ஊகச் சராசரி A =30
C = 5

\(\sigma =\sqrt { \left( \cfrac { { \Sigma d }^{ '2 } }{ n } \right) -\left( \cfrac { { \Sigma d }^{ ' } }{ n } \right) ^{ 2 }\times 2 } \)
= \(\sqrt { \cfrac { 10 }{ 5 } -0\times 5 } \)
= \(\sqrt { 2 } \times 5=5\sqrt { 2 } \)
மதிப்பெண்களை 100க்கு மாற்றம் செய்தால் ஒவ்வொரு மதிப்பெண்களையும் 2 ஆல் பெருக்க வேண்டும்.\(\therefore \) புதிய மதிப்புகள் 40,50,60,70,80
A =60,C=10 என்க 

\(\sigma =\sqrt { \left( \cfrac { { \Sigma d }^{ '2 } }{ n } \right) -\left( \cfrac { { \Sigma d }^{ ' } }{ n } \right) ^{ 2 } } \times c\)
= \(\sqrt { \cfrac { 10 }{ 5 } -0 } \times 10\)
= \(\sqrt { 2 } \times 10=10\sqrt { 2 } \)
\(\therefore \) புதிய திட்டவிலக்கம், முதல் திட்டவிலகத்தை 2 ஆல் பெருக்கக் கிடைக்கிறது.

வாளியானது கூம்பின் இடைக்கண்டம். இடைக்கண்டத்தின் r1=28 செ.மீ, r2=7செ.மீ, h=45 செ.மீ
வாளியின் கொள்ளளவு=இடைக்கண்டத்தின் கன அளவு 
\(\Rightarrow \frac { 1 }{ 3 } \times \pi h[{ r }_{ 1 }^{ 2 }+{ r }_{ 2 }^{ 2 }+{ r }_{ 1 }{ r }_{ 2 }]\)
\(\Rightarrow \frac { 1 }{ 3 } \times \frac { 22 }{ 7 } \times 45\left[ { 28 }^{ 2 }+{ 7 }^{ 2 }+28\times 7) \right] \)
\(\Rightarrow 22\times 15\times \times (28\times 4+7+28)\)
⇒330x147 செ.மீ³ ⇒ 48510 செ.மீ³

12576 > 4052 யூக்ளிடின் வகுத்தல் வழிமுறையைப் பயன்படுத்த 12576 மற்றும் 4052 இவற்றின் மீ.பொ.வ காணலாம்.
12576=4052x3+420
இங்கு மீதி 420≠0,
மீண்டும் யூக்ளிடின் வகுத்தல் வழிமுறையைப் பயன்படுத்த 
4052=420x9+272
இங்கு மீதி  272≠0
மீண்டும் யூக்ளிடின் வகுத்தல் வழிமுறையைப் பயன்படுத்த 
420=272x1+148, 148≠0.
மீண்டும் யூக்ளிடின் வகுத்தல் வழிமுறையைப் பயன்படுத்த 
272=148x1+124, இங்கு 124≠0.
மீண்டும் யூக்ளிடின் வகுத்தல் வழிமுறையைப் பயன்படுத்த 
148=124x1+24, இங்கு 24≠0.
மீண்டும் யூக்ளிடின் வகுத்தல் வழிமுறையைப் பயன்படுத்த 
124=24x5+4, இங்கு 4≠0.
மீண்டும் யூக்ளிடின் வகுத்தல் வழிமுறையைப் பயன்படுத்த 
24=4x6+0
இங்கு மீதி 0.
∴ 4 ஆனது 12576 மற்றும் 4052 இவற்றின் மீ.பொ.வ.4 ஆகும்.

