2 =-1 \)
\(\frac{1}{5} \times a =-1 \)
a = -5

தந்தையின் தற்போதைய வயது x மற்றும் மகனின் தற்போதைய வயது y என்க
கொடுக்கப்பட்டவை, x = 6y    ..(1)
x + 6 = 4(y + 6)   ......(2)
(1) ஐ (2) -யில் பிரதியிட,6y + 6 = 4(y + 6)
6y + 6 = 4y + 24 \(\Rightarrow \) y = 9
எனவே, மகனின் வயது 9 வருடங்கள் மற்றும் தந்தையின் வயது 54 வருடங்கள்

விட்டம் d = 2.8 மீ, உயரம் h = 3 மீ, ஆரம் r = 1.4 மீ 
உருளை ஒரு சுற்றில் சமன்படுத்தும் பரப்பு = சமன் படுத்தும் உருளையின் வளைபரப்பு 
= 2πrh ச.அ
\(2\times \frac { 22 }{ 7 } \times 1.4\times 3=26.4\)
உருளை ஒரு சுற்றில் சமன்படுத்தும் பரப்பு = 26.4 ச.மீ 
ஆகவே, 8 சுற்றுகளில் சமன்படுத்தப்படும் மொத்தப் பரப்பு = 8 x  26.4 = 211.2
எனவே, உருளை சமன் படுத்தும் பரப்பு 211.2 மீ² ஆகும்.

n = 9,\({ \Sigma x }=99\),\(\bar { x } =\cfrac { \Sigma x }{ n } =\cfrac { 99 }{ 9 } =11\)
\(\Sigma \left( x-10 \right) ^{ 2 }=79={ \Sigma x }^{ 2 }-20x+100=79\)
= \({ \Sigma x }^{ 2 }-20\Sigma x+100\times 9=79\)
= \({ \Sigma x }^{ 2 }-20\times 99+100=79\)
\({ \Sigma x }^{ 2 }=79+1980-900=1159\)
\(\Sigma \left( x-\bar { x } \right) ^{ 2 }=\Sigma \left( x-11 \right) ^{ 2 }=\Sigma \left( { x }^{ 2 }-22x+121 \right) \)
= \({ \Sigma x }^{ 2 }-22\Sigma x+121\times 9\)
= \(1159-22\times 99+1089=70\)
\(\therefore { \Sigma x }^{ 2 }=1159,\Sigma \left( x-\bar { x } \right) ^{ 2 }=70\)

தேவைப்படும் வில்லைகளின் எண்ணிக்கை 
\(=\frac { \pi r_{ 1 }^{ 2 }{ h }_{ 1 } }{ { \pi r }_{ 2 }^{ 2 }{ h }_{ 2 } } =\frac { \pi \times \frac { 45 }{ 20 } \times \frac { 45 }{ 20 } \times 10 }{ \pi \times \frac { 15 }{ 20 } \times \frac { 15 }{ 20 } \times \frac { 2 }{ 10 } } \)

=450

-2,2,-2,2,-2
t₂-t₁=2-(-2)=4
t₃-t₂=-2-2=-4
t₄-t₃=2-(-2)=4
இது ஒரு கூட்டுத்தொடர் வரிசை அல்ல.

A-யின் வெவ்வேறான உறுப்புகள் வெவ்வேறு நிழல் உறுப்புகளை கொண்டுள்ளன. B-ன் ஒவ்வொரு உறுப்புக்கும் முன் உரு உள்ளது.
∴ இது ஒரு ஒன்றுக்கொன்றான மேல் சார்பு ஆகும்.

இணைகரத்தில் மூலைவிட்டங்கள் இருசமக்கூறிடும்.
∴ AC யின் மையப்புள்ளி = BD-ன் மையப்புள்ளி 
i.e., \(\left[ \frac { 6+9 }{ 2 } ,\frac { 1+4 }{ 2 } \right] =\left[ \frac { 8+p }{ 2 } ,\frac { 2+3 }{ 2 } \right] \)
\(\left[ \frac { 15 }{ 2 } ,\frac { 5 }{ 2 } \right] =\left[ \frac { 8+p }{ 2 } ,\frac { 5 }{ 2 } \right] \)
\(\frac { 15 }{ 2 } ,\frac { 8+p }{ 2 } \)
P = 7 

நிரூபணம்:

