அந்த எண்ணின் பத்தாம் இட =x என்க.
இலக்கங்களின் பெருக்கற்பலன் =12
ஒன்றுக்கான இலக்கம் = \(\cfrac { 12 }{ x } \)
அந்த எண் = \(10x+\cfrac { 12 }{ x } \)
இந்த எண்ணுடன் 36ஐக் கூட்டினால் இலக்கங்கள் இடமாறுகின்றன.
\(\therefore 10x+\cfrac { 12 }{ x } +36=10\times \cfrac { 12 }{ x } +x\)
\(\Rightarrow 10x+\cfrac { 12 }{ x } +36=\cfrac { 120 }{ x } +x\)
\(\Rightarrow 9x-\cfrac { 108 }{ x } +36=0\)
\(\Rightarrow 9{ x }^{ 2 }-108+36x=0\)
\(\Rightarrow { x }^{ 2 }+4x-12=0\)
\(\Rightarrow (x+6)(x-2)=0\)
(\(\because\)(x+6)\(\neq 0\) ஏனெனில் x>0)
x=-6,2
பத்தாம் இட இலக்கம் குறை எண்ணாக இருக்க முடியாது.ஆகையால் x =2
அந்த எண் \(10\times 2+\cfrac { 12 }{ 2 } =26\)

சராசரி \(\bar { x } =\cfrac { 16+13+17+21+18 }{ 5 } =\cfrac { 85 }{ 5 } =17\)

\(\sigma =\sqrt { \cfrac { { \Sigma d }^{ 2 } }{ n } } =\sqrt { \cfrac { 34 }{ 5 } } =\sqrt { 6.8 } \)
\(\sigma =2.61\)
மாறுபாட்டுக் கெழு 
\(CV=\cfrac { \sigma }{ \bar { x } } \times 100=\cfrac { 2.61 }{ 17 } \times 100\)
= 15.35%

உருளையின் கன அளவு \(={ \pi r }^{ 2 }h\)
கூம்பின் கன அளவு \(=\frac { 1 }{ 3 } { \pi r }^{ 2 }h\)
கோலத்தின் கன அளவு \(=\frac { 4 }{ 3 } { \pi r }^{ 3 }\)
அவற்றின் கன அளவுகளின் விகிதம் V₁:V₂:V₃

\(h:\frac { h }{ 3 } :\frac { 4r }{ 3 } \)
3h:h:4r
3h:h:2(2r)    (இங்கு 2r=h)
∴ V₁:V₂:V₃=3:1:2

\(f(x)=\begin{cases} { x }^{ 2 }+2x+1\quad : -7\le x<-5 \\ x+5\quad \quad \quad\quad: -5\le x\le 2 \\ x-1\quad \quad \quad \quad2<x\le 6 \end{cases}\)
f(-4) = x +5 = -4 + 5 = 1
2f(-4) = 2 x 1 = 2
f(2) = x + 5 = 2 + 5 = 7
3f(2) = 3(7) = 21
∴ 2f(-4) + 3f(2) = 2 + 21 = 23

A (1, -1), B(-4, 6), மற்றும் C(-3, -5) சூத்திரத்தை பயன்படுத்தி 
Δ = \(\frac { 1 }{ 2 } \) {x₁(y₂ - y₃) + x₂(y₃ - y₁) + x₃(y₁ - y₂)} சதுர அலகுகள்
= \(\frac { 1 }{ 2 } \) [1 (6 + 5 ) + (-4) (-5 + 1) + (-3) (- 1 - 6)]
= \(\frac { 1 }{ 2 } \) [11 + 16 + 21] = 24 சதுர அலகுகள்
∴ முக்கோணத்தின் பரப்பு = 24 சதுர அலகுகள்

