இரு எண்கள் \(\alpha ,\beta \)  என்க
அவற்றின் கூடுதல் \(s=\alpha +\beta =15\)
அவற்றின் தலைகீழிகளின் கூடுதல் 
\(\cfrac { 1 }{ \alpha } +\cfrac { 1 }{ \beta } =\cfrac { 3 }{ 10 } \)
\(\cfrac { \beta +\alpha }{ \alpha \beta } =\cfrac { 3 }{ 10 } \)
\(10\left( \alpha +\beta \right) =3\alpha \beta \)
\(3\alpha \beta =10\times 15=150\)
மூலங்களின் பெருக்கல் பயன்  \(\alpha \beta =\cfrac { 150 }{ 3 } =50\)
\(\therefore\) (1) மற்றும்(4) லிருந்து 
x²-15x+50=0
(x-10)(x-5)=0\(\Rightarrow\)x=10,5
\(\therefore\) அந்த எண்கள் 10,5

A (1, -1), B(-4, 6), மற்றும் C(-3, -5) சூத்திரத்தை பயன்படுத்தி 
Δ = \(\frac { 1 }{ 2 } \) {x₁(y₂ - y₃) + x₂(y₃ - y₁) + x₃(y₁ - y₂)} சதுர அலகுகள்
= \(\frac { 1 }{ 2 } \) [1 (6 + 5 ) + (-4) (-5 + 1) + (-3) (- 1 - 6)]
= \(\frac { 1 }{ 2 } \) [11 + 16 + 21] = 24 சதுர அலகுகள்
∴ முக்கோணத்தின் பரப்பு = 24 சதுர அலகுகள்

P, Q என்ற புள்ளிகள் AB கோட்டினை 
AP = PQ = QB எனப் பிரிப்பதாகக் கொள்வோம்.

எனவே P ஆனது AB ஐ உட்புறமாக 1:2 என்ற விகிதத்தில் பிரிக்கிறது. எனவே, P பிரிவு சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி
\(P(x,y)=\left[ \frac { 1(-7)+2(2) }{ 1+2 } ,\frac { 1(7)+2(-2) }{ 1+2 } \right] \)  i.e., (-1, 0)
மேலும் Q ஆனது AB இன் உட்புறமாக 2:1 என்ற விகிதத்தில் Q பிரிக்கிறது.
\(\therefore Q(x,y)=\left[ \frac { 2(-7)+1(2) }{ 2+1 } ,\frac { 2(4)+(-2) }{ 2+1 } \right] \) i.e., (-4, 2)
∴ AB கோட்டினை P(-1, 0) மற்றும் (-4, 2) புள்ளிகள் மூன்றும் பிரிவுகளாகப் பிரிக்கின்றன. 

நிரூபணம்:

ΔABC ஒரு செங்கோண முக்கோணம்
∠B செங்கோணம்
நிரூபிக்க வேண்டியது: AC² = AB² + BC²
அமைப்பு: BC 丄 AC
ΔABC = ΔABC
\(\frac { AD }{ AB } =\frac { AB }{ AC } \)
(பக்கங்களின் விகிதம்)
AD · AC = AB² ...(1)
மேலும், ΔBDC ~ ΔABC
\(\frac { CD }{ BC } =\frac { BC }{ AC } \)
CD · AC =BC² ...(2)
(1) மற்றும் (2) ஐக் கூட்ட
AD.AC+CD.AC = AB²+ BC²
AC(AD+CD) = AB² + BC²
AC.AC = AB²+ BC²
AC² = AB² + BC²

ΔADC யில்
AC² = AD² + CD²  ...(1)
(பிதாகரஸ் தேற்றத்தின்படி)
ΔADB யில்,
AB² = AD² + BD² ...(2)
(பிதாகரஸ் தேற்றத்தின்படி)
(1) ஐ (2) லிருந்து கழிக்க
AB² - AC² = BD² - CD²
AB² + CD² = BD² + AC²