R-ன் மதிப்பகம் = {1, 2, 3, 4}
R-ன் துணை மதிப்பகம் = B = {-1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
R-ன் வீச்சகம் = {3, 6, 10, 9} 

OA.OB = OC.OD (கொடுக்கப்பட்டுள்ளது)

ஆகையால், \(\frac { OA }{ OC } =\frac { OD }{ OB } \) ...(1)
மேலும் ∠AOD = ∠COB (குத்தெதிர் கோணங்கள்) ....(2)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து
∴ ΔAOD~ΔCOB (SAS விதிமுறைப்படி)
ஆகையால் ∠A = ∠C மற்றும் ∠B = ∠D
(வடிவொத்த முக்கோணங்களின் ஒத்த கோணங்கள்)

AB = 12 செ.மீ.
AD = 8 செ.மீ
AE = 12  செ.மீ
AC = 18 செ.மீ
அடிப்படை விகிதசம தேற்றத்தின்படி
\(\frac{A D}{D B}=\frac{A E}{E C} \)
\(\frac{A D}{D B}=\frac{8}{A B-A D}=\frac{8}{12-8}  \)
\(\frac{A D}{D B}=\frac{8}{4}=2  \)
\(\frac{A E}{E C}=\frac{12}{A C-A E}  \)
\(\frac{A E}{E C}=\frac{12}{18-12}=\frac{12}{6}=2\)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து
\(=\frac{A D}{D B}=\frac{A E}{E C}\)
DE || BC

ஒரு நாணயம் மூன்று முறை சுண்டப்படும்போது கிடைக்கும் முடிவுகளாவன

கூறுவெளி S \(= \{\mathrm{HHH}, \mathrm{HHT}, \mathrm{HTH}, \mathrm{HTT},THH, THT, TTH, TTT \}\)
n(S) = 8
A என்பது இரு அடுத்தடுத்த பூக்கள் கிடைக்கும் நிகழ்வு என்க.
\(A =\{\mathrm{HTT}, \mathrm{TTH}, \mathrm{TTT}\} \)
n(A) = 3
\(\mathrm{P}(\mathrm{A}) =\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{3}{8}\)
இரு அடுத்தடுத்த பூக்கள் கிடைப்பதற்கான நிகழ்தகவு \(=\frac{3}{8}\)

tan²θ - sin²θ = tan²θ - \(\frac { { \sin }^{ 2 }\theta }{ { \cos }^{ 2 }\theta } .{ \cos }^{ 2 }\theta \)
= tan²θ - (1 - cos² θ) = tan²θ sin²θ

P(-1.5, 3), Q(6, -2) , R(-3, 4) ஆகியன கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் ஆகும்.
∆PQR - யின் பரப்பு = \(\frac 12\) {(x₁y₂ + x₂y₃ + x₃y₁) − (x₂y₁ + x₃y₂ + x₁y₃)} 
= \(\frac 12\) {(3 + 24 - 9) - (18 + 6 - 6)} = \(\frac 12\) {18 - 18} = 0
எனவே, கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் ஒரே நேர்க்கோட்டில் அமைந்துள்ளன.

r என்பது அரைக்கோளத்தின் ஆரம் என்க.
இங்கு, அடிப்பரப்பு = \(\pi \)r²ச.அ = 1386 ச.மீ 
அரைக்கோளத்தின் மொத்தப் பரப்பு = 3\(\pi \)r²ச.அ 
= 3 x 1386 = 4158
ஆகவே, அரைக்கோளத்தின் மொத்தப் புறப்பரப்பு 4158 ச.மீ ஆகும்.

n = 9,\({ \Sigma x }=99\),\(\bar { x } =\cfrac { \Sigma x }{ n } =\cfrac { 99 }{ 9 } =11\)
\(\Sigma \left( x-10 \right) ^{ 2 }=79={ \Sigma x }^{ 2 }-20x+100=79\)
= \({ \Sigma x }^{ 2 }-20\Sigma x+100\times 9=79\)
= \({ \Sigma x }^{ 2 }-20\times 99+100=79\)
\({ \Sigma x }^{ 2 }=79+1980-900=1159\)
\(\Sigma \left( x-\bar { x } \right) ^{ 2 }=\Sigma \left( x-11 \right) ^{ 2 }=\Sigma \left( { x }^{ 2 }-22x+121 \right) \)
= \({ \Sigma x }^{ 2 }-22\Sigma x+121\times 9\)
= \(1159-22\times 99+1089=70\)
\(\therefore { \Sigma x }^{ 2 }=1159,\Sigma \left( x-\bar { x } \right) ^{ 2 }=70\)