நகரம் A இன் விலைகள் 

சராசரி \(\bar{x} =\frac{\sum x_i}{n} \)
\(\bar{x} =\frac{100}{5}=20 \)
திட்டவிலக்கம் \( \sigma_A =\sqrt{\frac{\sum x_i^2}{n}-\left(\frac{\sum x_i}{n}\right)^2}\)
\(=\sqrt{\frac{2030}{5}-\left(\frac{100}{5}\right)^2} \)
\(=\sqrt{406-400}=\sqrt{6}=2.45 \)
நகரம் A இன் விலைகளின் மாறுபாட்டுக்கெழு
\(C.V =\frac{\sigma}{x} \times 100 \% \)
\(=\frac{2.45}{20} \times 100 \%=\frac{245}{20} \% \)
\(=\frac{122.5}{10} \%=12.25 \%\)
\(\text { C.V }{ }_1=12.25 \%\)
நகரம் B இன் விலைகள்
n = 5

\(\bar{x}=\frac{75}{5}=15 \)
\(\sigma_B =\sqrt{\frac{1193}{5}-\left(\frac{75}{5}\right)^2} \)
\(=\sqrt{238.6-15^2} . \)
\(=\sqrt{238.6-225}=\sqrt{13.6}\)
= 3.69
நகரம் B இன் விலைகளின் மாறுபாட்டுக்கெழு
\(\text { C.V }_2 =\frac{3.69}{15} \times 100 \% \)
\(=\frac{369}{15} \%=24.6 \%\)
நகரம் A இன் மாறுபாட்டுக்கெழு < நகரம் B இன் மாறுபாட்டுக்கெழு.
\(\therefore\)  நகரம் A இன் விலைகள் நிலையானது. 

எனவே 13824 =  2⁹ x 3³ , இது  2^a x 3^{b னும் வடிவில் உள்ளது}  
∴ a = 9, மற்றும் b = 3.

3x + y - 3z = 1  ..(1)
-2x - y + 2z = 1 ...(2)
-x - y + z = 2 ...(3)

இங்கு நாம் 0 = -1 என்ற தவறான முடிவைப் பெறுகிறோம். எனவே இந்தத் தொகுப்பானது ஒருங்கமைவற்றது. மேலும் கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டு தொகுப்பிற்குத் தீர்வு இல்லை.

எத்தனை குறைவான உறுப்புகளைக் கூட்டினால் கூடுதல் 5000-ஐத் தாண்டும் என நாம் காண வேண்டும்.
அதாவது எந்தக் குறைவான n மதிப்பிற்கு S_n > 5000 வரும் எனக் காண வேண்டும்.
S_n = \(\frac { a({ r }^{ n }-1) }{ r-1 } =\frac { 1({ 6 }^{ n }-1) }{ 6-1 } =\frac { { 6 }^{ n }-1 }{ 5 } \)
S_n  > 5000 ⇒ \(\frac { { 6 }^{ n }-1 }{ 5 } \) > 5000
6ⁿ -1 > 25000 ⇒ 6ⁿ > 25001
6⁵ = 7776 மற்றும் 6⁶ = 46656 என்பதால்
1 + 6 + 6²+...+6ⁿ  > 5000 என்றவாறு அமையும் மிகச்சிறிய n -ன் மதிப்பு 6 ஆகும்.

தேவையான எண் = (35, 56, 91) இன் மீ.பொ.ம + 7
35, 56, 91 இன் மீ.பொ.ம = 7 x 5 x 8 x 13  =  3640
தேவையான எண் = 3640 + 7  =  3647

f(x) = 3x - 5, f = {(x, 3x - 5) |x ∈ R} என எழுதலாம்.
(a, 4) எனில், a-யின் நிழல் உரு 4. அதாவது, f(a) = 4
3a - 5 = 4 லிருந்து a = 3
(1, b) எனில், 1 -யின் நிழல் உரு b. அதாவது, f(1) = b 
3(1) – 5 = b எனவே, b = –2

A = {-2,-1,0,1,2} மற்றும் f(x) = x² + x + 1 கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.
f(-2) = (-2)² + (-2) + 1 = 3; f(-1) = (-1)² + (-1) + 1 = 1
f(0) = 0² + 0 + 1 = 1; f(1) = 1² + 1 + 1 = 3
f(2) = 2² + 2 + 1 = 7
எனவே, f –ன் வீச்சகம் B = {1,3,7}

