A (1, -1), B(-4, 6), மற்றும் C(-3, -5) சூத்திரத்தை பயன்படுத்தி 
Δ = \(\frac { 1 }{ 2 } \) {x₁(y₂ - y₃) + x₂(y₃ - y₁) + x₃(y₁ - y₂)} சதுர அலகுகள்
= \(\frac { 1 }{ 2 } \) [1 (6 + 5 ) + (-4) (-5 + 1) + (-3) (- 1 - 6)]
= \(\frac { 1 }{ 2 } \) [11 + 16 + 21] = 24 சதுர அலகுகள்
∴ முக்கோணத்தின் பரப்பு = 24 சதுர அலகுகள்

இணைகரத்தில் மூலைவிட்டங்கள் இருசமக்கூறிடும்.
∴ AC யின் மையப்புள்ளி = BD-ன் மையப்புள்ளி 
i.e., \(\left[ \frac { 6+9 }{ 2 } ,\frac { 1+4 }{ 2 } \right] =\left[ \frac { 8+p }{ 2 } ,\frac { 2+3 }{ 2 } \right] \)
\(\left[ \frac { 15 }{ 2 } ,\frac { 5 }{ 2 } \right] =\left[ \frac { 8+p }{ 2 } ,\frac { 5 }{ 2 } \right] \)
\(\frac { 15 }{ 2 } ,\frac { 8+p }{ 2 } \)
P = 7 

P, Q என்ற புள்ளிகள் AB கோட்டினை 
AP = PQ = QB எனப் பிரிப்பதாகக் கொள்வோம்.

எனவே P ஆனது AB ஐ உட்புறமாக 1:2 என்ற விகிதத்தில் பிரிக்கிறது. எனவே, P பிரிவு சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி
\(P(x,y)=\left[ \frac { 1(-7)+2(2) }{ 1+2 } ,\frac { 1(7)+2(-2) }{ 1+2 } \right] \)  i.e., (-1, 0)
மேலும் Q ஆனது AB இன் உட்புறமாக 2:1 என்ற விகிதத்தில் Q பிரிக்கிறது.
\(\therefore Q(x,y)=\left[ \frac { 2(-7)+1(2) }{ 2+1 } ,\frac { 2(4)+(-2) }{ 2+1 } \right] \) i.e., (-4, 2)
∴ AB கோட்டினை P(-1, 0) மற்றும் (-4, 2) புள்ளிகள் மூன்றும் பிரிவுகளாகப் பிரிக்கின்றன. 

கொடுக்கப்பட்ட முனைப்புள்ளிகள் A(-5, -4), B(1, 6) மற்றும் C(7, -4)
முக்கோணத்தின் பரப்பு \(=\frac{1}{2}\left[\mathrm{x}_1\left(\mathrm{y}_2-\mathrm{y}_3\right)+\mathrm{x}_2\left(\mathrm{y}_3-\mathrm{y}_1\right)+\mathrm{x}_3\left(\mathrm{y}_1-\mathrm{y}_2\right)\right]\) சதுர அலகுகள் முக்கோணம் ABC ன் பரப்பளவு
\(=\frac{1}{2}[-5(6+4)+1(-4+4)+7(-4-6)]  \)
\(=\frac{1}{2}[-50+0-70]=\frac{-120}{2}=-60\)
[∵ பரப்பளவு குறை எண்ணாக இருக்க இயலாது]
∴ பரப்பளவு = 60 சதுர அலகுகள்
கொடுக்கப்பட்டது: 6 சதுர அடி பரப்புக்கு வர்ணம் பூச ஒரு வாளி வர்ணம் தேவைப்படுகிறது.
∴ வாளிகளின் எண்ணிக்கை \(=\frac{60}{6}=10\)

கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் \(\left(-\frac{1}{2}, 3\right), (-5,6)\) மற்றும் (-8,8).
முக்கோணத்தின் பரப்பளவு \(=\frac{1}{2}\left[x_1\left(y_2-y_3\right)+x_2\left(y_3-y_1\right) +x_3\left(y_1-y_2\right)\right] \)
\(=\frac{1}{2}\left[-\frac{1}{2}(6-8)-5(8-3)-8(3-6)\right]  \)
\(=\frac{1}{2}\left[-\frac{1}{2}(-2)-5(5)-8(-3)\right]  \)
\(=\frac{1}{2}[1-25+24]=\frac{1}{2}(0)=0\)
முக்கோணத்தின் பரப்பளவு பூச்சியம் என்பதால், புள்ளிகள் ஒரே கோட்டமைந்த புள்ளிகளாகும்.

