3x² + 7x - 2 = 0 இங்கு a = 3, b = 7, c = -2
\(\alpha \) மற்றும் \(\beta \) சமன்பாட்டின் மூலங்கள் ; எனவே,
\(\cfrac { \alpha ^{ 2 } }{ \beta } +\cfrac { { \beta }^{ 2 } }{ \alpha } =\cfrac { { \alpha }^{ 3 }+{ \beta }^{ 3 } }{ \alpha \beta } =\cfrac { \left( \alpha +\beta \right) ^{ 3 }-3\alpha \beta \left( \alpha +\beta \right) }{ \alpha \beta } =\cfrac { \left( -\frac { 7 }{ 3 } \right)^ {3} -3\left( -\frac { 2 }{ 3 } \right) \left( -\frac { 7 }{ 3 } \right) }{ -\frac { 7 }{ 3 } } =\cfrac { 469 }{ 18 } \)

\(\Delta ABC\) -யில் \(\angle A\) -யின் இருசமவெட்டி AD ஆகும்.
எனவே, கோண இருசமவெட்டித் தேற்றத்தின்படி,
\(\cfrac { BD }{ DC } =\cfrac { AB }{ AC } \)
\(\cfrac { 4 }{ 3 } =\cfrac { 6 }{ AC } \) ⇒ 4AC = 18, எனவே \(AC=\cfrac { 9 }{ 2 } \) = 4.5 செ.மீ.

\(\Delta AOQ\) மற்றும் \(\Delta BOP\) -ல்,\(\angle OAQ=\angle OBP\)
\(\angle OAQ=\angle OBP\) (குத்தெதிர் கோணங்கள்)
எனவே, வடிவொத்தமைக்கான, AA விதிமுறைப்படி
\(\Delta AOQ\sim \Delta BOP\)
\(\cfrac { AO }{ BO } =\cfrac { OQ }{ OP } =\cfrac { AQ }{ BP } \)
எனவே,\(\cfrac { 10 }{ 6 } =\cfrac { AQ }{ 9 } \) ⇒  \(AQ=\cfrac { 10\times 9 }{ 6 } \) = 15 செ.மீ.

(i) 1² + 2² +...+19² = \(\\ \frac { 19\times (19+1)(2\times 19+1) }{ 6 } =\frac { 19\times 20\times 39 }{ 6 } = 2470\)
(ii) 5² + 10² + 15² +...105² = 5²(1² + 2² + 3²+...21²)
= 25 x \(\frac { 21\times (21+1)(2\times 21+1) }{ 6 } \)
= \(\frac { 25\times 21\times 22\times 43 }{ 6 } \) = 82775
(iii) 15² + 16² + 17²+....+28² = (1² + 2² + 3²+...+28²) - (1² + 2² + 3²+...+14²)
= \(\frac { 28\times 29\times 57 }{ 6 } -\frac { 14\times 15\times 29 }{ 6 } \)= 7714 - 1015 = 6699

முதல் உறுப்பு a = 20; பொது வித்தியாசம் d = 8
கூட்டுத் தொடர்வரிசையின் பொது வடிவம் a, a + d, a + 2d, a + 3d,...
இந்த நிகழ்வில் நாம் பெறுவது 20, 20 + 8, 20 + 2(8), 20 + 3(8),...
எனவே, தேவையான கூட்டுத் தொடர்வரிசை 20, 28, 36, 44, … ஆகும்.

2m² + 19m + 30 = 2m² + 4m + 15m + 30 = 2m(m + 2) + 15(m + 2)
= (m + 2)(2m + 15)
(m + 2)(2m + 15) = 0 -யின், காரணிகளைப் பூச்சியத்திற்குச் சமன்படுத்த
m + 2 = 0 ⇒ m = -2 அல்லது 2m + 15 = 0 ⇒ \(m=\frac { -15 }{ 2 } \)  மூலங்கள் -2 அல்லது \(\frac { -15 }{ 2 } \).
இருபடிச் சமன்பாடு வடிவில் அமைந்திராத சில சமன்பாடுகளைப் பொருத்தமான பிரதியிடல் மூலம் இருபடிச் சமன்பாடு வடிவத்திற்குச் சுருக்கித் தீர்வு காணலாம். இந்த வகையிலான எடுத்துக்காட்டுகள் கீழே விளக்கப்பட்டுள்ளன.