உருளையின் கன அளவு \(={ \pi r }^{ 2 }h\)
கூம்பின் கன அளவு \(=\frac { 1 }{ 3 } { \pi r }^{ 2 }h\)
கோலத்தின் கன அளவு \(=\frac { 4 }{ 3 } { \pi r }^{ 3 }\)
அவற்றின் கன அளவுகளின் விகிதம் V₁:V₂:V₃

\(h:\frac { h }{ 3 } :\frac { 4r }{ 3 } \)
3h:h:4r
3h:h:2(2r)    (இங்கு 2r=h)
∴ V₁:V₂:V₃=3:1:2

\(\sqrt { 3 } \)=\(\frac {p}{q }\)
\(\sqrt { 3 } \)=\(\frac {p}{q }\)(q≠0) (p மற்றும் q  என்பன சார்பகா எண்கள்)
எனவே, \(\sqrt { 3 } \)=\(\frac {p}{q }\)
\(\sqrt { 3 } \)q =p 
இருபுறமும் வர்க்கப்படுத்த,
(\(\sqrt { 3 } \)q)²=p²
3q2=p2    ....(1)
q2=\(\frac{p^2}{3}\)
எனவே, 3 ஆனது p²-யை வகுக்கும் 3 ஆனது p-யையும் வகுக்கும்.
எனவே, \(\frac{p}{q}\)=c என்க 
p=3c
நமக்குத் தெரியும் 
3q²=p²
p=3c என (1)-ல் பிரதியட
3q²=(3c)²
3q²=9c²
q²=\(\frac{1}{3}\)x9x2
q²=3c²
\(\frac{q^2}{3}=c^2\)
எனவே 3 ஆனது q2 ஐ வகுக்கும் 
அதனால், 3 ஆனது q ஐயும் வகுக்கும் ...(3)
முரண்பாட்டினால் \(\sqrt { 3 } \) ஆனது விகிதமுறா எண் 

A-யின் வெவ்வேறான உறுப்புகள் வெவ்வேறு நிழல் உறுப்புகளை கொண்டுள்ளன. B-ன் ஒவ்வொரு உறுப்புக்கும் முன் உரு உள்ளது.
∴ இது ஒரு ஒன்றுக்கொன்றான மேல் சார்பு ஆகும்.

P, Q என்ற புள்ளிகள் AB கோட்டினை 
AP = PQ = QB எனப் பிரிப்பதாகக் கொள்வோம்.

எனவே P ஆனது AB ஐ உட்புறமாக 1:2 என்ற விகிதத்தில் பிரிக்கிறது. எனவே, P பிரிவு சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி
\(P(x,y)=\left[ \frac { 1(-7)+2(2) }{ 1+2 } ,\frac { 1(7)+2(-2) }{ 1+2 } \right] \)  i.e., (-1, 0)
மேலும் Q ஆனது AB இன் உட்புறமாக 2:1 என்ற விகிதத்தில் Q பிரிக்கிறது.
\(\therefore Q(x,y)=\left[ \frac { 2(-7)+1(2) }{ 2+1 } ,\frac { 2(4)+(-2) }{ 2+1 } \right] \) i.e., (-4, 2)
∴ AB கோட்டினை P(-1, 0) மற்றும் (-4, 2) புள்ளிகள் மூன்றும் பிரிவுகளாகப் பிரிக்கின்றன. 

