\(\mathrm{f}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \mathrm{f}(x)=3-4 x^2\)
x = 0 எனும்போது, \(\mathrm{f}(0)=3-4(0)=3 \in \mathbb{R}\)
x = 1 எனும்போது, \(\mathrm{f}(1)=3-4(1)^2=-1 \in \mathbb{R}\)
x = 2 எனும்போது, \(\mathrm{f}(2)=3-4(2)^2=-13 \in \mathbb{R}\)
x = -1 எனும்போது, \(\mathrm{f}(-1)=3-4(-1)^2=-1 \in \mathbb{R}\)
x = -2 எனும்போது, \(\mathrm{f}(-2)=3-4(-2)^2=-13 \in \mathbb{R}\)
மதிப்பகத்தில் உள்ள உறுப்புகள் ஒரே மாதிரியான நிழல் உருக்களை துணை மதிப்பகத்தில் கொண்டுள்ளன.
எனவே, இது ஒன்றுக்கு ஒன்றான சார்பல்ல. மாறாக இது பலவற்றிற்கு ஒன்றான சார்பாகும். எனவே, இது இருபுறச் சார்பாகாது.

PQR ஆனது கொடுக்கப்பட்ட முக்கோணம் ஆகும். PQR என்ற முக்கோணத்தின் பக்கங்களுக்கு \(\frac { 3 }{ 5 } \)அளவுடைய ஒத்த பக்கங்களின் மற்றொரு முக்கோணத்தை அமைப்போம்.
வரைதலின் படிகள் 
1. ஏதேனும் ஓர் அளவைக் கொண்டு \(\Delta PQR\) வரைக.
2. QR என்ற கோட்டுத்துண்டில் குறுங்கோணத்தை ஏற்படுத்துமாறு, QX என்ற கதிரை P என்ற முனைப்புள்ளிக்கு எதிர் திசையில் வரைக.
3. QX யின் மீது Q₁, Q₂, Q₃, Q₄ மற்றும் Q₅ என்ற 5 புள்ளிகளை \(\frac { 3 }{ 5 } \) யில் 3 மற்றும் 5 ஆகியவற்றில் பெரியது 5 என்பதால்)
QQ₁ = Q₁Q₂ = Q₂Q₃ = Q₃Q₄ = Q₄Q₅ என்றவாறு குறிக்கவும்.
4. Q₅R-ஐ இணைத்து Q₃-யிலிருந்து (3-வது புள்ளி, அதாவது \(\frac { 3 }{ 5 } \) -யில்3 மற்றும் 5 ஆகியவற்றில் சிறியது) Q₅R–க்கு இணையாக ஒரு கோடு வரைக. இது QR –ஐ R'–யில் சந்திக்கிறது.
5. R'-லிருந்து RP–க்கு இணையாக வரையப்படும் கோடு QP–ஐ P'–யில் சந்திக்கிறது.\(\Delta P'QR'\) –யின் பக்கங்கள் \(\Delta PQR\)  –ன் ஒத்த பக்கங்களின் அளவில் 5–ல் 3 பங்கு ஆகும்.
6. \(\Delta P'QR'\) ஆனது தேவையான வடிவொத்த முக்கோணம் ஆகும்.

A × A வில் 9 உறுப்புகள் உள்ளதால் A யில் 3 உறுப்புகள் இருக்கும். (\(\because\) 3 x 3 = 9) A x A என்பது (-1, 0) மற்றும் (0, 1) என்பனவற்றைக் கொண்டுள்ளது.
\(\therefore \ -1,0 \in A\)     .....(1)
இதே போல (0, 1), A x A -ல் உள்ளது.
எனவே, \(0,1 \in A\)    .......(2)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து \(-1,0,1 \in A\)
\(\therefore \ \mathrm{A}=\{-1,0,1\} \)
\(\therefore \mathrm{A} \times \mathrm{A}=\{-1,0,1\} \times\{-1,0,1\} \)
\(=\{(-1,-1),(-1,0),(-1,1), \)
\((0,-1),(0,0),(0,1),(1,-1),(1,0),(1,1)\} \)
\(\therefore \mathrm{A} \times \mathrm{A}\) ன் மீதமுள்ள உறுப்புகள்
\(\{(-1,-1),(-1,1),(0,-1),(0,0),(1,-1),(1,0),(1,1)\} \)

(i) கொடுக்கப்பட்ட கண கட்டமைப்பு வடிவம் \(\{(x, y) / x=2 y ; x \in\{2,3,4,5\}, y \in\{1,2,3,4\}\}x=2 y\)
y = 1 எனும்போது, x = 2(1) = 2 \(\in\) x
y = 2 எனும்போது, x = 2(2) = 4 \(\in\) x
y = 3 எனும்போது, x = 2(3) = 6 \(\notin\) x
y = 4 எனும்போது, \(\mathrm{x}=2(4)=8 \notin \mathrm{x}\)
\(\therefore \) உறவு R = {(2, 1), (4, 2)}
(1) அம்புக்குறி படம்