ΔABC ஒரு செங்கோண முக்கோணம்
∠B செங்கோணம்
நிரூபிக்க வேண்டியது: AC² = AB² + BC²
அமைப்பு: BC 丄 AC
ΔABC = ΔABC
\(\frac { AD }{ AB } =\frac { AB }{ AC } \)
(பக்கங்களின் விகிதம்)
AD · AC = AB² ...(1)
மேலும், ΔBDC ~ ΔABC
\(\frac { CD }{ BC } =\frac { BC }{ AC } \)
CD · AC =BC² ...(2)
(1) மற்றும் (2) ஐக் கூட்ட
AD.AC+CD.AC = AB²+ BC²
AC(AD+CD) = AB² + BC²
AC.AC = AB²+ BC²
AC² = AB² + BC²

ஏணியின் நீளம் AB = x என்க. BC = 4 அடி, AC = 7 அடி
பிதாகரஸ் தேற்றத்தின்படி, AB² = AC² + BC²
x² = 7² + 4² ⇒ x² = 49 + 16
x² = 65 எனவே \(x=\sqrt { 65 } \)
\(\sqrt { 65 } \) ஆனது 8 மற்றும் 8.1 க்கு இடையில் அமைகிறது.
8² = 64 < 65 < 65.61 = 8.1²
எனவே, ஏணியின் நீளம் தோராயமாக 8.1 அடி ஆகும்.

P(A அல்லது B) \(= \mathrm{P}(A \cup B)=0.6 \)
\(\mathrm{P}(A \cap B)=0.2 \)
\(\mathrm{P}(A \cup B)=\mathrm{P}(\mathrm{A})+\mathrm{P}(\mathrm{B})-\mathrm{P}(A \cap B) \)
\(0.6=\mathrm{P}(\mathrm{A})+\mathrm{P}(\mathrm{B})-0.2 \)
\(\mathrm{P}(\mathrm{A})+\mathrm{P}(\mathrm{B})=0.6+0.2=0.8 \)
\({[\mathrm{P}(\mathrm{A})=1-\mathrm{P}(\bar{A}) ; \mathrm{P}(\mathrm{B})=1-\mathrm{P}(\bar{B})]} \)
\({[1-\mathrm{P}(\bar{A})]+[1-\mathrm{P}(\bar{B})]=0.8} \)
\(1-\mathrm{P}(\bar{A})+1-\mathrm{P}(\bar{B})=0.8 \)
\(2-[P(\bar{A})+\mathrm{P}(\bar{B})]=0.8 \)
\(\mathrm{P}(\bar{A})+\mathrm{P}(\bar{B})=2-0.8=1.2\)

கொடுக்கப்பட்ட முனைப்புள்ளிகள் A(-5, -4), B(1, 6) மற்றும் C(7, -4)
முக்கோணத்தின் பரப்பு \(=\frac{1}{2}\left[\mathrm{x}_1\left(\mathrm{y}_2-\mathrm{y}_3\right)+\mathrm{x}_2\left(\mathrm{y}_3-\mathrm{y}_1\right)+\mathrm{x}_3\left(\mathrm{y}_1-\mathrm{y}_2\right)\right]\) சதுர அலகுகள் முக்கோணம் ABC ன் பரப்பளவு
\(=\frac{1}{2}[-5(6+4)+1(-4+4)+7(-4-6)]  \)
\(=\frac{1}{2}[-50+0-70]=\frac{-120}{2}=-60\)
[∵ பரப்பளவு குறை எண்ணாக இருக்க இயலாது]
∴ பரப்பளவு = 60 சதுர அலகுகள்
கொடுக்கப்பட்டது: 6 சதுர அடி பரப்புக்கு வர்ணம் பூச ஒரு வாளி வர்ணம் தேவைப்படுகிறது.
∴ வாளிகளின் எண்ணிக்கை \(=\frac{60}{6}=10\)

இங்கு h, l, R மற்றும் r என்பன முறையே இடைக்கண்டத்தின் உயரம், சாயுயரம், மேற்புற மற்றும் அடிப்புற வட்டத்தின் ஆரங்கள் என்க.
இங்கு மேல் விட்டம்= 10 மீ, R = 5 மீ; கீழ் விட்டம் = 4 மீ, r = 2 மீ; உயரம் h = 4 மீ 
சாயுயரம், \(l=\sqrt { { h }^{ 2 }+{ (R-r) }^{ 2 } } \)
\(=\sqrt { { 4 }^{ 2 }+{ (5-2) }^{ 2 } } \)
\(l=\sqrt { 16+9 } =\sqrt { 25 } =5\) மீ 
வளைபரப்பு \(=\pi (R+r)l\) ச.அ 
\(=\frac { 22 }{ 7 } (5+2)\times 5=110\) மீ²
மொத்தப் புறப்பரப்பு \(=\pi (R+r)l+\pi { R }^{ 2 }+\pi { r }^{ 2 }\)ச.அ 
\(=\frac { 22 }{ 7 } [(5+2)5+25+4]=\frac { 1408 }{ 7 } =201.14\)
ஆகவே, வளைபரப்பு = 110 மீ² மற்றும் மொத்தப் புறப்பரப்பு = 201.14 மீ²