ΔADC யில்
AC² = AD² + CD²  ...(1)
(பிதாகரஸ் தேற்றத்தின்படி)
ΔADB யில்,
AB² = AD² + BD² ...(2)
(பிதாகரஸ் தேற்றத்தின்படி)
(1) ஐ (2) லிருந்து கழிக்க
AB² - AC² = BD² - CD²
AB² + CD² = BD² + AC²

∴ \(\sqrt { 121{ x }^{ 4 }-198{ x }^{ 3 }-183{ x }^{ 2 }+108x+144 } \) = |11x² - 9x - 12|

கொடுக்கப்பட்டுள்ளது: நாற்கரம் ABCD இல் \(\mathrm{AB}=\mathrm{AD}, \angle B A C\) மற்றும் ΔCAD இன் கோண இரு சமவெட்டிகள் BC மற்றும் CD ஆகிய பக்கங்கள் முறையே E மற்றும் F என்ற புள்ளிகளில் சந்திக்கின்றன.
நிரூபிக்க வேண்டியது: EF || BD
அமைப்பு: AC, BD மற்றும் EF ஐ இணைக்க.
நிரூபணம்: ΔCAB இல் AE ஆனது ΔBAC இன் கோண இருசமவெட்டி.
\(\therefore \frac{A C}{A B}=\frac{C E}{B E}\)   ....(1)
ΔACD இல் ΔCAD இன் கோண இருசமவெட்டி AF ஆகும்.
எனவே
\(\frac{A C}{A D} =\frac{C F}{D F}  \)
\(\Rightarrow \quad \frac{A C}{A B} =\frac{C F}{D F}  \)   ......(2)
\({[\because A D=AB}]\)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து
\(\frac{C E}{B E} =\frac{C F}{D F}  \)
\(\Rightarrow \frac{C E}{E B} =\frac{C F}{F D}\)
எனவே, ΔCBD இல் E மற்றும் F ஆனது முறையே CB மற்றும் CD பக்கங்களை சம விகிதத்தில் பிரிக்கிறது. எனவே தேல்சு தேற்றத்தின் மறுதலைப் படி, EF || BD.

BD என்பது குவிமாடத்தின் ஆரம் மற்றும் AD என்பது கொடிக்கம்பத்தின் உயரம் என்க.
(i) செங்கோண முக்கோணம் \(\triangle \mathrm{ABE}\) -இலிருந்து
\(\tan 45^{\circ} =\frac{A B}{B E} \)
\(1 =\frac{r+h}{r+7} \)
\(\mathrm{r}+7 =\mathrm{r}+\mathrm{h} \)
\(\mathrm{r}+\mathrm{h}-\mathrm{r} =7\)
h = 7  மீ
\(\therefore\) கொடிக்கம்பத்தின் உயரம் = 7 மீ
(ii) செங்கோண முக்கோணம் \(\triangle B D C\) லிருந்து
\(\tan 30^{\circ}=\frac{B D}{B C}=\frac{r}{r+7+5} \)
\(\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{r}{r+12} \)
\(\mathrm{r}+12=\sqrt{3} r \)
\(12 =\sqrt{3} r-r \)
\(12 =r(\sqrt{3}-1) \)
r(\(\sqrt3-1\))\(\times (\frac{\sqrt3+1}{\sqrt3+1})\)
\(12\times\frac{r(3-1)}{\sqrt3+1}\Rightarrow \frac{12\sqrt3+1}{2}\\ r = 6(\sqrt3+1)= 6(1.732+1)\\ =6\times2.732=16.39\)
\(\mathrm{r} =\frac{12}{1.732-1}=\frac{12}{0.732}=16.39 \) மீ
(i) கொடிக்கம்பத்தின் உயரம் = 7 மீ
(ii) குவிமாடத்தின் ஆரம் = 16.39 மீ

\(\therefore \) நகரம் A -ன் மாறுபாட்டுக் கெழு நகரம் B-ன் மாறுபாட்டுக் கெழுவைவிடக் குறைவு.
\(\therefore \) எனவே நகரம் A ஆனது அதிக நிலைத்தன்மைக் கொண்டது.

(a)  படத்திலிருந்து, சாய்வு =
\(=\frac { 68-32 }{ 20-0 } =\frac { 36 }{ 20 } =\frac { 9 }{ 5 } \) = 1.8
கோடானது y-அச்சினை (0, 32) –யில் சந்திக்கிறது.
ஆகையால் சாய்வு \(\frac 95\) மற்றும் y வெட்டுத்துண்டு 32 ஆகும்.

