எனவே,\(\sqrt { \cfrac { 4x^{ 2 } }{ { y }^{ 2 } } +\cfrac { 20x }{ y } +13-\cfrac { 30y }{ x } +\cfrac { { 9y }^{ 2 } }{ { x }^{ 2 } } } =\left| \cfrac { 2x }{ y } +5-\cfrac { 3y }{ x } \right| \)

தேவையான மூன்று எண்கள் x, y, z என்க
கொடுக்கப்பட்ட விவரங்களிலிருந்து நாம் பெறுவது
3x + y + 2z = 5...(1)
x + 3z - 3y = 2 ...(2)
2x + 3y - z = 1 ...(3)

y = 2 என (5) -யில் பிரதியிட,-14 + 7z = 7\(\Leftarrow\) z = 3
y = 2 என z = 3, (1) -யில் பிரதியிட,
3x + 2 + 6 = 5 \(\Leftarrow\) x = -1
எனவே, தேவையான எண்கள் x = -1, y = 2, z = 3.

2x² - x - 1 = 0 இங்கு a = 2, b = -1, c = -1
\(\alpha +\beta =\cfrac { -b }{ a } =\cfrac { -\left( -1 \right) }{ 2 } =\cfrac { 1 }{ 2 } ;\alpha \beta =\cfrac { c }{ a } =-\cfrac { 1 }{ 2 } \)
(i) கொடுக்கப்பட்ட மூலங்கள் \(\cfrac { 1 }{ \alpha } ,\cfrac { 1 }{ \beta } \)
மூலங்களின் கூடுதல் = \(\cfrac { 1 }{ \alpha } +\cfrac { 1 }{ \beta } =\cfrac { \alpha +\beta }{ \alpha \beta } =\cfrac { \frac { 1 }{ 2 } }{ -\frac { 1 }{ 2 } } =-1\)
மூலங்களின் பெருக்கற்பலன் = \(\cfrac { 1 }{ \alpha } \times \cfrac { 1 }{ \beta } =\cfrac { 1 }{ \alpha \beta } =-\cfrac { 1 }{ -\frac { 1 }{ 2 } } =-2\)
தேவையான சமன்பாடு x² - (மூலங்களின் கூடுதல்)x + (மூலங்களின் பெருக்கற்பலன்) = 0
x² - (-1)x - 2 = 0 ⇒ x² + x − 2 = 0
(ii)  கொடுக்கப்பட்ட மூலங்கள் \({ \alpha }^{ 2 }\beta ,{ \beta }^{ 2 }\alpha \)
மூலங்களின் கூடுதல் \({ \alpha }^{ 2 }\beta +{ \beta }^{ 2 }\alpha =\alpha \beta \left( \alpha +\beta \right) =-\cfrac { 1 }{ 2 } \left( \cfrac { 1 }{ 2 } \right) =-\cfrac { 1 }{ 4 } \)
மூலங்களின் பெருக்கற்பலன் \(\left( { \alpha }^{ 2 }\beta \right) \times \left( { \beta }^{ 2 }\alpha \right) ={ \alpha }^{ 3 }{ \beta }^{ 3 }=\left( \alpha \beta \right) ^{ 3 }=\left( -\cfrac { 1 }{ 2 } \right) ^{ 3 }=-\cfrac { 1 }{ 8 } \)
தேவையான சமன்பாடு x² -(மூலங்களின் கூடுதல்)x + (மூலங்களின் பெருக்கற்பலன்) = 0 
\({ x }^{ 2 }-\left( -\cfrac { 1 }{ 4 } \right) x-\cfrac { 1 }{ 8 } =0\) ⇒ \({ 8x }^{ 2 }+2x-1=0\)
(iii) \(2\alpha +\beta ,2\beta +\alpha \)
மூலங்களின் கூடுதல் \(2\alpha +\beta +2\beta +\alpha =3\left( \alpha +\beta \right) =3\left( \cfrac { 1 }{ 2 } \right) =\cfrac { 3 }{ 2 } \)
மூலங்களின் பெருக்கற்பலன் = \(\left( 2\alpha +\beta \right) \left( 2\beta +\alpha \right) =4\alpha \beta +{ 2\alpha }^{ 2 }+{ 2\beta }^{ 2 }+\alpha \beta \)
= \(5\alpha \beta +2\left( { \alpha }^{ 2 }+{ \beta }^{ 2 } \right) =5\alpha \beta +2\left| \left( \alpha +\beta \right) ^{ 2 }-2\alpha \beta \right| \)
= \(5\left( { -\cfrac { 1 }{ 2 } } \right) +2[\cfrac { 1 }{ 4 } -2\times \left( -\cfrac { 1 }{ 2 } \right) ]=0\)
தேவையான சமன்பாடு  x²-மூலங்களின் கூடுதல்)x + (மூலங்களின் பெருக்கற்பலன்) = 0 
\(x^2-\frac{3}{2} x+0=0 \Rightarrow 2 x^2-3 x=0\)