B, D ஐ இணைப்பதால் ΔABD, ΔBCD கிடைக்கின்றன.
இப்பொழுது ΔABD - ன் பரப்பு
= \(\frac { 1 }{ 2 } \) [-5(- 5 - 5) + (-4) (5 - 7) + 4 (7 + 5 )]
= \(\frac { 1 }{ 2 } \) (50 + 8 + 48)
= \(\frac { 106 }{ 2 } \) = 53 சதுர அலகுகள்
மேலும் ΔBCD யின் பரப்பு
= \(\frac { 1 }{ 2 } \) [-4 (- 6 - 5) - 1 (5 + 5) + 4 (-5 + 6)]
= \(\frac { 1 }{ 2 } \) (44 - 10 + 4)
= 19 சதுர அலகுகள்
ஆகையால் நாற்கரம் ABCD-ன் பரப்பு
= 53 + 19 = 72 சதுர அலகுகள்

A (1, 7), B (4, 2), C (-1, -1) மற்றும் D (-4, 4) என்க. ABCD ஒரு சதுரம் என நிரூபிக்க வேண்டுமாயின் அதன் நான்கு பக்கங்களும் சமம் என்றும் மூலைவிட்டங்கள் சமம் என்றும் நிரூபிக்க வேண்டும்.
d = \(\sqrt { { \left( { x }_{ 2 }-{ x }_{ 1 } \right) }^{ 2 }+{ \left( { y }_{ 2 }-{ y }_{ 1 } \right) }^{ 2 } } \)
∴ AB = \(\sqrt { { \left( 1-4 \right) }^{ 2 }+{ \left( 7-4 \right) }^{ 2 } } =\sqrt { 9+25 } =\sqrt { 34 } \)
BC = \(\sqrt { { \left( 4+1 \right) }^{ 2 }+{ \left( 2+1 \right) }^{ 2 } } =\sqrt { 25+9 } =\sqrt { 34 } \)
CD = \(\sqrt { { \left( -1+4 \right) }^{ 2 }+{ \left( 7-4 \right) }^{ 2 } } =\sqrt { 9+25 } =\sqrt { 34 } \)
DA = \(\sqrt { { \left( 1+4 \right) }^{ 2 }+{ \left( 7+1 \right) }^{ 2 } } =\sqrt { 25+9 } =\sqrt { 34 } \)
AC = \(\sqrt { { \left( 1+1 \right) }^{ 2 }+{ \left( 7+1 \right) }^{ 2 } } =\sqrt { 4+64 } =\sqrt { 68 } \)
BD = \(\sqrt { { \left( 4+4 \right) }^{ 2 }+{ \left( 2-4 \right) }^{ 2 } } =\sqrt { 64+4 } =\sqrt { 68 } \)
AB = BC = CD = DA மற்றும் AC = BD
∴ ABCD ஒரு சதுரத்தின் உச்சிகள் ஆகும்.

P(x, y) எனும் புள்ளி A(7, 1) மற்றும் B(3, 5) யிலிருந்து சமதூரத்தில் உள்ள புள்ளி. இங்கு AP = BP. ஆகையால் AP² = BP².
(x - 7)² + (y - 1)² = (x - 3)² + (y - 5)²
x² - 14x + 49 + y² - 2y + 1 = x² - 6x + 9 + y² - 10y + 25
x - y = 2
இதுவே தேவையான உறவு ஆகும்.

கொடுக்கப்பட்ட சாய்வு 'm' = 0
\(\Rightarrow \tan \theta=0=\tan 0^{\circ} \)
\(\therefore \theta=0^{\circ}\)

கொடுக்கப்பட்ட கோடு 8y = 4x + 21
\(y=\frac{x}{2}+\frac{21}{8}\)
\(\mathrm{y}=\frac{x}{2}+2.625\)\(\mathrm{y}=\mathrm{mx}+\mathrm{c}\) என்ற வடிவில்
இங்கு, \(\mathrm{m}=\frac{1}{2}=0.5, \mathrm{c}=2.625\)
\(\therefore \) சாய்வு \(\mathrm{m} =\frac{1}{2}=0.5 \)
y வெட்டுத்துண்டு = 2.6

PQ-ன் சாய்வு \(=\frac{1}{\sqrt{3}}=\mathrm{m}\)
செங்குத்துகோட்டின் சாய்வு \(=\frac{-1}{m}=-\sqrt{3}\)

புள்ளிகள் (-5, 0), (0, -5) மற்றும் (5, 0) முக்கோணத்தின் பரப்பளவு
\(=\frac{1}{2}\left[x_1\left(y_2-y_3\right)+x_2\left(y_3-y_1\right)+x_3\left(y_1-y_2\right)\right]\)
\(=\frac{1}{2}[-5(-5-0)+0(0-0)+5(0+5)] \)
\(=\frac{1}{2}[25+25]=\frac{50}{2}=25 \) சதுர அலகுகள்

Δ-ன் பரப்பு
= \(\frac { 1 }{ 2 } \) [2(k + 3) + 4(- 3 - 3) + 6 (3 - k)] = 0
⇒ \(\frac { 1 }{ 2 } \) [-4k] = 0
⇒ k = 0
Δ ABC-யின் பரப்பு
= \(\frac { 1 }{ 2 } \) [2 (0 + 3) + 4(- 3 - 3) + 6(3 - 0)] = 0

Δ-ன் பரப்பு
= \(\frac { 1 }{ 2 } \) [1.5 (- 2 - 4) + 6(4 - 3) + (-3)(3 + 2)]
= \(\frac { 1 }{ 2 } \) [9 + 6 - 15] = 0
∴ Δ-ன் பரப்பு '0' எனில் முக்கோணம் அமைக்க இயலாது, ஏனெனில் மூன்று புள்ளிகளும் ஒரே கோட்டில் அமைவன.