\(\bar { x } =\cfrac { \Sigma x }{ n } =\cfrac { 75 }{ 5 } =15\)
\({ d }^{ ' }=\cfrac { x-\bar { x } }{ c } =\cfrac { x-A }{ c } \)
A என்பது ஊகச் சராசரி, C என்பது பொதுக் காரணி 
இங்கு A =15,C =5
\({ d }^{ ' }=\cfrac { x-\bar { x } }{ c } =\cfrac { x-A }{ c } \)
= \(\sigma =\sqrt { \left( \cfrac { \Sigma d'2 }{ n } \right) -\left( \cfrac { \Sigma d' }{ n } \right) ^{ 2 }\times c } \)
= \(\sqrt { \cfrac { 10 }{ 5 } -0\times c } =\sqrt { 2 } \times 5\)
= \(5\sqrt { 2 } \)
3 ஐ ஒவ்வொரு தரவுடன் கூட்டக் கிடைப்பது 8,13,18,23,28 என்ற புதிய மதிப்புகள் 

\(\therefore \sigma =\sqrt { \left( \cfrac { \Sigma { d }^{ '{ 2 } } }{ n } \right) -\left( \cfrac { \Sigma { d }^{ ' } }{ n } \right) \times c } \)
= \(\sqrt { \cfrac { 10 }{ 5 } -0\times 5 } \)
= \(\sqrt { 2 } \times 5=5\sqrt { 2 } \)
திட்டவிலக்கம் மாறவில்லை.
\(\therefore \) ஒரு எண்ணை கூடினாலோ, கழித்தாலோ திட்டவிலக்கம் மாறாது.

வாளியானது கூம்பின் இடைக்கண்டம். இடைக்கண்டத்தின் r1=28 செ.மீ, r2=7செ.மீ, h=45 செ.மீ
வாளியின் கொள்ளளவு=இடைக்கண்டத்தின் கன அளவு 
\(\Rightarrow \frac { 1 }{ 3 } \times \pi h[{ r }_{ 1 }^{ 2 }+{ r }_{ 2 }^{ 2 }+{ r }_{ 1 }{ r }_{ 2 }]\)
\(\Rightarrow \frac { 1 }{ 3 } \times \frac { 22 }{ 7 } \times 45\left[ { 28 }^{ 2 }+{ 7 }^{ 2 }+28\times 7) \right] \)
\(\Rightarrow 22\times 15\times \times (28\times 4+7+28)\)
⇒330x147 செ.மீ³ ⇒ 48510 செ.மீ³

முதல் உறுப்பு a என்க, (a ஒரு மிகை ஒற்றை எண்)
எனினும் 0≤r<4, அதனால் கிடைக்கும் மீதி 0,1,2, 3 ஆகும்.
∴ a ஆனது 4q, (அல்லது)4q+1, (அல்லது) 4q+2 (அல்லது)4q+3, இங்கு q ஈவு ஆகும்.
a ஒரு ஒற்றை என்பதால் 4q மற்றும் 4q+2 ஆக இருக்க முடியாது(∵அவை 2ஆல் வகுப்படும்).
எனவே எந்த ஒரு மிகை ஒற்றை குழுவும் 4q+1 அல்லது 4q+3 என்ற வடிவில் அமையும்.

சார்பு அல்ல. குத்துக்கோடு வளைவரையை இரு புள்ளிகளில் சந்திக்கிறது.

OA.OB = OC.OD (கொடுக்கப்பட்டுள்ளது)

ஆகையால், \(\frac { OA }{ OC } =\frac { OD }{ OB } \) ...(1)
மேலும் ∠AOD = ∠COB (குத்தெதிர் கோணங்கள்) ....(2)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து
∴ ΔAOD~ΔCOB (SAS விதிமுறைப்படி)
ஆகையால் ∠A = ∠C மற்றும் ∠B = ∠D
(வடிவொத்த முக்கோணங்களின் ஒத்த கோணங்கள்)