(k + 9)x² + (k + 1)x + 1 = 0
சமன்பாட்டின் மூலங்கள் மெய் இல்லை. எனவே, \(\Delta <0\)
அதாவது \({ b }^{ 2 }-4ac<0\)
இங்கு, a = k + 9, b = k + 1, c = 1
எனவே, (k + 1)² - 4(k + 9)(1) < 0
k² + 2k + 1 - 4k - 36 < 0
k² - 2k - 35 < 0
(k + 5)(k - 7) < 0
எனவே, -5 < k < 7 {\(\alpha\)<\(\beta\) (x-\(\alpha\))(x-\(\beta\)) < 0 எனில், \(\alpha\) < x < \(\beta\)}

x + y − 5 = 0 மற்றும் x − y = 0 ஆகிய நேர்கோடுகள் சந்திக்கும் புள்ளியே AB என்ற கோடானது வட்டத்தைத் தொடும் புள்ளி ஆகும்.
x + y − 5 = 0 மற்றும் x − y = 0 இவற்றைத் தீர்ப்பதின் மூலம்.
x = \(\frac 52\) மற்றும் y = \(\frac 52\)
எனவே, தொடுபுள்ளி P–யின் ஆயப் புள்ளிகள் \(\left( \frac { 5 }{ 2 } ,\frac { 5 }{ 2 } \right) \) ஆகும்.

கொடுக்கப்பட்ட \(\triangle\)PQR -ன் பக்கங்களைப் போல் \(\frac { 7 }{ 4 } \) பங்கு அளவுடைய ஒத்த பக்கங்களைக் கொண்ட மற்றொரு முக்கோணத்தை அமைப்போம்.
வரைதலின் படிகள் 
1. ஏதேனும் ஓர் அளவைக் கொண்டு ΔPQR வரைக.
2. QR என்ற கோட்டுத்துண்டில் குறுங்கோணத்தை ஏற்படுத்துமாறு, QX என்ற கதிரை P என்ற முனைப் புள்ளிக்கு எதிர் திசையில் வரைக.
3. QX யின் மீது Q₁, Q₂, Q₃, Q_4, Q_5, Q₆  மற்றும் Q₇ என்ற 7 புள்ளிகளை (\(\frac { 7 }{ 4 } \) யில் 7 மற்றும் 4 ஆகியவற்றில் பெரியது)
QQ₁ = Q₁Q₂ = Q₂Q₃ = Q₃Q₄ = Q₄Q₅ = Q₅Q₆ = Q₆Q₇ என்றவாறு குறிக்கவும்.
4. Q₄ ஐ (4-வது புள்ளி, அதாவது \(\frac { 7 }{ 4 } \) யில் 4 மற்றும் 7 ஆகியவற்றில் சிறியது) புள்ளி R –வுடன் இணைக்க Q₄R -க்கு இணையாக Q₇-லிருந்து வரையப்படும் கோடு QR ஐ R'–ல் சந்திக்கிறது.
5. R'லிருந்து RP–க்கு இணையாக வரையப்படும் கோடு QP–ஐ P'–யில் சந்திக்கிறது. ΔP′QR'–யின் பக்கங்கள் ΔPQR  –ன் ஒத்த பக்கங்களின் அளவில் 4–ல் 7 பங்கு ஆகும்.
6. ΔP'QR'  ஆனது தேவையான வடிவொத்த முக்கோணம் ஆகும்.