கொடுக்கப்பட்ட நேர்க்கோடு சமன்பாடு 4x − 9y + 36 = 0
எனவே 4x − 9y = -36
இருபுறமும் -36 ஆல் வகுக்க, \(\frac { x }{ -9 } +\frac { y }{ 4 } \) = 1 ......(1)
(1) ஐ வெட்டுத்துண்டு வடிவத்துடன் ஒப்பிட, x - வெட்டுத்துண்டு a = − 9 ; y - வெட்டுத்துண்டு b = 4

(i) 8x⁴y², 48x²y⁴
முதலில் நாம் எண் கெழுக்களின் மீ.சி.ம காண்போம்.
அதாவது, மீ.சி.ம (8, 48) = 2 x 2 x 2 x 6 = 48
இப்பொழுது உறுப்புகளில் உள்ள மாறிகளுக்கு மீ.சி.ம காண்போம்.
அதாவது மீ.சி.ம (x⁴y², x²y⁴) = x⁴y⁴
எண்கெழுக்களின் மீ.சி.ம மற்றும் மாறிகளின் மீ.சி.ம ஆகியவற்றின் பெருக்கற்பலன் கொடுக்கப்பட்ட கோவைகளின் மீ.சி.ம ஆகும். எனவே, மீ.சி.ம (8x⁴y², 48x²y⁴) = 48x⁴y⁴
(ii) (5x - 10), (5x² - 20)
5x - 10 = 5(x - 2)
5x² - 20 = 5(x² - 4) = 5(x + 2)(x - 2)
எனவே,மீ.சி.ம [(5x - 10), (5x² - 20)] = 5(x + 2)(x - 2)
(iii) (x⁴ - 1), x² - 2x + 1
x⁴ - 1 = (x²)² - 1 = (x² + 1)(x² - 1) = (x² + 1)(x + 1)(x - 1)
x² - 2x + 1 = (x - 1)²
எனவே, மீ.சி.ம [(x⁴ - 1), (x² - 2x + 1)] = (x² + 1)(x + 1)(x - 1)² 
(iv) x³ - 27, (x - 3)², x² - 9
x³ - 27 = (x - 3)(x² + 3x + 9); (x - 3)² = (x - 3)²; (x² - 9) = (x + 3)(x - 3)
எனவே, மீ.சி.ம [(x³ - 27), (x - 3)², (x² - 9) = (x - 3)² (x + 3)(x² + 3x + 9)

P(-1.5, 3), Q(6, -2) , R(-3, 4) ஆகியன கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் ஆகும்.
∆PQR - யின் பரப்பு = \(\frac 12\) {(x₁y₂ + x₂y₃ + x₃y₁) − (x₂y₁ + x₃y₂ + x₁y₃)} 
= \(\frac 12\) {(3 + 24 - 9) - (18 + 6 - 6)} = \(\frac 12\) {18 - 18} = 0
எனவே, கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் ஒரே நேர்க்கோட்டில் அமைந்துள்ளன.

தந்தையின் தற்போதைய வயது x மற்றும் மகனின் தற்போதைய வயது y என்க
கொடுக்கப்பட்டவை, x = 6y    ..(1)
x + 6 = 4(y + 6)   ......(2)
(1) ஐ (2) -யில் பிரதியிட,6y + 6 = 4(y + 6)
6y + 6 = 4y + 24 \(\Rightarrow \) y = 9
எனவே, மகனின் வயது 9 வருடங்கள் மற்றும் தந்தையின் வயது 54 வருடங்கள்

கூம்பின் ஆரம் r = 7 செ.மீ 
கூம்பின் மொத்தப் புறப்பரப்பு = \(\pi\)r (l + r) ச.அ
மொத்தப் புறப்பரப்பு = 704 ச.செ.மீ 
704 = \(\frac { 22 }{ 7 } \times 7(l+7)\)
32 = l + 7 ⇒  l = 25 செ.மீ 
ஆகவே, கூம்பின் சாயுயரம் 25 செ.மீ. ஆகும்.