மேலும் ΔQMO மற்றும் ΔRPN இல்
\(\angle O Q M=\angle N R P=90^{\circ}\)
\(\triangle L O P \sim \triangle Q M O\) மற்றும் \(\triangle L O P \sim \triangle R P N\)
\(\therefore \triangle Q M O \sim \triangle R P N\)

\(\frac { \sin A }{ 1+\cos A } =\frac { \sin A }{ 1+\cos A } \times \frac { 1-\cos A }{ 1-\cos A } \) [1 + cosA யின் இணையைக் கொண்டு தொகுதி மற்றும் பகுதியைப் பெருக்கவும்]
= \(\frac { \sin A(1-\cos A) }{ (1+\cos A)(1-\cos A) } =\frac { \sin A(1-\cos A) }{ 1-{ \cos }^{ 2 }A } \)
= \(\frac { \sin A(1-\cos A) }{ { \sin }^{ 2 }A } =\frac { 1-\cos A }{ \sin A } \)

மிகப் பெரிய மதிப்பு, L = 67; மிகச் சிறிய மதிப்பு, S = 18
வீச்சு R = L - S = 67 - 18 = 49
வீச்சுக் கெழு \(=\frac{L-S}{L+S}\)
வீச்சுக் கெழு \(=\frac{67-18}{67+18}=\frac {49}{85}=0.576\)

கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் (-3, -4),(7, 2) மற்றும் (12, 5)
புள்ளிகளை A(-3, -4), B(7, 2) மற்றும் C (12, 5) என்க.
கோட்டின் சாய்வு \(=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2} \)
AB-ன் சாய்வு \(=\frac{-4-2}{-3-7}=\frac{-6}{-10}=\frac{3}{5}\)
BC-ன் சாய்வு \(=\frac{2-5}{7-12}=\frac{-3}{-5}=\frac{3}{5}\)
AB-ன் சாய்வு = BC-ன் சாய்வு
∴ கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் A, B மற்றும் C ஒரே கோட்டமைப் புள்ளிகள் ஆகும்.

r மற்றும் h என்பன முறையே உருளையின் ஆரம் மற்றும் உயரம் என்க.
இங்கு, h = 20 செ.மீ ; r = 14 செ.மீ
உருளையின் வளைபரப்பு = 2πrh ச.அ
\(=2\times \frac { 22 }{ 7 } \times 14\times 20=2\times 22\times 2\times 20=1760\) செ.மீ²
உருளையின் மொத்தப் புறப்பரப்பு = 2πr(h + r) ச.அ
\(=2\times \frac { 22 }{ 7 } \times 14\times (20+14)=2\times\frac{22}{7}\times 14\times 34\)
= 2992 செ.மீ²
ஆகவே, உருளையின் வளைபரப்பு = 1760 செ.மீ², மொத்தப் புறப்பரப்பு = 2992 செ.மீ²

\(C.V=\cfrac { \sigma }{ \bar { x } } \times 100\Rightarrow \bar { x } =\cfrac { \sigma }{ CV } \times 100\)
\(\bar { x } =\cfrac { 15.6 }{ 6.9 } \times 100=22.6\)

தேவைப்படும் வில்லைகளின் எண்ணிக்கை 
\(=\frac { \pi r_{ 1 }^{ 2 }{ h }_{ 1 } }{ { \pi r }_{ 2 }^{ 2 }{ h }_{ 2 } } =\frac { \pi \times \frac { 45 }{ 20 } \times \frac { 45 }{ 20 } \times 10 }{ \pi \times \frac { 15 }{ 20 } \times \frac { 15 }{ 20 } \times \frac { 2 }{ 10 } } \)

=450

-2,2,-2,2,-2
t₂-t₁=2-(-2)=4
t₃-t₂=-2-2=-4
t₄-t₃=2-(-2)=4
இது ஒரு கூட்டுத்தொடர் வரிசை அல்ல.

A-யின் வெவ்வேறான உறுப்புகள் வெவ்வேறு நிழல் உறுப்புகளை கொண்டுள்ளன. B-ன் ஒவ்வொரு உறுப்புக்கும் முன் உரு உள்ளது.
∴ இது ஒரு ஒன்றுக்கொன்றான மேல் சார்பு ஆகும்.