(b) சாய்வு மற்றும் y வெட்டுத்துண்டு வடிவத்தைப் பயன்படுத்தி, நேர்க்கோட்டின் சமன்பாட்டை எழுதலாம்.
நேர்க்கோட்டின் சமன்பாடு  y = \(\frac 95\)x + 32
(c) பூமியின் சராசரி வெப்பநிலை 25° செல்சியஸ் ஆக இருக்கும்போது y - ஐ பாரன்ஹீட் டிகிரியில் காண x = 25
y = \(\frac 95\)x + 32
y = \(\frac 95\) (25) + 32
y = 77
எனவே, பூமியின் சராசரி வெப்பநிலை 77° F ஆகும்.

(i) உருளையின் கன அளவு = πr²h க.அ
உருளை A-ன் கன அளவு \(=\frac { 22 }{ 7 } \times \frac { 7 }{ 2 } \times \frac { 7 }{ 2 } \times 21\)
= 808.5 செ.மீ³
உருளை B-ன் கனஅளவு \(=\frac { 22 }{ 7 } \times \frac { 21 }{ 2 } \times \frac { 21 }{ 2 } \times 7\)
= 2425.5 செ.மீ³
ஆகவே, உருளை B-ன் கன அளவு உருளை A-ன் கன அளவை விட அதிகம் ஆகும்.
(ii) உருளையின் மொத்தப் புறப்பரப்பு = 2πr(h + r) ச.அ
உருளை A-ன் மொத்தப் புறப்பரப்பு \(=2\times \frac { 22 }{ 7 } \times \frac { 7 }{ 2 } \times (21+3.5)=539\) செ.மீ²
உருளை B-ன் மொத்தப் புறப்பரப்பு \(=2\times \frac { 22 }{ 7 } \times \frac { 21 }{ 7 } \times (7+10.5)=1155\) செ.மீ²
ஆகவே, கன அளவு அதிகம் கொண்ட உருளை B-ன் மொத்தப் புறப்பரப்பு அதிகமாக உள்ளது.
(iii) 
ஆகவே, உருளை A மற்றும் B-ன் கன அளவுகளின் விகிதம் 1:3

x + y - 3z = -6    .....(1)
-7y + 7z = 7  ........(2)
3z  = 9 ⇒ z = 3     ......(3)
(2) ⇒-7y + 7z = 7 (÷7)
-y + z = 1
-y + 3 = 1
y = 3- 1 = 2
(1) ல் பிரதியிட,
x + 2 - 3(3) = -6 
x + 2 - 9 = -6 
x = -6 + 7 = 1
∴ தீர்வு: x = 1, y = 2, z = 3

\(\sin \theta=\cos \theta \Rightarrow \theta=45^{\circ} \)
\(2 \tan ^2 \theta+\sin ^2 \theta-1=2 \tan ^2 45^{\circ}+\sin ^2 45^{\circ}-1 \)
\(=2(1)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2-1 \)
\(=2+\frac{1}{2}-1 \)
\(=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\)

வேலை கிடைக்கும் நிகழ்வு A என்க
\(P(A) + P(\bar{A}) =1 \)
\(\frac{x}{3}+\frac{2}{3} =1 \)
\(\frac{x+2}{3} =1 \)
x + 2 = 3
x = 3 - 2
x = 1 .

திட்ட விலக்கம் \(\sigma\) = 3
ஒரு தரவில் உள்ள ஒவ்வொரு தரவுப் புள்ளிகளையும் 5 ஆல் பெருக்கினால் கிடைக்கும் தரவுகளின் புதிய திட்டவிலக்கம் பெற பழைய திட்டவிலக்கத்தின் 5 மடங்கு காண வேண்டும்.
\(\therefore\) புதிய திட்ட விலக்கம் \(\sigma=3 \times 5=15\)
விலக்க வா்க்கச் சராசரி \(\sigma^2=15^2=225\)

\(\mathrm{t}_1, \mathrm{t}_2, \mathrm{t}_3, \ldots\) என்பது கூட்டுத் தொடர்வரிசை எனில் \(t_6, t_{12}, t_{18}, \ldots . . .\) என்பதும் பொது வேறுபாடு 6d உடைய ஒரு கூட்டுத் தொடர்வரிசை ஆகும்.

