(i) குறுக்குச் சாலை மற்றும் வடக்குத் தெரு சந்திக்கும் புள்ளியைக் காணுதல்.
D(0, k) என்பது குறுக்குச் சாலையின் மேல் உள்ள புள்ளி ஆகும்.
எனவே, x = 0, y = k என குறுக்கு சாலையின் சமன்பாட்டில் பிரதியிட, நாம் பெறுவது
0 - 3k + 18 = 0
k = 6
எனவே, D ஆனது (0,6) ஆகும்
(ii) குறுக்குச் சாலை மற்றும் கிழக்கு நிழற்சாலை சந்திக்கும் புள்ளியைக் காணுதல்.
E-யின் ஆயப் புள்ளி (q, 2) என்க.
x = q, y = 2 எனக் குறுக்குச் சாலை சமன்பாட்டில் பிரதியிட
4q - 6 + 18 = 0
4q = -12 எனவே q = –3
ஆகவே, E என்ற புள்ளி (-3, 2)ஆகும்.
ஆதலால், குறுக்கு சாலையானது வடக்கு தெருவை D(0, 6) என்ற புள்ளியிலும், கிழக்கு நிழற்சாலையை E (-3, 2) என்ற புள்ளியிலும் சந்திக்கிறது.

(a) (i) கிழக்கு நிழற்சாலையானது C(0, 2) மற்றும் B(7, 2) என்ற புள்ளிகளை இணைக்கும் நேர்க்கோடாகும்.
எனவே இரு புள்ளி வடிவத்தைப் பயன்படுத்திக் கிழக்கு நிழற்சாலையின் சமன்பாடு,
\(\frac { y-2 }{ 2-2 } =\frac { x-0 }{ 7-0 } \)
\(\frac { y-2 }{ 0 } =\frac { x }{ 7 } \) ⇒ y = 2 ஆகும்.
(ii) D மற்றும் C(0, 2) என்ற புள்ளிகள் ஒரே நேர்க்கோட்டில் அமைகிறது எனில் புள்ளி D-யின் x ஆயத் தொலைவு = 0 ஆகும்.
ஆகவே, வடக்கு தெருவிலுள்ள எந்தப் புள்ளிக்கும் x-யின் ஆயத் தொலைவு = 0 ஆகும்
எனவே, வடக்கு தெருவின் சமன்பாடு x = 0.
(iii) குறுக்குச் சாலையின் சமன்பாட்டைக் காணுதல்.
வட்டவடிவத் தோட்டத்தின் மையம் M–யின் ஆயப் புள்ளி (7, 7) மற்றும் A- யின் ஆயப் புள்ளி (3, 10) ஆகும். MA-யின் சாய்வு m₁ எனில், m₁ = \(\frac { 10-7 }{ 3-7 } =\frac { -3 }{ 4 } \)
குறுக்குச் சாலையானது MA-க்கு செங்குத்தாக உள்ளது. எனவே குறுக்குச் சாலையின் சாய்வு m₂ எனில், m₁ m₂ = –1 ⇒ \(\frac { -3 }{ 4 } \) m₂ = -1 ∴, m₂ = \(\frac { 4 }{3 } \)
குறுக்குச் சாலையானது, சாய்வு \(\frac { 4 }{3 } \) மற்றும் A(3, 10) என்ற புள்ளி வழியாகவும் செல்கிறது
எனவே, குறுக்குச் சாலையின் சமன்பாடு y - 10 = \(\frac { 4 }{3 } \)(x - 3)
3y - 30 = 4x - 12
4x - 3y + 18 = 0
(b) (i) குறுக்குச் சாலை மற்றும் வடக்குத் தெரு சந்திக்கும் புள்ளியைக் காணுதல்.
D(0, k) என்பது குறுக்குச் சாலையின் மேல் உள்ள புள்ளி ஆகும்.
எனவே, x = 0, y = k என குறுக்கு சாலையின் சமன்பாட்டில் பிரதியிட, நாம் பெறுவது
0 - 3k + 18 = 0
k = 6
எனவே, D ஆனது (0, 6) ஆகும்
(ii) குறுக்குச் சாலை மற்றும் கிழக்கு நிழற்சாலை சந்திக்கும் புள்ளியைக் காணுதல்.
E-யின் ஆயப் புள்ளி (q, 2) என்க.
x = q, y = 2 எனக் குறுக்குச் சாலை சமன்பாட்டில் பிரதியிட
4q - 6 + 18 = 0
4q = -12 எனவே q = –3
ஆகவே, E என்ற புள்ளி (-3, 2)ஆகும்.
ஆதலால், குறுக்கு சாலையானது வடக்கு தெருவை D(0, 6) என்ற புள்ளியிலும், கிழக்கு நிழற்சாலையை E (3, 2) என்ற புள்ளியிலும் சந்திக்கிறது.