A (1, -1), B(-4, 6), மற்றும் C(-3, -5) சூத்திரத்தை பயன்படுத்தி 
Δ = \(\frac { 1 }{ 2 } \) {x₁(y₂ - y₃) + x₂(y₃ - y₁) + x₃(y₁ - y₂)} சதுர அலகுகள்
= \(\frac { 1 }{ 2 } \) [1 (6 + 5 ) + (-4) (-5 + 1) + (-3) (- 1 - 6)]
= \(\frac { 1 }{ 2 } \) [11 + 16 + 21] = 24 சதுர அலகுகள்
∴ முக்கோணத்தின் பரப்பு = 24 சதுர அலகுகள்

ΔADC யில்
AC² = AD² + CD²  ...(1)
(பிதாகரஸ் தேற்றத்தின்படி)
ΔADB யில்,
AB² = AD² + BD² ...(2)
(பிதாகரஸ் தேற்றத்தின்படி)
(1) ஐ (2) லிருந்து கழிக்க
AB² - AC² = BD² - CD²
AB² + CD² = BD² + AC²

பெரிய மரத்தின் உயரம் AB என்க. சிறிய மரத்தின் உயரம் CD என்க. தரையில் உள்ள ஒரு புள்ளி X என்க.

செங்கோண Δ XAB -ல்
cos40°= \(\frac { AX }{ BX } =\frac { AC+CX }{ BQ+DX } \)
0.7660 = \(\frac { AC+8 }{ 20+10.44 } \) ⇒ AC = 23.32 - 8 = 15.32 மீ
இரண்டு மரங்களுக்கு இடையேயுள்ள கிடைமட்டத் தொலைவு AC = 15.32 மீ.

இடப்பக்கம் (AB)^T
\(AB=\left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix}\begin{matrix} 2 \\ -1 \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix} \right) _{ 2\times 3 }\times \left( \begin{matrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{matrix}\begin{matrix} -1 \\ 4 \\ 2 \end{matrix} \right) _{ 3\times 2 }\)
= \(\left( \begin{matrix} 2-2+0 & -1+8+2 \\ 4+1+0 & -2-4+2 \end{matrix} \right) \)
= \(\left( \begin{matrix} 0 & 9 \\ 5 & -4 \end{matrix} \right) \)
\(\left( AB \right) ^{ T }=\left( \begin{matrix} 0 & 9 \\ 5 & -4 \end{matrix} \right) ^{ T }=\left( \begin{matrix} 0 & 5 \\ 9 & -4 \end{matrix} \right) \)  ...(1)
வலப்பக்கம் (B^TA^T)
\({ B }^{ T }=\left( \begin{matrix} 2 \\ -1 \end{matrix}\begin{matrix} -1 \\ 4 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 2 \end{matrix} \right) ,{ A }^{ T }=\left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{matrix} \right) \)
\({ B }^{ T }{ A }^{ T }=\left( \begin{matrix} 2 \\ -1 \end{matrix}\begin{matrix} -1 \\ 4 \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 2 \end{matrix} \right) _{ 2\times 3 }\times \left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}\begin{matrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{matrix} \right) _{ 3\times 2 }\)
= \(\left[ \begin{matrix} 2-2+0 & 4+1+0 \\ -1+8+2 & -2-4+2 \end{matrix} \right] \)
\({ B }^{ T }{ A }^{ T }=\left( \begin{matrix} 0 & 5 \\ 9 & -4 \end{matrix} \right) \)   ...(2)
(1), (2) –லிருந்து (AB)^T = B^TA^T என நிரூபிக்கப்பட்டது.