A ன் வரிசை = 3 x 2
B ன் வரிசை = 3 x 3
(i) A என்பது சதுர அணி அல்லாததால் A² சாத்தியமல்ல.
(ii) B என்பது சதுர அணி என்பதால் B² சாத்தியம்.
(iii) AB என்பது சாத்தியமல்ல. ஏனெனில் A-ல் நிரல்களின் எண்ணிக்கை \(\neq \mathrm{B}\)- ல் நிரைகளின் எண்ணிக்கை.
(iv) BA என்பது சாத்தியமாகிறது. ஏனெனில் B ன் நிரல்களின் எண்ணிக்கை = A ன் நிரைகளின் எண்ணிக்கை.

AB மற்றும் DE - இரு நபர்கள்
AB = 2 DE
\(\mathrm{BD}=x \Rightarrow \mathrm{BC}=\mathrm{CD}=\frac{x}{2}\)
செங்கோண முக்கோணம் \(\triangle A B C\) லிருந்து
\(\tan \theta=\frac{A B}{B C} \)
\(\tan \theta=\frac{2 D E}{B C}=\frac{2 D E}{\frac{x}{2}}=\frac{4 D E}{x} \ldots \text { (1) }\)
செங்கோண முக்கோணம் \(\triangle E D C\) லிருந்து
\(\tan \theta=\frac{C D}{E D}=\frac{\frac{x}{2}}{E D} \)
\(\tan \theta=\frac{x}{2 E D}\)   ...(2)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து,
\(\frac{4 D E}{x} =\frac{x}{2 E D} \)
\(8 \mathrm{DE}^2 =\mathrm{x}^2 \)
\(\mathrm{DE}^2 =\frac{x^2}{8} \)
\(\mathrm{DE} =\frac{x}{\sqrt{8}} \)
\(\mathrm{DE} =\frac{x}{2 \sqrt{2}}\)

F₁ = 1, F₂ = 3, F₃ = F₂ + F₁ = 3 + 1 = 4,
F₄ = F₃ + F₂ = 4 + 3 = 7, F₅ = F₄ + F₃ = 7 + 4 = 11

திட்ட விலக்கம் \(\sigma=\mathrm{p}\)
ஒரு தரவில் உள்ள ஒவ்வொரு தரவுப் புள்ளிகளையும் 3 ஆல் பெருக்கினால் கிடைக்கும் தரவுகளின் புதிய திட்டவிலக்கம் பெற பழைய திட்டவிலக்கத்தின் 3 மடங்கு காண வேண்டும்.  புதிய \(\sigma=3\mathrm{p}\) ஒவ்வொரு புள்ளியுடனும் 5 ஐக் கூட்ட திட்ட விலக்கம் மாறாது.
\(\therefore\) புதிய திட்ட விலக்கம் \(\sigma=3 p\)

திட்ட விலக்கம் \(\sigma\) = 3
ஒரு தரவில் உள்ள ஒவ்வொரு தரவுப் புள்ளிகளையும் 5 ஆல் பெருக்கினால் கிடைக்கும் தரவுகளின் புதிய திட்டவிலக்கம் பெற பழைய திட்டவிலக்கத்தின் 5 மடங்கு காண வேண்டும்.
\(\therefore\) புதிய திட்ட விலக்கம் \(\sigma=3 \times 5=15\)
விலக்க வா்க்கச் சராசரி \(\sigma^2=15^2=225\)

x = 10
இது y-அச்சிற்கு இணையான கோடு

\(\mathrm{f}: \mathrm{A} \rightarrow \mathrm{B}\) என்பது இருபுறச் சார்பு மற்றும் n(B) = 7.
f என்பது இருபுறச் சார்பு. அதாவது, ஒன்றுக்கு ஒன்றான மேல்சார்பு.
\(\therefore\) A மற்றும் B ஆகியவற்றில் உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை சமமாக இருக்க வேண்டும். n(A) = 7

13 -க்கு குறைவாக உள்ள பகா எண்களின் கணம் {2,3,5,7,11}
உறவு \(\mathrm{R}=\left\{\left(\mathrm{x}, \mathrm{x}^2\right) / \mathrm{x}\right.\) என்பது 13 -க்கும் குறைவான பகா எண்}
R = {(2,4),(3,9),(5,25),(7,49),(11,121)}
\(\therefore\) வீச்சகம் = {4,9,25,49,121}