a, b என்பன வெட்டுத்துண்டுகள் எனில் a + b = 7 அல்லது b = 7 − a
வெட்டுத்துண்டு வடிவம் \(\frac { x }{ a } +\frac { y }{ b } =1\)
ஆகவே, \(\frac { x }{ a } +\frac { y }{ 7-a } =1\)
இக்கோடானது (-3, 8), என்ற புள்ளி வழிச் செல்வதால்
\(\frac { -3 }{ a } +\frac { 8 }{ 7-a } =1\) ⇒ –3(7 – a) + 8a = a(7 – a)
−21 + 3a + 8a = 7a − a²
ஆகவே a² + 4a − 21 = 0
இதனை தீர்ப்பதன் மூலம் (a − 3)(a + 7) = 0
a = 3 அல்லது a = −7
a என்பது மிகை எண் என்பதால் a = 3 மற்றும் b = 7 – a = 7 – 3 = 4.
எனவே, \(\frac { x }{ 3 } +\frac { y }{ 4 } =1\)
ஆகவே, தேவையான நேர்க்கோட்டின் சமன்பாடு 4x + 3y - 12 = 0.

கொடுக்கப்பட்ட புள்ளி A(1, 4), B(2, 5) மற்றும் C(4, 7)
BC - யின் சாய்வு = \(\frac { 7-5 }{ 4-2 } =\frac { 2 }{ 2 } \) = 1
தேவையான நேர்க்கோட்டின் சாய்வு m என்க.
இந்த நேர்க்கோடு BC-க்கு செங்குத்தாக உள்ளது.
எனவே, m x 1 = −1
m = −1
இக்கோடானது A(1,4) வழி செல்வதால்,
தேவையான நேர்க்கோட்டின் சமன்பாடு y − y₁ = m(x − x₁)
y - 4 = − 1(x − 1)
y - 4 = −x + 1
எனவே, x + y − 5 = 0

A(2, 2), B(5, 5), C(4, 9) மற்றும் D(1, 7) என்பது நாற்கர வடிவ வாகன நிறுத்தத்தின் முனைப் புள்ளிகள் ஆகும்.
வாகன நிறுத்தத்தின் பரப்பு = \(\frac 12\) ச.அலகுகள் 
= \(\frac 12\) {(10 + 45 + 28 + 2) - (10 + 20 + 9 + 14)}
= \(\frac 12\) {85 - 53}
= \(\frac 12\) (32) = 16 சதுர அடிகள்.
வாகன நிறுத்தத்தின் பரப்பு = 16 சதுர அடிகள்
ஒரு சதுர அடி அமைக்க ஆகும் செலவு = ₹1300
வாகன நிறுத்தம் அமைக்க ஆகும் மொத்தச் செலவு = 16 × 1300 = ₹20800