மதிப்பெண்களின் சராசரி = 35.9. இந்த மதிப்பானது தரவுகளின் நடுமதிப்பாக அமையும் அதனால் நாம் ஊகச் சராசரி A = 35, என எடுத்துக் கொள்கிறோம், மேலும், n = 10

திட்ட விலக்கம் \(\sigma =\sqrt { \frac { { \sum { d } }_{ i }^{ 2 } }{ n } -{ \left( \frac { \sum { { d }_{ i } } }{ n } \right) }^{ 2 } } \)
\(=\sqrt { \frac { 453 }{ 10 } -{ \left( \frac { 9 }{ 10 } \right) }^{ 2 } } \)
\(=\sqrt { 45.3-0.81 } =\sqrt { 44.49 }\)
\(\sigma \simeq 6.67\)

அரைக்கோளத்தின் ஆரம் r என்க 
இங்கு, அரைக்கோளத்தின் விட்டம் = கனசதுரத்தின் ஒரு பக்கம் = l ஆகும்.
ஆரம் r =\(\frac{1}{2}\) அலகு 
தற்போது, மீதமுள்ள திண்மத்தின் மொத்தப்பரப்பு = கனச்சதுரத்தின் மொத்தப்பரப்பு + அரைக்கோளத்தின் வளைபரப்பு - அரைக்கோளத்தின்  அடிப்பரப்பு 
= 6 x (பக்கம்)² + 2πr² - πr²
= 6 x (பக்கம்)² + πr²
\(=6\times { (l) }^{ 2 }+\pi { \left( \frac { l }{ 2 } \right) }^{ 2 }=\frac { 1 }{ 4 } (24+\pi ){ l }^{ 2 }\)
ஆகவே, மீதமுள்ள திண்மத்தின் புறப்பரப்பு \(\\ \\ =\frac { 1 }{ 4 } (24+\pi ){ l }^{ 2 }\) ச.அ

\(\frac{A B}{A C} =\frac{B D}{D C}  \)
\(\frac{8}{A C} =\frac{6}{3}  \)
\(A C =\frac{8}{6} \times 3=4\) செ.மீ 

\((1+\tan \theta+\sec \theta)(1+\cot \theta-\operatorname{cosec} \theta) \)
\(=\left(1+\frac{\sin \theta}{\cos \theta}+\frac{1}{\cos \theta}\right)\left(1+\frac{\cos \theta}{\sin \theta}-\frac{1}{\sin \theta}\right) \)
\(=\left(\frac{(\cos \theta+\sin \theta)+1}{\cos \theta}\right)\left(\frac{(\sin \theta+\cos \theta)-1}{\sin \theta}\right) \)
\(=\frac{(\sin \theta+\cos \theta)^2-1^2}{\sin \theta \cos \theta} \)
\(=\frac{\sin ^2 \theta+\cos ^2 \theta+2 \sin \theta \cos \theta-1}{\sin \theta \cos \theta} \)
\(=\frac{1+2 \sin \theta \cos \theta-1}{\sin \theta \cos \theta} \)
\(=\frac{2 \sin \theta \cos \theta}{\sin \theta \cos \theta} \)
= 2

குலுக்கலில் வெற்றி பெறும் நிகழ்வு A என்க
\(P(A)=\frac{1}{9} \)
\(\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{1}{9} \)
\(\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{1}{9} \Rightarrow \frac{n(A)}{135}=\frac{1}{9}\)
\(n(A)=\frac{135}{9}=15\)

வீச்சு =  L - S
= 8 - 8
= 0

\(\left(1^3+2^3+3^3+\ldots+15^3\right)-(1+2+3+\ldots+15)   \)
\(=\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2-\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]  \)
\(=\left[\frac{15 \times 16}{2}\right]^2-\left[\frac{15 \times 16}{2}\right]=(120)^2-120\)
= 14400 - 120 = 14280

(2,1) என்பதை சமன்பாடுகள் (2) ல் பிரதியிட, x + y = 3 மற்றும் 3 x +y = 7
இரண்டு சமன்பாடுகளும் (2,1) என்ற புள்ளியால் நிறைவு செய்யப்படுகிறது.