A x B = {(3,1), (3,7), (3,10), (4,1), (4,7), (4,10), (7,1), (7,7), (7,10), (8,1), (8,7), (8,10)}
(i) R₁ \(\subseteq\) A x B என்பதைக் காணலாம். எனவே, R₁ என்பது A-லிருந்து B-க்கு ஆன உறவு ஆகும்.
(ii) இங்கு, (4,12) ∈ R₂, ஆனால் (4,12) \(\notin \) A x B எனவே, R₂ ஆனது A-லிருந்து B-க்கு ஆன உறவு இல்லை.
(iii) இங்கு, (7,8) ∈ R₃, ஆனால் (7,8) \(\notin \) A x B எனவே, R₃ ஆனது A-லிருந்து B-க்கு ஆன உறவு இல்லை.

இரண்டு பகடைகள் ஒன்றாக உருட்டப்படும் பொழுது அதன் கூறுவெளியில் 6 x 6 = 36 உறுப்புகள் இருக்கும். எனவே n(S) = 36
A-ஆனது இரண்டு பகடைகளிலும் ஒரே முக மதிப்புகள் மற்றும் B-ஆனது இரண்டு பகடைகளின் முக மதிப்புகளின் கூடுதல் 4-ஆக கிடைக்கப்பெறும் நிகழ்ச்சிகள் என்க.
எனவே, A = {(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)}
B = {(1,3),(2,2),(3,1)}
A\(\cap \)B = {(2,2)}
எனவே, n(A) = 6, n(B) = 3, n(A\(\cap \)B) = 1
\(P(A)=\frac { n(A) }{ n(S) } =\frac { 6 }{ 36 } \)
\(P(B)=\frac { n(B) }{ n(S) } =\frac { 3 }{ 36 } \)
\(P(A\cap B)=\frac { n(A\cap B) }{ n(S) } =\frac { 1 }{ 36 } \)
P (ஒரே முக மதிப்புகள் அல்லது முக மதிப்புகள் கூடுதல் 4 கிடைக்க) = P(A\(\cup \)B)
P(A\(\cup \)B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)
\(=\frac { 6 }{ 36 } +\frac { 3 }{ 36 } -\frac { 1 }{ 36 } =\frac { 8 }{ 36 } =\frac { 2 }{ 9 } \)
எனவே, தேவையான நிகழ்தகவு \(\frac {2}{9}\)ஆகும்.

இடப்பக்கம்
\(\left( \frac { 1+{ \tan }^{ 2 }A }{ 1+{ \cot }^{ 2 }A } \right) =\frac { 1+{ \tan }^{ 2 }A }{ 1+\frac { 1 }{ { \tan }^{ 2 }A } } \)
= \(\frac { 1+{ \tan }^{ 2 }A }{ \frac { { \tan }^{ 2 }A+1 }{ { \tan }^{ 2 }A } } ={ \tan }^{ 2 }A\) ......(1)
வலப்பக்கம்
\({ \left( \frac { 1-{ \tan }A }{ { 1-\cot A } } \right) }^{ 2 }={ \left( \frac { 1-\tan A }{ 1-\frac { 1 }{ \tan A } } \right) }^{ 2 }\)
= \({ \left( \frac { 1-\tan A }{ \frac { \tan A-1 }{ \tan A } } \right) }^{ 2 }={ (-{ \tan }A) }^{ 2 }={ \tan }^{ 2 }A\) .......(2)
(1), (2) லிருந்து \(\left( \frac { 1+{ \tan }^{ 2 }A }{ 1+{ \cot }^{ 2 }A } \right) ={ \left( \frac { 1-{ \tan }A }{ { 1-\cot A } } \right) }^{ 2 }\)

