B, D ஐ இணைப்பதால் ΔABD, ΔBCD கிடைக்கின்றன.
இப்பொழுது ΔABD - ன் பரப்பு
= \(\frac { 1 }{ 2 } \) [-5(- 5 - 5) + (-4) (5 - 7) + 4 (7 + 5 )]
= \(\frac { 1 }{ 2 } \) (50 + 8 + 48)
= \(\frac { 106 }{ 2 } \) = 53 சதுர அலகுகள்
மேலும் ΔBCD யின் பரப்பு
= \(\frac { 1 }{ 2 } \) [-4 (- 6 - 5) - 1 (5 + 5) + 4 (-5 + 6)]
= \(\frac { 1 }{ 2 } \) (44 - 10 + 4)
= 19 சதுர அலகுகள்
ஆகையால் நாற்கரம் ABCD-ன் பரப்பு
= 53 + 19 = 72 சதுர அலகுகள்

AB- யின் சாய்வும் CD–ன் சாய்வும் சமமாக இருப்பதால், அவைகள் இணையாகும். இதேபோல் AD– யின் சாய்வும், BC-ன் சாய்வும் சமம் இல்லை. எனவே, இவை இணை இல்லை.
ஆகையால், நாற்கரம் ABCD ஆனது ஒரு சரிவகம் என அறியலாம்

சாய்வு மற்றும் y வெட்டுத்துண்டு வடிவத்தைப் பயன்படுத்தி, நேர்கோட்டின் சமன்பாட்டை எழுதலாம்.
நேர்கோட்டின் சமன்பாடு  y = \(\frac 95\)x + 32

2x + 3y - 8 = 0 என்ற நேர்க்கோட்டின் சாய்வு
m₁ = 
m₁ = \(\frac {-2}3\)
4x + 6y + 18 = 0 என்ற நேர்க்கோட்டின் சாய்வு
m₂ = \(\frac{-4}{6}=\frac{-2}{3}\)
இங்கு, m₁ = m₂
அதாவது, சாய்வுகள் சமம். எனவே இவ்விரு நேர்க்கோடுகளும் இணையாகும்.

A என்ற புள்ளியில் பூனை இருப்பதாகவும், B என்ற புள்ளியில் பால்புட்டி வைக்கப்பட்டுள்ளதாகவும் கொள்க.
கொடுக்கப்பட்டது: A(-6,-4), B(5,11)
\(\left(\mathrm{x}_1, \mathrm{y}_1\right),\left(\mathrm{x}_2, \mathrm{y}_2\right) \)ஆகிய புள்ளிகள் வழிச் செல்லும் கோட்டின் சமன்பாடு.
\(\frac{y-y_1}{y_2-y_1} =\frac{x-x_1}{x_2-x_1} \)
\(\frac{y+4}{11+4} =\frac{x+6}{5+6} \)
\(11(y+4) =15(x+6) \)
\(11 y+44 =15 x+90 \)
\(15 x-11 y+46 =0\)

(i) மின்கலச் சக்தி 40% எனில், நேரத்தைக் கணக்கிட, y = 0.40 என எடுத்துக் கொள்க.
0.40 = −0.25x + 1 ⇒ 0.25x = 0.60
x = \(\frac {0.60}{0.25}\) = 2.4 மணி
(ii) மின்கலம் தனது முழுச் சக்தியை இழந்துவிட்டால் y = 0 எனக் கிடைக்கும்.
எனவே , 0 = −0.25x + 1 ⇒ 0.25x = 1 எனவே , x = 4 மணி.
∴ நான்கு மணி நேரத்திற்குப் பின்பு அலைபேசியின் மின்கலம் தனது முழுச் சக்தியையும் இழக்கிறது.

x - வெட்டுத்துண்டு a மற்றும் y - வெட்டுத்துண்டு '-a' என்க.
வெட்டுத்துண்டு வடிவில் நேர்க்கோட்டின் சமன்பாடு \(\frac { x }{ a } +\frac { y }{ -b } \) = 1
\(\frac { x }{ a } +\frac { y }{ -a } \) = 1 (இங்கே b = -a)
எனவே, x − y = a ...(1)
(1) ஆனது (5, 7) வழிச் செல்வதால், 5 - 7 = a ⇒ a = −2
ஆகவே, தேவையான நேர்க்கோட்டின் சமன்பாடு x − y = −2 அதாவது x − y + 2 = 0