r₁ ஆரத்தைக் கொண்ட கோளப் பந்தின் கன அளவு \(=\frac{4}{3} \pi r_1^3\)
r₂ ஆரத்தைக் கொண்ட சம கோளப் பந்துகளின் கன அளவு
\(=8\left(\frac{4}{3} \pi r_2^3\right)\)
இப்போது, கோளத்தின் கன அளவு / புதிய 8 கோளங்களின் கன அளவு
\(=\frac{\frac{4}{3} \pi r_1^3}{8\left(\frac{4}{3} \pi r_2^3\right)}=\frac{r_1^3}{8 r_2^3}=2: 1\)

13 -க்கு குறைவாக உள்ள பகா எண்களின் கணம் {2,3,5,7,11}
உறவு \(\mathrm{R}=\left\{\left(\mathrm{x}, \mathrm{x}^2\right) / \mathrm{x}\right.\) என்பது 13 -க்கும் குறைவான பகா எண்}
R = {(2,4),(3,9),(5,25),(7,49),(11,121)}
\(\therefore\) வீச்சகம் = {4,9,25,49,121}

\(A=\{1,2\}, B=\{1,2,3,4\},\)
C = {5, 6}  மற்றும் D = {5,6,7,8}
\(\mathrm{A} \times \mathrm{C}=\{(1,5),(1,6),(2,5),(2,6)\} \)
\(\mathrm{B} \times \mathrm{D}=\{(1,5),(1,6),(1,7),(1,8), \)
\((2,5),(2,6),(2,7),(2,8), \)
\((3,5),(3,6),(3,7),(3,8), \)
\((4,5),(4,6),(4,7),(4,8)\} \)
எனவே, \((\mathrm{A} \times \mathrm{C}) \subset (\mathrm{B} \times \mathrm{D})\)

\({ \bar { x } }_{ 1 }=\cfrac { 140 }{ 6 } =28\)
\({ \bar { \sigma } }_{ 1 }=\sqrt { \cfrac { { \Sigma d }^{ 2 } }{ n } } =\sqrt { \cfrac { 880 }{ 5 } } \)
= \(\sqrt { 176 } \)
= 13.27
\({ CV }_{ 1 }=\cfrac { { \sigma }_{ 1 } }{ { \bar { x } }_{ 1 } } \times 100\)
\({ CV }_{ 1 }=\cfrac { 13.27 }{ 28 } \times 100\)
= 47.39%

\({ \bar { x } }_{ 2 }=\cfrac { 150 }{ 5 } =30\)
\({ \sigma }_{ 2 }=\sqrt { \cfrac { { \Sigma d }^{ 2 } }{ n } } =\sqrt { \cfrac { 1600 }{ 5 } } \)
= \(\sqrt { 320 } \)
= 17.89
\({ CV }_{ 1 }=\cfrac { { \sigma }_{ 2 } }{ { \bar { x } }_{ 2 } } \times 100\)
\({ CV }_{ 2 }=\cfrac { 17.89 }{ 30 } \times 100\)
= 59.63%
\(\therefore \) குழு A அதிக சீர்மைத் தன்மை கொண்டுள்ளது.

தேவையான சிறிய கோளங்களின் எண்ணிக்கை 
\(=\frac { \frac { 4 }{ 3 } \pi r^{ 3 } }{ \frac { 4 }{ 3 } \pi \times { \left( \frac { r }{ 4 } \right) }^{ 3 } } \)
\(={ r }^{ 3 }\times \frac { 4 }{ r } \times \frac { 4 }{ r } \times \frac { 4 }{ r } =64\)
சிறிய கோளங்கள் செய்யலாம்.