B, D ஐ இணைப்பதால் ΔABD, ΔBCD கிடைக்கின்றன.
இப்பொழுது ΔABD - ன் பரப்பு
= \(\frac { 1 }{ 2 } \) [-5(- 5 - 5) + (-4) (5 - 7) + 4 (7 + 5 )]
= \(\frac { 1 }{ 2 } \) (50 + 8 + 48)
= \(\frac { 106 }{ 2 } \) = 53 சதுர அலகுகள்
மேலும் ΔBCD யின் பரப்பு
= \(\frac { 1 }{ 2 } \) [-4 (- 6 - 5) - 1 (5 + 5) + 4 (-5 + 6)]
= \(\frac { 1 }{ 2 } \) (44 - 10 + 4)
= 19 சதுர அலகுகள்
ஆகையால் நாற்கரம் ABCD-ன் பரப்பு
= 53 + 19 = 72 சதுர அலகுகள்

A (1, 7), B (4, 2), C (-1, -1) மற்றும் D (-4, 4) என்க. ABCD ஒரு சதுரம் என நிரூபிக்க வேண்டுமாயின் அதன் நான்கு பக்கங்களும் சமம் என்றும் மூலைவிட்டங்கள் சமம் என்றும் நிரூபிக்க வேண்டும்.
d = \(\sqrt { { \left( { x }_{ 2 }-{ x }_{ 1 } \right) }^{ 2 }+{ \left( { y }_{ 2 }-{ y }_{ 1 } \right) }^{ 2 } } \)
∴ AB = \(\sqrt { { \left( 1-4 \right) }^{ 2 }+{ \left( 7-4 \right) }^{ 2 } } =\sqrt { 9+25 } =\sqrt { 34 } \)
BC = \(\sqrt { { \left( 4+1 \right) }^{ 2 }+{ \left( 2+1 \right) }^{ 2 } } =\sqrt { 25+9 } =\sqrt { 34 } \)
CD = \(\sqrt { { \left( -1+4 \right) }^{ 2 }+{ \left( 7-4 \right) }^{ 2 } } =\sqrt { 9+25 } =\sqrt { 34 } \)
DA = \(\sqrt { { \left( 1+4 \right) }^{ 2 }+{ \left( 7+1 \right) }^{ 2 } } =\sqrt { 25+9 } =\sqrt { 34 } \)
AC = \(\sqrt { { \left( 1+1 \right) }^{ 2 }+{ \left( 7+1 \right) }^{ 2 } } =\sqrt { 4+64 } =\sqrt { 68 } \)
BD = \(\sqrt { { \left( 4+4 \right) }^{ 2 }+{ \left( 2-4 \right) }^{ 2 } } =\sqrt { 64+4 } =\sqrt { 68 } \)
AB = BC = CD = DA மற்றும் AC = BD
∴ ABCD ஒரு சதுரத்தின் உச்சிகள் ஆகும்.

P(x, y) எனும் புள்ளி A(7, 1) மற்றும் B(3, 5) யிலிருந்து சமதூரத்தில் உள்ள புள்ளி. இங்கு AP = BP. ஆகையால் AP² = BP².
(x - 7)² + (y - 1)² = (x - 3)² + (y - 5)²
x² - 14x + 49 + y² - 2y + 1 = x² - 6x + 9 + y² - 10y + 25
x - y = 2
இதுவே தேவையான உறவு ஆகும்.

(x₁, y₁) = (3, -4) மற்றும் m = \(\frac {-5}{7}\) எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.
புள்ளி - சாய்வு வடிவில் நேர்க்கோட்டின் சமன்பாடு 
y − y₁ = m(x −x₁)
y + 4 = \(-\frac {5}{7}\) (x - 3)
இதிலிருந்து 5x + 7y + 13 = 0

(i) X அச்சுக்கு இணையான நேர்கோட்டின் சமன்பாடு y = b.
இது (5, 7) வழி செல்வதால், b = 7.
எனவே தேவையான நேர்கோட்டின் சமன்பாடு y = 7.
(ii) Y அச்சுக்கு இணையான நேர்கோட்டின் சமன்பாடு x = c
இது (5, 7) வழி செல்வதால், c = 5
எனவே தேவையான நேர்கோட்டின் சமன்பாடு x = 5.