கொடுக்கப்பட்ட நேர்க்கோட்டின் சமன்பாடு 8x − 7y + 6 = 0
7y = 8x + 6 (இதனை y = mx + c வடிவத்திற்கு மாற்றவும்)
\(y=\frac { 8 }{ 7 } x+\frac { 6 }{ 7 } \) ...(1)
(1) ஐ y = mx + c உடன் ஒப்பிட,
சாய்வு m = \(\frac 87\) மற்றும் y வெட்டுத்துண்டு c = \(\frac 67\)

(i) X அச்சுக்கு இணையான நேர்கோட்டின் சமன்பாடு y = b.
இது (5, 7) வழி செல்வதால், b = 7.
எனவே தேவையான நேர்கோட்டின் சமன்பாடு y = 7.
(ii) Y அச்சுக்கு இணையான நேர்கோட்டின் சமன்பாடு x = c
இது (5, 7) வழி செல்வதால், c = 5
எனவே தேவையான நேர்கோட்டின் சமன்பாடு x = 5.

நேர்க்கோடு r -யின் சாய்வு \({ m }_{ 1 }=\frac { 8-2 }{ 5+2 } =\frac { 6 }{ 7 } \)
நேர்க்கோடு s -யின் சாய்வு \({ m }_{ 2 }=\frac { 0-7 }{ -2+8 } =\frac { -7 }{ 6 } \)
சாய்வுகளின் பெருக்கல் = \(\frac { 6 }{ 7 } \times \frac { -7 }{ 6 } =-1\)
அதாவது, m₁m₂  = -1
எனவே, நேர்க்கோடு r ஆனது, நேர்க்கோடு s -க்கு செங்குத்தாக அமையும்.

(i) இங்கு θ = 30°
சாய்வு m = tan  θ
எனவே, சாய்வு m = tan 30° = \(\frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } \)
(ii) சாய்வு \(\sqrt 3\) ,  θ என்பது கோட்டின் சாய்வுக் கோணம் என்க.
tan  θ = \(\sqrt 3\)
⇒  θ = 60°

P(-1.5, 3), Q(6, -2) , R(-3, 4) ஆகியன கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் ஆகும்.
∆PQR - யின் பரப்பு = \(\frac 12\) {(x₁y₂ + x₂y₃ + x₃y₁) − (x₂y₁ + x₃y₂ + x₁y₃)} 
= \(\frac 12\) {(3 + 24 - 9) - (18 + 6 - 6)} = \(\frac 12\) {18 - 18} = 0
எனவே, கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் ஒரே நேர்க்கோட்டில் அமைந்துள்ளன.

படத்தில், கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகளைக் கடிகார முள்ளின் எதிர் திசையில் அமையுமாறு குறிக்கவும்.

 
என்பன முக்கோணத்தின் முனைகள் என்க.
ΔABC - யின் பரப்பு
= \(\frac {1}{2}\) {(x₁y₂ + x₂y₃ + x₃y₁) - (x₂y₁ + x₃y₂ + x₁y₃)}
= \(\frac {1}{2}\) {(6 + 30 + 25) - (25 - 10 - 18)}
= \(\frac {1}{2}\) {61 + 3}
= \(\frac {1}{2}\)  (64) = 32 சதுர அலகுகள்

கொடுக்கப்பட்ட புள்ளி A(1, 4), B(2, 5) மற்றும் C(4, 7)
BC - யின் சாய்வு = \(\frac { 7-5 }{ 4-2 } =\frac { 2 }{ 2 } \) = 1
தேவையான நேர்க்கோட்டின் சாய்வு m என்க.
இந்த நேர்க்கோடு BC-க்கு செங்குத்தாக உள்ளது.
எனவே, m x 1 = −1
m = −1
இக்கோடானது A(1,4) வழி செல்வதால்,
தேவையான நேர்க்கோட்டின் சமன்பாடு y − y₁ = m(x − x₁)
y - 4 = − 1(x − 1)
y - 4 = −x + 1
எனவே, x + y − 5 = 0

நாற்கரத்தின் பரப்பைக் காண்பதற்கு முன்பாகக் கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகளை வரைபடத்தில் குறிக்கவேண்டும்.
A(8,6), B(5,11), C(–5,12) மற்றும் D(–4,3) என்பன முனைப் புள்ளிகள் ஆகும்.
எனவே, நாற்கரம் ABCD - யின் பரப்பு
= \(\frac 12\) {(x₁y₂ + x₂y₃ + x₃y₄ + x₄y₁) − (x₂y₁ + x₃y₂ + x₄y₃ + x₁y₄)}
= \(\frac 12\) {(88 + 60 - 15 - 24) - (30 - 55 - 48 + 24)}
= \(\frac 12\) {109 + 49}
= \(\frac 12\) {158} = 79 ச.அலகுகள்

ஓர் ஓட்டின் முனைப் புள்ளிகள் (-3,2), (-1, -1) மற்றும் (1, 2) ஆகும்.
இந்த ஓட்டின் பரப்பு = \(\frac {1}{2}\) {(3 - 2 + 2) - (-2 - 1 - 6)} ச.அலகுகள்
= \(\frac {1}{2}\)(12) = 6 ச. அலகுகள்
தரைத்தளமானது ஒரே மாதிரியான 110 ஓடுகளால் நிரப்பப்படுவதால், தரைத்தளத்தின் பரப்பு = 110 × 6 = 660 ச.அலகுகள்.