\(\frac{1}{x}=p, \frac{1}{y}=q, \frac{1}{z}=r\) என்க.
கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடுகளை
\(\cfrac { p }{ 2 } +\cfrac { q }{ 4 } -\cfrac { r }{ 3 } =\cfrac { 1 }{ 4 } \)
\(p=\cfrac { q }{ 3 } \)
\(p-\cfrac { q }{ 5 } +4r=2\cfrac { 2 }{ 15 } =\cfrac { 32 }{ 15 } \) என எழுதலாம்.
இவற்றைச் சுருக்கும்போது கிடைப்பது
6p + 3q - 4r = 3   ...(1)
3p = q             ..(2)
15p - 3q + 60r = 32 ...(3)
(2) -ஐ (1) மற்றும் (3) -யில் பிரதியிட நாம் பெறுவது
15p - 4r = 3    ...(4)
6p + 60r = 32 ⇐ 3p + 30r = 16 ...(5)
(4) மற்றும் (5) -ஐத் தீர்க்க

\(r=\cfrac { 1 }{ 2 } \)   என  (4) -யில் பிரதியிட நமக்குக் கிடைப்பது, 15p - 2 = 3 ⇐,\(p=\cfrac { 1 }{ 3 } \)
(2) ⇐ q = 3p ⇐ q = 1
எனவே, \(x=\cfrac { 1 }{ p } =3,y=\cfrac { 1 }{ q } =1,z=\cfrac { 1 }{ r } =2\) அதாவது, x = 3, y = 1, z = 2

\(\cfrac { x }{ 2 } -1=\cfrac { y }{ 6 } +1\)
\(\cfrac { x }{ 2 } -\cfrac { y }{ 6 } =1+1\)⇐ \(\cfrac { 6x-2y }{ 12 } =1\) ⇐ 3x-y=12 ...(1)
\(\cfrac { x }{ 2 } -1=\cfrac { z }{ 7 } +2\) என்க 
\(\cfrac { x }{ 2 } -\cfrac { z }{ 7 } =1+2\) ⇐ ,\(\cfrac { 7x-2z }{ 14 } =3\) ⇒ 7x - 2x = 42    ...(2)
\(\cfrac { y }{ 3 } +\cfrac { x }{ z } =13\)  ⇐   \(\cfrac { 2y+3z }{ 6 } \) =13 ⇒ 2y + 3z = 78  ...(3)
(2) மற்றும் (3) -லிருந்து z -ஐ நீக்க,

x = 10 என (1) -யில் பிரதியிட, 30 - y = 12 ⇐ y = 18
x = 10 என (2) -யில் பிரதியிட, 70 - 2z = 42 ⇐ z = 14
எனவே, x = 10, y = 18, z = 14.

\(\cfrac { (k-12) }{ a } { x }^{ 2 }+\cfrac { 2(k-12) }{ b } x+\cfrac { 2 }{ c } =0\)
\({ \Delta }^{ 2 }={ b }^{ 2 }-4ac=(2(k-12))^{ 2 }\)
= 4(k-12)[(k-12)-2]
= 4(k-12)(k- 14)
\(\Delta =0\)  ஏனெனில் மூலங்கள் சமமானவை 
\(\Rightarrow 4(k-12)(k-14)=0\)
k-12=0 அல்லது  k-14=0
k=12,14

9x²-9(a+b)x+(2a²+5ab+2b²)=0
ax²+bx+c=0
a=9
b=-9(a+b)
c=(2a²+5ab+2b²)
\(\therefore \Delta ={ B }^{ 2 }-4AC\)
\(\Rightarrow\)81(a+b)²-36(2a²+5ab+2b²)
\(\Rightarrow\)9a²+9b²-18ab
\(\Rightarrow\)9(a-b)²>0

2x+3y+4z=20
3x+2y+5z=20

z=3 என(5) ல் பிரதியிட \(\Rightarrow \) y-2(3)=-4
y=2
y=2,z=3  என(1) ல் பிரதியிட கிடைப்பது 
x+2+3=6
x=1
x=1,y=2,z=3