இடப்பக்கம் = A(B + C)
B + C = \(\left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ -4 & 2 \end{matrix} \right) +\left( \begin{matrix} -7 & 6 \\ 3 & 2 \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} -6 & 8 \\ -1 & 4 \end{matrix} \right) ...(1)\)
A(B + C) = \(\left( \begin{matrix} 1 & 1 \\ -1 & 3 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} -6 & 8 \\ -1 & 4 \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} -6-1 & 8+4 \\ 6-3 & -8+12 \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} -7 & 12 \\ 3 & 4 \end{matrix} \right) \) ...(1)
வலப்பக்கம்  AB + AC
\(AB=\left( \begin{matrix} 1 & 1 \\ -1 & 3 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ -4 & 2 \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} 1-4 & 2+2 \\ -1-12 & -2+6 \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} -3 & 4 \\ 13 & -4 \end{matrix} \right) \)
\(AC=\left( \begin{matrix} 1 & 1 \\ -1 & 3 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} -7 & 6 \\ 3 & 2 \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} -7+3 & 6+2 \\ 7+9 & -6+6 \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} -4 & 8 \\ 16 & 0 \end{matrix} \right) \)
எனவே,
\(AB+AC=\left( \begin{matrix} -3 & 4 \\ -13 & 4 \end{matrix} \right) +\left( \begin{matrix} -4 & 8 \\ 16 & 0 \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} -7 & 12 \\ 3 & 4 \end{matrix} \right) \) ....(2)
(1), (2) லிருந்து, A(B + C) = AB + AC என நிரூபிக்கப்பட்டது.

a, b என்பன வெட்டுத்துண்டுகள் எனில் a + b = 7 அல்லது b = 7 − a
வெட்டுத்துண்டு வடிவம் \(\frac { x }{ a } +\frac { y }{ b } =1\)
ஆகவே, \(\frac { x }{ a } +\frac { y }{ 7-a } =1\)
இக்கோடானது (-3, 8), என்ற புள்ளி வழிச் செல்வதால்
\(\frac { -3 }{ a } +\frac { 8 }{ 7-a } =1\) ⇒ –3(7 – a) + 8a = a(7 – a)
−21 + 3a + 8a = 7a − a²
ஆகவே a² + 4a − 21 = 0
இதனை தீர்ப்பதன் மூலம் (a − 3)(a + 7) = 0
a = 3 அல்லது a = −7
a என்பது மிகை எண் என்பதால் a = 3 மற்றும் b = 7 – a = 7 – 3 = 4.
எனவே, \(\frac { x }{ 3 } +\frac { y }{ 4 } =1\)
ஆகவே, தேவையான நேர்க்கோட்டின் சமன்பாடு 4x + 3y - 12 = 0.

\(\cfrac { (k-12) }{ a } { x }^{ 2 }+\cfrac { 2(k-12) }{ b } x+\cfrac { 2 }{ c } =0\)
\({ \Delta }^{ 2 }={ b }^{ 2 }-4ac=(2(k-12))^{ 2 }\)
= 4(k-12)[(k-12)-2]
= 4(k-12)(k- 14)
\(\Delta =0\)  ஏனெனில் மூலங்கள் சமமானவை 
\(\Rightarrow 4(k-12)(k-14)=0\)
k-12=0 அல்லது  k-14=0
k=12,14

9x²-9(a+b)x+(2a²+5ab+2b²)=0
ax²+bx+c=0
a=9
b=-9(a+b)
c=(2a²+5ab+2b²)
\(\therefore \Delta ={ B }^{ 2 }-4AC\)
\(\Rightarrow\)81(a+b)²-36(2a²+5ab+2b²)
\(\Rightarrow\)9a²+9b²-18ab
\(\Rightarrow\)9(a-b)²>0

B, D ஐ இணைப்பதால் ΔABD, ΔBCD கிடைக்கின்றன.
இப்பொழுது ΔABD - ன் பரப்பு
= \(\frac { 1 }{ 2 } \) [-5(- 5 - 5) + (-4) (5 - 7) + 4 (7 + 5 )]
= \(\frac { 1 }{ 2 } \) (50 + 8 + 48)
= \(\frac { 106 }{ 2 } \) = 53 சதுர அலகுகள்
மேலும் ΔBCD யின் பரப்பு
= \(\frac { 1 }{ 2 } \) [-4 (- 6 - 5) - 1 (5 + 5) + 4 (-5 + 6)]
= \(\frac { 1 }{ 2 } \) (44 - 10 + 4)
= 19 சதுர அலகுகள்
ஆகையால் நாற்கரம் ABCD-ன் பரப்பு
= 53 + 19 = 72 சதுர அலகுகள்