\(\sigma =21.2,\bar { x } =\cfrac { \sigma }{ CV } \times 100\)
\(CV=\cfrac { \sigma }{ \bar { x } } \times 100=\cfrac { 21.2 }{ 36.6 } \times 100\)

தேவையான சிறிய கோளங்களின் எண்ணிக்கை 
\(=\frac { \frac { 4 }{ 3 } \pi r^{ 3 } }{ \frac { 4 }{ 3 } \pi \times { \left( \frac { r }{ 4 } \right) }^{ 3 } } \)
\(={ r }^{ 3 }\times \frac { 4 }{ r } \times \frac { 4 }{ r } \times \frac { 4 }{ r } =64\)
சிறிய கோளங்கள் செய்யலாம்.

ΔACD ~ ΔABC
ஆகையால்,
\(\frac { AC }{ AB } =\frac { AD }{ AC } \)
AC2 = AB·AD ...(1)
எனவே \(\frac { BC }{ BA } =\frac { BD }{ BC } \)
BC² = BA·BD ...(2)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து
\(\frac { { BC }^{ 2 } }{ { AC }^{ 2 } } =\frac { BA.BD }{ AB.AD } =\frac { BD }{ AD } \)

படி 1 y = x² + 4x + 3 ன் வரைபடம் வரைவதற்கு மதிப்புகளைக் கீழ்க்கண்டவாறு அட்டவணைப்படுத்த வேண்டும்.

படி 2 y = x² + x + 1 = 0 என்ற சமன்பாட்டின் தீர்வு காண்பதற்கு, முதலில் y = x² + 4x + 3 -லிருந்து x² + x + 1 = 0 ஐ கழிக்க வேண்டும்.

இங்கு, y = 3x + 2 என்பது ஒரு நேர்கோட்டின் சமன்பாடு ஆகும். இதன் வரைபடம் வரைவதற்கு மதிப்புகளைக் கீழ்க்கண்டவாறு அட்டவணைப்படுத்த வேண்டும்

படி 3 y = 3x + 2 என்ற நேர்கோட்டின் வரைபடம் y = x² + 4x + 3 என்ற பரவளையத்தை எந்த ஒரு புள்ளியிலும் வெட்டாமல்/தொடாமல் செல்கிறது.
எனவே, x² + x + 1 = 0 என்ற இருபடிச் சமன்பாட்டிற்கு மெய்யெண் தீர்வுகள் இல்லை.

இங்கு \(\frac { { \cos }^{ 2 }\theta }{ \sin\theta } \) = p ...(1) மற்றும் \(\frac { { \sin }^{ 2 }\theta }{ \cos\theta } \) = q ....(2)
\({ p }^{ 2 }{ q }^{ 2 }({ p }^{ 2 }+{ q }^{ 3 }+3)\) = \(\left( \frac { { \cos }^{ 2 }\theta }{ \sin\theta } \right) ^2{ \left( \frac { { \sin }^{ 2 }\theta }{ \cos\theta } \right) }^{ 2 }\times \left[ { \left( \frac { { \cos }^{ 2 }\theta }{ \cos\theta } \right) }^{ 2 }+{ \left( \frac { { \sin }^{ 2 }\theta }{ \cos\theta } \right) }^{ 2 }+3 \right] \) [(1), (2) -ஐ பயன்படுத்தக் கிடைப்பது]
= \(\left( \frac { { \cos }^{ 4 }\theta }{ \sin^2\theta } \right) { \left( \frac { { \sin }^{ 4 }\theta }{ \cos^2\theta } \right) }\times \left[ \frac { { \cos }^{ 4 }\theta }{ { \sin }^{ 2 }\theta } +\frac { { \sin }^{ 4 }\theta }{ { \cos }^{ 2 }\theta } +3 \right] \)
= \(({ \cos }^{ 2 }\theta \times { \sin }^{ 2 }\theta )\times \left[ \frac { { \cos }^{ 6 }\theta +{ \sin }^{ 6 }\theta +3{ \sin }^{ 2 }\theta { \cos }^{ 2 }\theta }{ { { \sin }^{ 2 }\theta \cos }^{ 2 }\theta } \right] \)
= cos⁶θ + sin⁶θ + 3 sin²θ cos²θ
= (cos²θ)³ + (sin²θ)³ + 3 sin²θ cos²θ
= [(cos²θ + sin²θ)³ - 3cos²θ sin²θ(cos²θ + sin²θ)] + 3sin²θcos²θ
= 1 - 3  cos²θ + sin²θ(1) + 3 cos²θ + sin²θ = 1