படம் -(i) மற்றும் படம்-(iii) வரைபடங்களில், ஒரு குத்துக்கோடு, வரைபடத்தை P மற்றும் Q ஆகிய இரு புள்ளிகளில் வெட்டுவதால் இவை ஒரு சார்பினைக் குறிக்காது.
படம் (ii) மற்றும் படம் -(iv) வரைபடங்களில் அதிகபட்சமாக ஒரேயொரு புள்ளியில் வெட்டுவதால், இவை சார்பினைக் குறிக்கும்.

(i) \(0.4+0.44+0.444+\ldots \mathrm{n}\) உறுப்புகள் வரை
\(\mathrm{S}_{\mathrm{n}}=0.4+0.44+0.444+\ldots \mathrm{n}\) உறுப்புகள் வரை.
\(=4[0.1+0.11+0.111+\ldots \mathrm{n}\) உறுப்புகள் வரை]
9 ஆல் பகுதி மற்றும் தொகுதியை பெருக்க
=\(\frac{4}{9}\)[0.9 + 0.99 + 0.999 + ... n உறுப்புகள் வரை]

\(=\frac{4}{9}\left[n-\left[\frac{\frac{1}{10}\left(1-\left(\frac{1}{10}\right)^n\right)}{1-\frac{1}{10}}\right]\right] \)
\(=\frac{4}{9}\left[n-\frac{\frac{1}{10}\left(1-\frac{1}{10^n}\right)}{\frac{9}{10}}\right]  \)
\(=\frac{4}{9}\left[n-\frac{1}{9}\left(1-\frac{1}{10^n}\right)\right]=\left[\frac{4 n}{9}-\frac{4}{81}\left(1-\frac{1}{10^n}\right)\right]  \)
0.4 + 0.44 + 0.444 \(=\frac{4}{9} n-\frac{4\left(1-\left(\frac{1}{10}\right)^n\right)}{81}\)
(ii) 3 + 3 + 333 + .... n உறுப்புகள் வரை
S_n = 3 + 33 + 333 + ...n உறுப்புகள் வரை
= 3 [1 + 11 + 111 +  n  உறுப்புகள் வரை]
\(=\frac{3}{9}[9+99+999+\ldots \mathrm{n} \) உறுப்புகள் வரை]
9 ஆல் பகுதி மற்றும் தொகுதியை பெருக்க
\(=\frac{1}{3}[(10-1)+(100-1)+(1000-1)+\ldots n\) உறுப்புகள் வரை]
\(=\frac{1}{3}\left[(10-1)+\left(10^2-1\right)+\left(10^3-1\right)+\ldots\right. \)n உறுப்புகள் வரை]
\(=\frac{1}{3}\left\{\left[10+10^2+10^3+\ldots \mathrm{n}\right.\right. \) உறுப்புகள் வரை] - n }
\(=\frac{1}{3}\left\{\left[\frac{10\left(10^n-1\right)}{10-1}\right]-n\right\} \)
\(=\frac{1}{3}\left[\frac{10\left(10^n-1\right)}{9}-n\right]  \)
\(=\frac{10}{27}\left(10^n-1\right)-\frac{n}{3}\)
\(3+33+333+\ldots n\) உறுப்புகள் வரை
\(=\frac{10}{27}\left(10^n-1\right)-\frac{n}{3}\)