3x - y = 4 மற்றும் x + y = 8 ஐத் தீர்க்க
                  3x - y = 4 ......(1)
                  x + y = 8 .....(2)
                ___________
\((1)+(2) \Rightarrow 4 x =12\)
x = 3
(2) -ல் பிரதியிட
3 + y = 8
y = 5
\(\therefore\) வெட்டும்புள்ளி (3,5)

\(\mathrm{f}: \mathrm{A} \rightarrow \mathrm{B}\) என்பது இருபுறச் சார்பு மற்றும் n(B) = 7.
f என்பது இருபுறச் சார்பு. அதாவது, ஒன்றுக்கு ஒன்றான மேல்சார்பு.
\(\therefore\) A மற்றும் B ஆகியவற்றில் உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை சமமாக இருக்க வேண்டும். n(A) = 7

\(\mathrm{f}(\mathrm{x})=2 \mathrm{x}^2, \mathrm{~g}(\mathrm{x})=1 / 3 \mathrm{x} \)
\(\mathrm{f} \circ \mathrm{g} =\mathrm{f}[\mathrm{g}(\mathrm{x})]=\mathrm{f}\left[\frac{1}{3 x}\right] \)
\(=2\left(\frac{1}{3 x}\right)^2=2\left(\frac{1}{9 x^2}\right) \)
\(=\left(\frac{2}{9 x^2}\right)\)

\(\sigma =21.2,\bar { x } =\cfrac { \sigma }{ CV } \times 100\)
\(CV=\cfrac { \sigma }{ \bar { x } } \times 100=\cfrac { 21.2 }{ 36.6 } \times 100\)

தேவையான சிறிய கோளங்களின் எண்ணிக்கை 
\(=\frac { \frac { 4 }{ 3 } \pi r^{ 3 } }{ \frac { 4 }{ 3 } \pi \times { \left( \frac { r }{ 4 } \right) }^{ 3 } } \)
\(={ r }^{ 3 }\times \frac { 4 }{ r } \times \frac { 4 }{ r } \times \frac { 4 }{ r } =64\)
சிறிய கோளங்கள் செய்யலாம்.

O வழியே, PQ || BC வரைக.

PQ 丄 AB மற்றும் PQ 丄 DC (∵ ㄥB = 90° மற்றும் ㄥC = 90°)
ㄥBPQ = 90° மற்றும் ㄥCQP = 90°
∴ BPQC மற்றும் APQD செவ்வகங்கள்
ΔOPB லிருந்து
OB² = BP² + OP²  ...(1)
இதைப்போலவே ΔOQD லிருந்து
OD² = OQ²+DQ² ...(2)
ΔOQC லிருந்து 
OC² = OQ²+CQ² ...(3)
ΔOAP, we have
OA² = AP²+OP² ...(4)
(1) மற்றும் (2) ஐக் கூட்ட
OB² + OD² = BP² + OP² + OQ² + DQ²
(∵ BP = CQ மற்றும் DQ = AP)
= CQ² + OP² + OQ² + AP²
= CQ² + OQ² + OP² + AP²
= OC² + OA² [(3) மற்றும் (4) லிருந்து]

y = x²- 5x - 6
அட்டவணை மதிப்புகள்

புள்ளிகள் வரைபடத்தில் குறிக்க y = x² - 5x - 6 என்ற பரவளையம் கிடைக்கிறது.
y = x² - 5x - 6 லிருந்து x² - 5x - 14 = 0 என்பதைக் கழிக்க
\(y=x^2-5 x-6  \)
\(0=x^2-5 x-14  \quad (-) \)
一一一一一一一
y = 8 
一一一一一一一
y = 8 என்பது ஒரு நேர்கோடு 
y = 8 என்ற நேர்கோடு y = x² - 5x - 6 என்ற பரவளையத்தை (-2,8) மற்றும் (7,8) ஆகிய புள்ளிகளில் வெட்டுகிறது.
∴  தீர்வு: x = -2, 7