A(1, -4), B(2, -3) மற்றும் C(4, -7) ஆகியன முக்கோணத்தின் முனைப் புள்ளிகள் என்க
AB -யின் சாய்வு = \(\frac { -3+4 }{ 2-1 } =\frac { 1 }{ 1 } \) = 1
BC -யின் சாய்வு  = \(\frac { -7+3 }{ 4-2 } =\frac { -4 }{ 2 } \) = -2
AC -யின் சாய்வு = \(\frac { -7+4 }{ 4-1 } =\frac { -3 }{ 3 } \) = -1
AB-யின் சாய்வு × AC-யின் சாய்வு = (1)(-1) = -1
ஆகவே, AB ஆனது AC-க்கு செங்குத்தாகும். ㄥA = 90⁰
எனவே, ΔABC ஆனது செங்கோண முக்கோணம் ஆகும்.

f(x) = 3 - 2x
கொடுக்கப்பட்டது: f(x²) = [f(x)]²
3 - 2x² = (3 - 2x)²
3 - 2x² = 9 - 12x + 4x²
6x² - 12x + 6 = 0
6 (x² - 2x + 1) = 0
(x - 1)² = 0
x = 1

\((2 \mathrm{x}-1)^2  =9   \)
\(2 \mathrm{x}-1  =\pm 3  \)
\(2 \mathrm{x}-1  =3 \quad 2 \mathrm{x}-1  =-3 \)
\(2 \mathrm{x} =4  \quad 2 \mathrm{x} =-2\)
\(\mathrm{x} =2  \quad \mathrm{x}  =-1\)
தீர்வு x = -1,2

\(\mathrm{p}^2-\mathrm{q}^2=(a \cot \theta+b \operatorname{cosec} \theta)^2-(b \cot \theta+a \operatorname{cosec} \theta)^2 \)
\(=a^2 \cot ^2 \theta+b^2 \operatorname{cosec}^2 \theta+2 a b \cot \theta \operatorname{cosec} \theta -\left(b^2 \cot ^2 \theta+a^2 \operatorname{cosec}^2 \theta+2 a b \cot \theta \operatorname{cosec} \theta\right)\)
\(=a^2 \cot ^2 \theta+b^2 \operatorname{cosec}^2 \theta+2 a b \cot \theta \operatorname{cosec} \theta -b^2 \cot ^2 \theta-a^2 \operatorname{cosec}^2 \theta-2 a b \cot \theta \operatorname{cosec} \theta\)
\(=a^2\left(\cot ^2 \theta-\operatorname{cosec}^2 \theta\right)+b^2\left(\operatorname{cosec}^2 \theta-\cot ^2 \theta\right) \)
\(=a^2(-1)+b^2(1) \)
\(=-a^2+b^2 \)
\(=\mathrm{b}^2-\mathrm{a}^2\)

\(\tan \theta \operatorname{cosec}^2 \theta-\tan \theta =\tan \theta\left(\operatorname{cosec}^2 \theta-1\right) \)
\(=\tan \theta \cot ^2 \theta \)
\(=\tan \theta \times \frac{1}{\tan ^2 \theta} \)
\(=\frac{1}{\tan 0}=\cot \theta\)

புள்ளிகள் (-5, 0), (0, -5) மற்றும் (5, 0) முக்கோணத்தின் பரப்பளவு
\(=\frac{1}{2}\left[x_1\left(y_2-y_3\right)+x_2\left(y_3-y_1\right)+x_3\left(y_1-y_2\right)\right]\)
\(=\frac{1}{2}[-5(-5-0)+0(0-0)+5(0+5)] \)
\(=\frac{1}{2}[25+25]=\frac{50}{2}=25 \) சதுர அலகுகள்

அரைக்கோளத்தின் மொத்தப்பரப்பு = 3πr²
= 3π (ஆரத்தின் வர்க்கம்)
= 3π மடங்கு

\(n(A \times B) =6 \)
\(A =\{1,3\} \Rightarrow n(A)=2 \)
\(n(B) =\frac{n(A \times B)}{n(A)}=\frac{6}{2}=3\)