கொடுக்கப்பட்டது XY||AC

ஆகையால் ∠BXY = ∠A மற்றும்
∠BYX = ∠C  (ஒத்த கோணங்கள்)
∴ ΔABC~ΔXBY (SAS விதிமுறைப்படி)
ஆகையால் \(\frac { ar(ABC) }{ ar(XBY) } ={ \left( \frac { AB }{ XB } \right) }^{ 2 }\) ...(1)
ar(ABC) = 2ar(XBY)
\(\frac { ar(ABC) }{ ar(XBY) } =\frac { 2 }{ 1 } \) ...(2)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து,
\({ \left( \frac { AB }{ XB } \right) }^{ 2 }=\frac { 2 }{ 1 } \) i.e.  \(\frac { AB }{ XB } =\frac { \sqrt { 2 } }{ 1 } \)
\(\frac { XB }{ AB } =\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \)
\(1-\frac { XB }{ AB } =1-\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \)
\(\frac { AB-XB }{ AB } =\frac { \sqrt { 2 } -1 }{ \sqrt { 2 } } \)
\(\frac { AX }{ AB } =\frac { \sqrt { 2 } -1 }{ \sqrt { 2 } } =\frac { 2-\sqrt { 2 } }{ 2 } \)

\(3{ p }^{ 2 }+2\sqrt { 5 } p-5\)-ஐ  ax² + bx + c = 0 உடன் ஒப்பிட,
a = 3, b = \(2\sqrt { 5 } \), c = -5.
p = \({-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\)
a, b மற்றும் c யின் மதிப்புகளைச் சூத்திரத்தில் பிரதியிட,
\(p =\frac { -2\sqrt { 5 } \pm \sqrt { { \left( 2\sqrt { 5 } \right) }^{ 2 }-4\left( 3 \right) \left( -5 \right) } }{ 2\left( 3 \right) } =\frac { -2\sqrt { 5 } \pm \sqrt { 80 } }{ 6 } =\frac { -\sqrt { 5 } \pm 2\sqrt { 5 } }{ 3 } \)
எனவே, x = \(\frac { \sqrt { 5 } }{ 3 } ,-\sqrt { 5 } \)

\(\frac{10 x^3-25 x^2+4 x-10}{-4-10 x^2} \)
\(=\frac{10 x^2(x-5 / 2)+4(x-5 / 2)}{-\left(4+10 x^2\right)}  \)
\(=\frac{(x-5 / 2)\left(10 x^2+4\right)}{-\left(4+10 x^2\right)}  \)
\(=-(x-5 / 2)  \)
\(=5 / 2-x\)

3x² + 7x - 2 = 0 இங்கு a = 3, b = 7, c = -2
\(\alpha \) மற்றும் \(\beta \) சமன்பாட்டின் மூலங்கள் ; எனவே,
\(\cfrac { \alpha ^{ 2 } }{ \beta } +\cfrac { { \beta }^{ 2 } }{ \alpha } =\cfrac { { \alpha }^{ 3 }+{ \beta }^{ 3 } }{ \alpha \beta } =\cfrac { \left( \alpha +\beta \right) ^{ 3 }-3\alpha \beta \left( \alpha +\beta \right) }{ \alpha \beta } =\cfrac { \left( -\frac { 7 }{ 3 } \right)^ {3} -3\left( -\frac { 2 }{ 3 } \right) \left( -\frac { 7 }{ 3 } \right) }{ -\frac { 7 }{ 3 } } =\cfrac { 469 }{ 18 } \)