DB = 3 CD
BC = BD + DC
BC = 3CD + CD
BC = 4CD
CD = \(\frac 14\)BC
CD = \(\frac 14\) BC
BD = 3CD = \(\frac 34\) BC

ΔABD ஒரு செங்கோண முக்கோணம் D = 90°
AB² = AD² + BD²...(ii)
ΔACD ஒரு செங்கோண முக்கோணம் ㄥD = 90°
AC² = AD² + CD² ...(iii)
(ii) லிருந்து (iii) ஐக் கழிக்க.,
AB² - AC² = BD² - CD²
⇒ AB² - AC² = \({ AB }^{ 2 }-{ AC }^{ 2 }={ \left( \frac { 3 }{ 4 } BC \right) }^{ 2 }-{ \left( \frac { 1 }{ 4 } BC \right) }^{ 2 }\) (i) லிருந்து
CD = \(\frac 14\)BC, BD = \(\frac 34\)BD
⇒ AB² - AC² = \(\frac {9}{16}\) BC²  - \(\frac {1}{16}\) BC²
⇒ AB² - AC² = \(\frac 12\) BC²
⇒ 2(AB² - AC²) = BC²
⇒2AB² = 2AC²+ BC²
என நிரூபிக்கப்பட்டது.

\(\frac{7 x^2+2 \sqrt{14} x+2}{x^2-\frac{1}{2} x+\frac{1}{16}}  \) ன் வர்க்கமூலம் 
\(=\sqrt{\frac{7 x^2+2 \sqrt{14} x+2}{x^2-\frac{1}{2} x+\frac{1}{16}}}  \)
\(7 x^2+2 \sqrt{14} x+2  \)
\(=7 x^2+\sqrt{14} x+\sqrt{14} x+2  \)
\(=\sqrt{7} \sqrt{7} x x^2+\sqrt{2} \sqrt{7} x+\sqrt{2} \sqrt{7} x+\sqrt{2} \sqrt{2}  \)
\(=\sqrt{7} x(\sqrt{7} x+\sqrt{2})+\sqrt{2}(\sqrt{7} x+\sqrt{2})  \)
\(=(\sqrt{7} x+\sqrt{2})(\sqrt{7} x+\sqrt{2}) \)
\(=(\sqrt{7} x+\sqrt{2})^2 \)
\(x^2-\frac{1}{2} x+\frac{1}{16} \)
\(=x^2-\frac{1}{4} x-\frac{1}{4} x+\frac{1}{16} \)
\(=x\left(x-\frac{1}{4}\right)-1 / 4\left(x-\frac{1}{4}\right) \)
\(=\left(x-\frac{1}{4}\right)^2 \)
\(\therefore \sqrt{\frac{7 x^2+2 \sqrt{14} x+2}{x^2-1 / 2 x+\frac{1}{16}}} \)
\(=\sqrt{\frac{(\sqrt{7} x+\sqrt{2})^2}{(x-1 / 4)^2}} \)
\(=\sqrt{16 \frac{(\sqrt{7} x+\sqrt{2})^2}{(4 x-1)^2}}  \)
\(=4\left|\frac{\sqrt{7} x+\sqrt{2}}{4 x-1}\right|\)

TP மற்றும் TQ என்பது T என்ற புள்ளியிலிருந்து வட்டத்திற்கு வரையப்படும் தொடுகோடுகளாகும் 
OP = 5 செ.மீ, OT = 13 செ.மீ
ET = OT - OE = 13 - 5 = 8 செ.மீ
\(\angle O P T=90^{\circ}\)
பிதாகரஸ் தேற்றத்தின்படி ΔOPT இல்,
\(\mathrm{OT}^2=\mathrm{OP}^2+\mathrm{PT}^2 \)
\(13^2=5^2+\mathrm{PT}^2 \)
\(\mathrm{PT}^2=169-25 \)
\(\mathrm{PT}^2=144\)
PT = 12 செ.மீ
வட்டத்தின் வெளியே உள்ள புள்ளியிலிருந்து வட்டத்திற்கு வரையப்படும் தொடுகோடுகள் சமம்.
\(\therefore  \mathrm{AP}=\mathrm{AE}=\mathrm{x}  \)
\(\Rightarrow  \mathrm{AT}=\mathrm{PT}-\mathrm{AP}=(12-\mathrm{x}) \) செ.மீ 
AB ஆனது E இல் தொடுகோடு
\(\therefore \mathrm{OE} \perp \mathrm{AB} \)
\(\Rightarrow \angle O E A =90^{\circ}  \)
\(\Rightarrow \angle A E T =90^{\circ}  \)
\(\mathrm{AT}^2 =\mathrm{AE}^2+\mathrm{ET}^2\)
[பிதாகரஸ் தேற்றத்தின்படி ΔAET இல்]
\((12-x)^2 =x^2+(13-5)^2  \)
\(144-24 x+x^2 =x^2+64  \)
\(24 x =144-64  \)
\(24 x =80  \)
\(\Rightarrow 3 x =10 \)
\(\mathrm{x} =\frac{10}{3} \)
மேலும் \( \mathrm{BE} =\frac{10}{3}\)  செ.மீ
\(\therefore \mathrm{AB} =\mathrm{AE}+\mathrm{BE}\) 
\(=\left(\frac{10}{3}+\frac{10}{3}\right) \) செ.மீ \(=\frac{20}{3} \) செ.மீ 
\(\mathrm{AB} =\frac{20}{3}\) செ.மீ 