இரு பக்கங்கள் இணை மற்றும் இரு பக்கங்கள் இணையற்றவை.

கொடுக்கப்பட்ட கோடு 8y = 4x + 21
\(y=\frac{x}{2}+\frac{21}{8}\)
\(\mathrm{y}=\frac{x}{2}+2.625\)\(\mathrm{y}=\mathrm{mx}+\mathrm{c}\) என்ற வடிவில்
இங்கு, \(\mathrm{m}=\frac{1}{2}=0.5, \mathrm{c}=2.625\)
\(\therefore \) சாய்வு \(\mathrm{m} =\frac{1}{2}=0.5 \)
y வெட்டுத்துண்டு = 2.6

7x - 3y + 4 = 0 என்ற கோட்டின் சாய்வு
\(\frac{-a}{b}=\frac{-7}{-3}=\frac{7}{3}\)
செங்குத்துக் கோட்டின் சாய்வு \(=\frac{-3}{7}\)
(0,0) வழிச் செல்வதும் சாய்வு \(\frac{-3}{7}\) உடையதுமான கோட்டின் சமன்பாடு
\(y-y_1 =m\left(x-x_1\right) \)
\(y-0 =\frac{-3}{7}(x-0) \)
7y = -3x
3x + 7y = 0

கொடுக்கப்பட்டது: A என்பது Y -அச்சின் மீதுள்ள புள்ளி, அதன் செங்குத்து அச்சுத்தூரம் 8. B என்பது X-அச்சின் மீதுள்ள புள்ளி, அதன் கிடைஅச்சுத்தூரம் 5 .
\(\therefore\) A மற்றும் B என்பன முறையே (0,8) மற்றும் (5,0) ஆகும்.
AB ன் சமன்பாடு \(\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}\)
\(\frac{y-8}{0-8} =\frac{x-0}{5-0} \)
5(y - 8) = -8x
8x + 5y- 40 = 0
8x + 5y = 40

(12,3) மற்றும் (4, a) புள்ளிகளைச் சேர்க்கும் கோட்டின் சாய்வு 1 / 8
\(\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2} =\frac{3-a}{12-4}=\frac{1}{8} \)
\(\frac{3-a}{8} =\frac{1}{8} \)
\(3-a =1 \Rightarrow a=2\)

3x - y = 4 மற்றும் x + y = 8 ஐத் தீர்க்க
                  3x - y = 4 ......(1)
                  x + y = 8 .....(2)
                ___________
\((1)+(2) \Rightarrow 4 x =12\)
x = 3
(2) -ல் பிரதியிட
3 + y = 8
y = 5
\(\therefore\) வெட்டும்புள்ளி (3,5)

கொடுக்கப்பட்ட (5, 7), (3, p) மற்றும் (6,6) என்பன ஒரே கோடமைப் புள்ளிகள்
\(\therefore\) இப்புள்ளிகளால் அமையும் முக்கோணத்தின் பரப்பு பூச்சியம்.
அதாவது \(\frac{1}{2}\left\{x_1\left(y_2-y_3\right)+x_2\left(y_3-y_1\right)+x_3\left(y_1-y_2\right)\right\}=0\)
\(5(\mathrm{p}-6)+3(6-7)+6(7-\mathrm{p})=0 \)
\(5 \mathrm{p}-30-3+42-6 \mathrm{p}=0 \)
\(\Rightarrow-\mathrm{p}+9=0 \Rightarrow \mathrm{p}=9\)

x = a என்ற வடிவில் உள்ள எந்த ஒரு கோடும் y -அச்சிற்கு இணையாக இருக்கும்.

புள்ளிகள் (-5, 0), (0, -5) மற்றும் (5, 0) முக்கோணத்தின் பரப்பளவு
\(=\frac{1}{2}\left[x_1\left(y_2-y_3\right)+x_2\left(y_3-y_1\right)+x_3\left(y_1-y_2\right)\right]\)
\(=\frac{1}{2}[-5(-5-0)+0(0-0)+5(0+5)] \)
\(=\frac{1}{2}[25+25]=\frac{50}{2}=25 \) சதுர அலகுகள்