\(\alpha \) மற்றும் \(\beta \) சமன்பாட்டின் மூலங்கள் எனில்,\(\alpha +\beta =\cfrac { -b }{ a } =\cfrac { -7 }{ 1 } =-7;\alpha \beta =\cfrac { c }{ \alpha } =\cfrac { 10 }{ 1 } =10\)
\({ \alpha }^{ 2 }+{ \beta }^{ 2 }=\left( { \alpha }^{ 2 }+{ \beta }^{ 2 } \right) ^{ 2 }-2{ \alpha }^{ 2 }{ \beta }^{ 2 }\)
(ii)-லிருந்து, \({ \alpha }^{ 2 }+{ \beta }^{ 2 }=29\) எனவே 29²-2(10)²=641

(ii) \(\Delta PST\) மற்றும் \(\Delta PQR\) -யில்,
\(\cfrac { PS }{ PQ } =\cfrac { 2 }{ 2+3 } =\cfrac { 2 }{ 5 } ,\cfrac { PT }{ PR } =\cfrac { 2 }{ 2+3 } =\cfrac { 2 }{ 5 } \)
இதிலிருந்து,\(\cfrac { PS }{ PQ } =\cfrac { PT }{ PR } \) மற்றும்
\(\angle P\)  ஆனது பொதுக் கோணம். எனவே, SAS விதிமுறைப்படி, \(\Delta PST\sim \Delta PQR\)

கொடுக்கப்பட்ட நேர்க்கோடுகள் 4x + 5y − 13 = 0 ...(1)
x − 8y + 9 = 0 ...(2)
(1) மற்றும் (2) - ஐ தீர்ப்பதின் மூலம் இக்கோடுகள் சந்திக்கும் புள்ளியைக் காணலாம்.

\(\frac { x }{ 45-104 } =\frac { y }{ -13-36 } =\frac { 1 }{ -32-5 } \)
\(\frac { x }{ -59 } =\frac { y }{ -49 } =\frac { 1 }{ -37 } \)
\(x=\frac { 59 }{ 37 } ,y=\frac { 49 }{ 37 } \)
எனவே, இரு நேர்க்கோடுகள் வெட்டிக்கொள்ளும் புள்ளி (x, y) = \(\left( \frac { 59 }{ 37 } ,\frac { 49 }{ 37 } \right) \)
Y-அச்சுக்கு இணையான நேர்க்கோட்டின் சமன்பாடு x = c.
இக்கோடானது  (x, y) = \(\left( \frac { 59 }{ 37 } ,\frac { 49 }{ 37 } \right) \) வழிச் செல்கிறது. எனவே c = \(\frac { 59 }{ 37 } \)
நேர்க்கோட்டின்  x =  \(\frac { 59 }{ 37 } \). எனவே, 37x - 59 = 0

60 x 2 = 120^o

AE = x எனில், EC = 2.4 - x
\(\mathrm{AB}=3.6, \mathrm{AD}=2.1  \therefore \mathrm{DB}=3.6-2.1=1.5  \)
\(\frac{A D}{D B} =\frac{A E}{E C}  \)
\(\frac{2.1}{1.5} =\frac{x}{2.4-x}  \)
\(\frac{7}{5} =\frac{x}{2.4-x}  \)
\(7[2.4-\mathrm{x}] =5 \mathrm{x}\) 
\(16.8 =5 \mathrm{x}+7 \mathrm{x}=12 \mathrm{x} \)
\(\mathrm{x} =\frac{16.8}{12}=1.4 \) செ.மீ 

\(A B^2 =A C^2+B C^2  \)
\(=5^2+5^2=50  \)
\(A B =\sqrt{50}=5 \sqrt{2}\) 5 செ.மீ  

x² - kx - 6 மற்றும் x² - 2x - 24 மீ.பொ.வ (x - 6)
∴ x² - kx - 6 என்பது (x - 6) ஆல் வகுபடும்.
\((6)^2-\mathrm{k}(6)-6 =0  \)
\(\Rightarrow \quad 36-6 \mathrm{k}-6 =0\)
6k = 30
\(\Rightarrow k=\frac{30}{6}=5\)

A ன் வரிசை = 3 x 2
B ன் வரிசை = 3 x 3
(i) A என்பது சதுர அணி அல்லாததால் A² சாத்தியமல்ல.
(ii) B என்பது சதுர அணி என்பதால் B² சாத்தியம்.
(iii) AB என்பது சாத்தியமல்ல. ஏனெனில் A-ல் நிரல்களின் எண்ணிக்கை \(\neq \mathrm{B}\)- ல் நிரைகளின் எண்ணிக்கை.
(iv) BA என்பது சாத்தியமாகிறது. ஏனெனில் B ன் நிரல்களின் எண்ணிக்கை = A ன் நிரைகளின் எண்ணிக்கை.