கொடுக்கப்பட்ட எண் 107,
இது ஒரு மிகை ஒற்றை எண்
எனவே a = 107 மற்றும் b = 4 என்க
யூக்ளிடின் வகுத்தல் துணைத் தேற்றத்தின்படி,
107 = 4q + r இங்கு 0 \(\leq\) r < 4 
அதாவது r = 0, 1, 2, 3.
107 ஒற்றை எண், எனவே மீதி 0 அல்லது 2 ஆக இருக்க இயலாது.
எனவே, 107 ஐ 4q அல்லது 4q + 2 என்ற வடிவில் அமைக்க இயலாது. மீதமுள்ள வடிவங்கள் 4q + 1 அல்லது 4q + 3
4q + 1 = 107 எனில்
4q = 107 - 1 = 106
\(q=\frac{106}{4}\) ஒரு இயல் எண் அல்ல
∴ 107 = 4q + 3 என்ற வடிவில் மட்டுமே அமையும்
∴ இங்கு 107 = 4q + 3
4q = 107 - 3 = 104
\(q=\frac{104}{4}=26\)
\(\therefore\) 107 ஆனது 4q + 3 என்ற வடிவில் அமையும்.

(i) 3, 9, 27, 81
இங்கு \(\frac{t_2}{t_1}=\frac{9}{3}=3\)
\(\frac{t_3}{t_2}=\frac{27}{9}=3  \)
\(\frac{t_4}{t_3}=\frac{81}{27}=3\)
அடுத்தடுத்த உறுப்புகளின் விகிதங்கள் சமமாக உள்ளன. எனவே 3, 9, 27, 81,.... ஒரு பெருக்குத் தொடர்வரிசை ஆகும்.
(ii) 4, 44, 444, 4444
\(\frac{t_2}{t_1}=\frac{44}{4}=11 \)
\(\frac{t_3}{t_2}=\frac{444}{44}=\frac{111}{11} \)
\(\frac{t_4}{t_3}=\frac{4444}{444}=\frac{1111}{111}\)
இங்கு அடுத்தடுத்த உறுப்புகளின் விகிதங்கள் சமமாக இல்லாததால் 4, 44, 444,..... என்ற தொடர்வரிசை ஒரு பெருக்குத் தொடர்வரிசை அல்ல
(iii) 0.5, 0.05, 0.005,....
\(\frac{t_2}{t_1}=\frac{0.05}{0.5}=\frac{0.5}{5}=\frac{5}{50}=\frac{1}{10} \)
\(\frac{t_3}{t_2}=\frac{0.005}{0.05}=\frac{5}{50}=\frac{1}{10}\)
அடுத்தடுத்த உறுப்புகளின் விகிதங்கள் சமமாக உள்ளன. எனவே 0.5, 0.05, 0.005,.... ஒரு பெருக்குத் தொடர்வரிசை ஆகும் (iv) \(\frac{1}{3}, \frac{1}{6}, \frac{1}{12}, \ldots \)
\(\frac{t_2}{t_1}=\frac{1 / 6}{1 / 3}=\frac{1}{6} \times \frac{3}{1}=\frac{1}{2} \)
\(\frac{t_3}{t_2}=\frac{1 / 12}{1 / 6}=\frac{1}{12} \times \frac{6}{1}=\frac{1}{2}\)
இரண்டு அடுத்தடுத்த உறுப்புகளின் விகிதங்கள் சமமாக உள்ளன. எனவே \(\frac{1}{3}, \frac{1}{6}, \frac{1}{12}, \ldots\) ஒரு பெருக்குத் தொடர்வரிசை ஆகும்.