பெட்டியில் உள்ள சீட்டுகள் \(=\{3,5,7,9, \ldots . ., 37\}\)
சீட்டுகளின் எண்ணிக்கை \(=\frac{l-a}{d}+1\)
\(=\frac{37-3}{2}+1=\frac{34}{2}+1=17+1\)
\(\therefore\) மொத்த சீட்டுகள் = 18
\(\mathrm{n}(\mathrm{S})=18\)
எடுக்கப்படும் சீட்டு 7 -இன் மடங்காக இருக்கும் நிகழ்வு A என்க.
\(\mathrm{A} =\{7,21,35\} \)
\(\mathrm{n}(\mathrm{A}) =3 \)
\(\mathrm{P}(\mathrm{A}) =\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{3}{18}\)
எடுக்கப்படும் சீட்டு பகா எண்ணாக இருக்கும் நிகழ்வு B என்க.
\(\mathrm{B}=\{3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37\} \)
\(\mathrm{n}(\mathrm{B}) =11 \)
\(\mathrm{P}(\mathrm{B}) =\frac{n(B)}{n(S)}=\frac{11}{18} \)
\(A \cap B =\{7\} \)
\(\mathrm{n}(A \cap B) =1 \)
\(\mathrm{P}(A \cap B) =\frac{\mathrm{n}(A \cap B)}{n(S)} \)
\(\mathrm{P}(A \cap B) =\frac{1}{18} \)
\(\mathrm{P}(\mathrm{A} \cup \mathrm{B}) =\mathrm{P}(\mathrm{A})+\mathrm{P}(\mathrm{B})-\mathrm{P}(\mathrm{A} \cap B) \)
\(\mathrm{P}(\mathrm{A} \cup \mathrm{B}) =\frac{3}{18}+\frac{11}{18}-\frac{1}{18} \)
\(=\frac{3+11-1}{18}=\frac{13}{18}\)
எடுக்கப்படும் சீட்டு 7 -இன் மடங்காக அல்லது பகா எண்ணாக இருக்க நிகழ்தகவு \(\frac{13}{18}\)

இயந்திரத்தின் தற்போதைய மதிப்பு ரூ.40,000. அதன் மதிப்பு ஒவ்வொரு வருட முடிவில் 10% குறையும் என்பதால், முதல் வருட முடிவில் அதன் மதிப்பு ஆரம்ப மதிப்பில் 90% ஆக இருக்கும்.
அதாவது முதல் வருட முடிவில் இயந்திரத்தின் மதிப்பு 40,000 x \(\frac { 90 }{ 100 } \) ஆகும்.
இரண்டு வருடம் கழித்து இயந்திரத்தின் மதிப்பானது முதல் வருட மதிப்பில் 90% ஆக இருக்கும்.
இரண்டாம் வருட முடிவில் இயந்திரத்தின் மதிப்பானது 40,000 x \(\left( \frac { 90 }{ 100 } \right) ^{ 2 }\) ஆகும்.
இந்த வகையில் தொடர்ந்தால், இயந்திரத்தின் மதிப்பு பின்வருமாறு குறைகிறது.
\(40000,40000\times \frac { 90 }{ 100 } ,40000\times \left( \frac { 90 }{ 100 } \right) ^{ 2 }...\)
இந்தத் தொடர்வரிசை முதல் உறுப்பு 40,000 மற்றும் பொது விகிதம் \(\frac { 90 }{ 100 } \) உடைய ஒரு பெருக்குத் தொடர்வரிசை ஆகும்.
6வது வருடத்தில் இயந்திரத்தின் மதிப்பைக் காண (5வது வருட முடிவில்), பெருக்குத் தொடர்வரிசையின் 6-வது உறுப்பைக் கண்டறிய வேண்டும்.
ஆகவே, n = 6, a = 40,000, r = \(\frac { 90 }{ 100 } \)
t_n = ar^n-1, என்பதைப் பயன்படுத்த t₆ = \(40,000\times \left( \frac { 90 }{ 100 } \right) ^{ 6-1 }=40000\times \left( \frac { 90 }{ 100 } \right) ^{ 5 }\)
t₆ = \(40,000 \times \frac { 9 }{ 10 } \times \frac { 9 }{ 10 } \times \frac { 9 }{ 10 } \times \frac { 9 }{ 10 } \times \frac { 9 }{ 10 } \) = 23619.6
எனவே, 6-வது வருடத்தில் இயந்திரத்தின் மதிப்பு = ரூ.23619.60