கொடுக்கப்பட்டது \(\begin{aligned} 2 x &+\left[\begin{array}{ll} 1 & 3 \\ 5 & 7 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll} 5 & 7 \\ 9 & 5 \end{array}\right] \\ \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} 2 x &=\left[\begin{array}{ll} 5 & 7 \\ 9 & 5 \end{array}\right]-\left[\begin{array}{ll} 1 & 3 \\ 5 & 7 \end{array}\right] \\ \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} &=\left[\begin{array}{cc} 4 & 4 \\ 4 & -2 \end{array}\right] \\ \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} x &=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{cc} 4 & 4 \\ 4 & -2 \end{array}\right] \\ \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} &=\left[\begin{array}{cc} 2 & 2 \\ 2 & -1 \end{array}\right] \end{aligned}\)

(2,1) என்பதை சமன்பாடுகள் (2) ல் பிரதியிட, x + y = 3 மற்றும் 3 x +y = 7
இரண்டு சமன்பாடுகளும் (2,1) என்ற புள்ளியால் நிறைவு செய்யப்படுகிறது.

இரு பக்கங்கள் இணை மற்றும் இரு பக்கங்கள் இணையற்றவை.

7x - 3y + 4 = 0 என்ற கோட்டின் சாய்வு
\(\frac{-a}{b}=\frac{-7}{-3}=\frac{7}{3}\)
செங்குத்துக் கோட்டின் சாய்வு \(=\frac{-3}{7}\)
(0,0) வழிச் செல்வதும் சாய்வு \(\frac{-3}{7}\) உடையதுமான கோட்டின் சமன்பாடு
\(y-y_1 =m\left(x-x_1\right) \)
\(y-0 =\frac{-3}{7}(x-0) \)
7y = -3x
3x + 7y = 0

x = a என்ற வடிவில் உள்ள எந்த ஒரு கோடும் y -அச்சிற்கு இணையாக இருக்கும்.

புள்ளிகள் (-5, 0), (0, -5) மற்றும் (5, 0) முக்கோணத்தின் பரப்பளவு
\(=\frac{1}{2}\left[x_1\left(y_2-y_3\right)+x_2\left(y_3-y_1\right)+x_3\left(y_1-y_2\right)\right]\)
\(=\frac{1}{2}[-5(-5-0)+0(0-0)+5(0+5)] \)
\(=\frac{1}{2}[25+25]=\frac{50}{2}=25 \) சதுர அலகுகள்

Δ-ன் பரப்பு
= \(\frac { 1 }{ 2 } \) [1.5 (- 2 - 4) + 6(4 - 3) + (-3)(3 + 2)]
= \(\frac { 1 }{ 2 } \) [9 + 6 - 15] = 0
∴ Δ-ன் பரப்பு '0' எனில் முக்கோணம் அமைக்க இயலாது, ஏனெனில் மூன்று புள்ளிகளும் ஒரே கோட்டில் அமைவன.

ஆரம், r = 3 செ.மீ எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது
வரைமுறை
படி 1 : O -வை மையமாகக் கொண்டு 3 செ.மீ ஆரமுள்ள வட்டம் வரைக
படி 2 : வட்டத்தின் மேல் P என்ற புள்ளியைக் குறித்து OP -ஐ இணைக்கவும்
படி 3 : P என்ற புள்ளி வழியே OP -க்கு செங்குத்தாக TT' வரைக
படி 4 : TT' ஆனது தேவையான தொடுகோடு ஆகும்.