(2) வரைபடம்

(3) பட்டியல் வடிவம்
R = {2, 1), (4, 2)}
(ii) கொடுக்கப்பட்ட கணம் {(x, y) / y = x + 3, x, y என்பன 10 க்கும் குறைவான இயல் எண்கள்}
x = 1 எனும்போது, y = 1 + 3 = 4
x = 2 எனும்போது, y = 2 + 3 = 5
x = 3 எனும்போது, y = 3 + 3 = 6
x = 4 எனும்போது, y = 4 + 3 = 7
x = 5 எனும்போது, y = 5 + 3 = 8
x = 6 எனும்போது, y = 6 + 3 = 9
x = 7 எனும்போது, y = 7 + 3 = 10 என்பது சாத்தியமல்ல.
(\(\because\) x, y ஆனது 10 -க்கு குறைவாக உள்ளது)
\(\therefore\) உறவு \(\mathrm{R}=\{(1,4),(2,5),(3,6),(4,7),(5,8),(6,9)\}\),
(1) அம்புக்குறி படம் 

(2) வரைபடம் 

(3) பட்டியல் வடிவம்
R = {(1,4), (2,5), (3,6), (4,7), (5,8), (6,9)}

\(f(x)=2 x+5, x \neq 0 \)
\(\frac{f(x+2)-f(2)}{x}=\frac{[2(x+2)+5-[2(2)+5]}{x} \)
\(=\frac{2 x+4+5-(4+5)}{x} \)
\(=\frac{2 x+9-9}{x} \)
\(=\frac{2 x}{x}=2\)

(i) (அ) f(0) = 9
(ஆ) f (7) = 6
(இ) f (2) = 6
(ஈ) f (10) = 0
(ii) வரைபடத்திலிருந்து x = 9.5 எனும்போது f(9.5) = 1 என்பது தெரிகிறது.
(iii) (1) மதிப்பகம் \(=\{x / 0 \leq x \leq 10, x \in R\}\)
(2) வீச்சகம் \(=\{y / 0 \leq y \leq 9, y \in \mathrm{R}\}\)
(iv) fல் '6' ன் நிழல் உரு '5'.

மொத்த சீட்டுகள் =52
ஸ்பேடு கார்டு எடுக்கும் நிகழ்வு = A என்க 
ஹார்ட் கார்டு எடுக்கும் நிகழ்வு = B  என்க 
n(A)=13,n(B)=13
\(p(A)=\cfrac { 13 }{ 52 } =\cfrac { 1 }{ 4 } ,p(B)=\cfrac { 13 }{ 52 } =\cfrac { 1 }{ 4 } \)
\( A\cap B\) ஆனது ஒரே சீட்டு ஸ்பேடு மற்றும் ஹார்ட் ஆக இருக்க வாய்ப்பில்லை என்பதை குறிக்கிறது. 
\(\therefore A\cap B,n\left( A\cap B \right) =0\)
A,B என்பன ஒன்றையொன்று விலக்கும் நிகழ்ச்சிகள் 
\(P\left( A\cup B \right) =P(A)+P(B)=\cfrac { 1 }{ 4 } +\cfrac { 1 }{ 4 } =\cfrac { 1 }{ 2 } \)
இதற்கு வாய்ப்பில்லை 

இங்கு 
S₁₄=1050
n=14
a=10
s_n=\(\frac{n}{2}\)(2a+(n-1)d)
1050=\(\frac{14}{2}\)(20+13d)
=140+91d
910=91d
d=10
a₂₀=10+(20-1)x10
=20
∴ 20 வது உறுப்பு =200.

f(2) = 2x - 1
= 2(2) -1 = 3
f(4) = 3x² - 10
= 3 (4²) - 10 = 38
∴ f(2) - f(4) = 3 - 38 = -35

y = (x - 1)(x + 3) = x² + 2x - 3
அட்டவணை மதிப்புகள்

வரைபடத்தில் குறிக்கப்பட வேண்டிய புள்ளிகள் (-4,5),(-3,0)(-2,-3),(-1,-4),(0,-3),(1,0)  (2,5) மற்றும் (3, 12)

\(\mathrm{y}=x^2+3 x-3\) மற்றும் \(x^2-x-6=0\) ஆகியவற்றைக் கழிக்கக் கிடைப்பது
\(\quad \quad y=x^2+2 x-3  \)
\((-) \quad 0=x^2-x-6 \)
        一一一一一一一
           y = 3x + 3
        一一一一一一一
அட்டவணை மதிப்புகள்

\(y=x^2+2 x-3\) என்ற வளைவரை y = 3x + 3 என்ற கோட்டை (-2,-3) மற்றும் (3,12) ஆகிய புள்ளிகளில் வெட்டுகிறது.
எனவே \(x^2-x-6=0\) என்ற சமன்பாட்டின் தீா்வு x = -2,3
∴ மூலங்கள் மெய் மற்றும் சமமல்ல.