(v) 1, -5, 25, -125,.....
\(\frac{t_2}{t_1}=\frac{-5}{1}=-5  \)
\(\frac{t_3}{t_2}=\frac{25}{-5}=-5  \)
\(\frac{t_4}{t_3}=\frac{-125}{25}=-5\)
இரண்டு அடுத்தடுத்த உறுப்புகளின் விகிதங்கள் சமமாக உள்ளன. எனவே, 1, -5, 25, -125,..... ஒரு பெருக்குத் தொடர்வரிசை ஆகும்.
(vi) 120, 60, 30, 18,.....
\(\frac{t_2}{t_1}=\frac{60}{120}=\frac{1}{2}  \)
\(\frac{t_3}{t_2}=\frac{30}{60}=\frac{1}{2}  \)
\(\frac{t_4}{t_3}=\frac{18}{30}=\frac{9}{15}=\frac{3}{5}\)
அடுத்தடுத்த உறுப்புகளின் விகிதங்கள் சமமாக இல்லாததால், 120, 60, 30, 18,..... ஒரு பெருக்குத் தொடர்வரிசை அல்ல.
(vii) 16, 4, 1, \(\frac { 1 }{ 4 } \),...
\(\frac{t_2}{t_1}=\frac{4}{16}=\frac{1}{4} \)
\(\frac{t_3}{t_2} =\frac{1}{4}  \)
\(\frac{t_4}{t_3} =\frac{1 / 4}{1}  \)
\(=\frac{1}{4}\)
அடுத்தடுத்த உறுப்புகளின் விகிதங்கள் சமமாக உள்ளன.
∴ 16, 4, 1, \(\frac { 1 }{ 4 } \),...  ஒரு பெருக்குத் தொடர்வரிசை  ஆகும்

3x + y + 2 = 0 மற்றும் x - 2y - 4 = 0 ஆகியவற்றைத் தீர்க்க.
3x + y + 2 = 0   .....(1)
x - 2y - 4 = 0   .....(2)

x = 0 என (1) ல் பிரதியிட,
3(0) + y = -2
y = -2
சமன்பாடுகள் (1), (2) ஆகியவற்றின் வெட்டும்புள்ளி (0,-2)
7x - 3y = -12 மற்றும்  2y = x + 3 ஆகியவற்றைத் தீர்க்க.
7x - 3y = -12 ......(3)
x - 2y = -3 ......(4)
7x - 14y = -21  ...(6)

\(y=\frac{9}{11}\) என (2) ல் பிரதியிட,
\(x-2\left(\frac{9}{11}\right)=-3 \)
\(x =-3+\frac{18}{11} \)
\(=\frac{-15}{11}\)
சமன்பாடுகள் (3), (4) ஆகியவற்றின், வெட்டும் புள்ளி \(\left(\frac{-15}{11}, \frac{9}{11}\right)\)
(0,-2) மற்றும் \(\left(\frac{-15}{11}, \frac{9}{11}\right)\) ஆகிய புள்ளிகளை இணைக்கும் கோட்டின் சமன்பாடு
\(\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1} \)
\(\frac{y+2}{9} =\frac{x-0}{-\frac{15}{11}-2} \)
\(\frac{11(y+2)}{9+22} =\frac{-11 x}{15} \)
\(15(y+2) =-31 x \)
\(15 y+30 =-31 x \)
\(31 x+15 y+30 =0\)