\(LHS=\cfrac { sin\theta -cos\theta +1 }{ sin\theta +cos\theta -1 } =\cfrac { tan\theta -1+sec\theta }{ tan\theta +1-sec\theta } \)
= \(\cfrac { \left( tan\theta +sec\theta \right) -1 }{ \left( tan\theta +cos\theta \right) +1 } \)
= \(\cfrac { \{ (tan\theta +sec\theta )-1\} \left( tan\theta -sec\theta \right) }{ \left\{ \left( tan\theta -sec\theta \right) +1 \right\} \left( tan\theta -sec\theta \right) } \)
= \(\cfrac { \left( { tan }^{ 2 }\theta -{ sec }^{ 2 }\theta \right) -\left( tan\theta -sec\theta \right) }{ \left( tan\theta -sec\theta \right) \left( tan\theta -sec\theta \right) } \)
= \(\cfrac { -1-tan\theta +sec\theta }{ \left( tan\theta -sec\theta \right) \left( tan\theta -sec\theta \right) } \)
= \(\cfrac { -1 }{ tan\theta -sec\theta } =\cfrac { 1 }{ sec\theta -tan\theta } \)

\(\sigma =\sqrt { \cfrac { { \Sigma x }^{ 2 } }{ n } -\left( \cfrac { \Sigma x }{ n } \right) ^{ 2 } } =\sqrt { \cfrac { 20300 }{ 7 } \left( \cfrac { 350 }{ 7 } \right) ^{ 2 } } \)
= \(=\sqrt { 400 } =20\)

வாளியானது கூம்பின் இடைக்கண்டம். இடைக்கண்டத்தின் r1=28 செ.மீ, r2=7செ.மீ, h=45 செ.மீ
வாளியின் கொள்ளளவு=இடைக்கண்டத்தின் கன அளவு 
\(\Rightarrow \frac { 1 }{ 3 } \times \pi h[{ r }_{ 1 }^{ 2 }+{ r }_{ 2 }^{ 2 }+{ r }_{ 1 }{ r }_{ 2 }]\)
\(\Rightarrow \frac { 1 }{ 3 } \times \frac { 22 }{ 7 } \times 45\left[ { 28 }^{ 2 }+{ 7 }^{ 2 }+28\times 7) \right] \)
\(\Rightarrow 22\times 15\times \times (28\times 4+7+28)\)
⇒330x147 செ.மீ³ ⇒ 48510 செ.மீ³

1,-1,-3,-5
t₂-t₁=-1-1=-2
t₃-t₂=-3-(-1)=-2
t₄-t₃=-5-(-3)=-2
இது ஒரு A.P பொது வித்தியாசம் -2.
அடுத்த இரண்டு உறுப்புகள் (-5+(-2))=-7,-7+(-2)=-9, i.e \(\underline { -7 } ,\underline {-9} .\)

R-ன் மதிப்பகம் = {1, 2, 3, 4}
R-ன் துணை மதிப்பகம் = B = {-1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
R-ன் வீச்சகம் = {3, 6, 10, 9} 

(i) கணக்கின்படி
P(A) = 0.42
\(\therefore\)  P(A இல்லை) = 1 - P(A)
\(\mathrm{P}(\bar{A})\) = 1 - 0.42 = 0.58
(ii) கணக்கின்படி
\(\mathrm{P}(\mathrm{B}) =0.48 \)
P(B இல்லை) = 1 - P(B)
\(\mathrm{P}(\bar{B}) =1-0.48=0.52\)
(iii) P(A அல்லது B) \(= P(A \cup B) \)
\(=\mathrm{P}(\mathrm{A})+\mathrm{P}(\mathrm{B})-\mathrm{P}(A \cap B) \)
= 0.42 + 0.48 - 0.16
= 0.90 - 0.16
P(A அல்லது B) = 0.74

P(A) = 0.37, P(B) = 0.42, P(A\(\cap\)B) = 0.09
P(A\(\cup\)B) = P(A) + P(B) - P(A\(\cap\)B)
P(A\(\cup\)B) = 0.37 + 0.42 - 0.09 = 0.7

கூறுவெளி
S = {(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)
(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)
(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)
(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)
(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)
(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)}
\(\therefore\)  n(S) = 36

-11, -15, -19,.... என்பது தரப்பட்ட கூட்டுத்தொடர் வரிசை
இங்கு முதல் உறுப்பு a = -11
பொது வித்தியாசம் \(\mathrm{d}=\mathrm{t}_2-\mathrm{t}_1=-15-(-11)\)
= -15 + 11 = -4
∴ n-ஆவது உறுப்பு \(\mathrm{t}_{\mathrm{n}} =\mathrm{a}+(\mathrm{n}-1) \mathrm{d} \)
∴ 19- ஆவது உறுப்பு \(\left(\mathrm{t}_{19}\right) =-11+(19-1)(-4) \)
= -11 +18(-4) 
= -11 + (-72) = -83
∴ -11,-15,-19,......-இன் 19 ஆவது உறுப்பு - 83.

தரவின் திட்ட விலக்கம் = 3.6.
கொடுக்கப்பட்ட தரவுப்புள்ளிகள் ஒவ்வொன்றையும் 3 ஆல் வகுக்கும் போது கிடைக்கும் புதிய தரவின் திட்டவிலக்கம் பழைய திட்ட விலக்கத்தை 3 ஆல் வகுப்பதற்கு சமம்.
எனவே புதிய திட்டவிலக்கம் \( =\cfrac { 3.6 }{ 3 } =1.2\)
புதிய விலக்க வர்க்கச் சராசரி \({ \sigma }^{ 2 }=(1.2)^{ 2 }\)
\(\therefore \) புதிய விலக்க வர்க்கச் சராசரி = 1.44 மற்றும் புதிய திட்டவிலக்கம் = 1.2

ஆம். கொடுக்கப்பட்ட எண் ஒரு பகு எண்ணாகும், ஏனெனில்,
7 x 5 x 3 x 2 + 3 = 3 x (7 x 5 x 2 + 1) = 3 x 71
கொடுக்கப்பட்ட எண்ணானது இரு பகா எண்களின் பெருக்கற்பலனாகக் காரணிப்படுத்தப்படுவதால், அது ஒரு பகு எண்ணாகும்.

x என்பது ஓர் ஒற்றை முழுக்கள் என்க. எந்தவொரு ஒற்றை முழுக்களுக்கும் ஏதேனும் ஓர் இரட்டை முழுக்களை விட ஒன்று அதிகமாக இருக்கும் என்பதால், x = 2k + 1, இங்கு k என்பது ஏதேனும் ஒரு முழுக்கள்.
x² = (2k + 1)²
= 4k² + 4k + 1
= 4k(k + 1) + 1
= 4q + 1. இங்கு, q = k(k + 1) என்பது ஒரு முழுக்கள்.

A x B = {(3,2), (3,4), (5,2), (5,4)}
A = {A x B-யின் முதல் ஆயத்தொலைவு உறுப்புகளின் கணம்}. எனவே A = {3,5}
B = {A x B-யின் இரண்டாம் ஆயத்தொலைவு உறுப்புகளின் கணம்}. எனவே B = {2,4} எனவே A = {3,5} மற்றும் B = {2,4}.

5x ≡ 4(மட்டு 6) 
\(5 \mathrm{x}-4 =6 \mathrm{k}, \mathrm{k} \) என்பது ஒரு முழு.
\(\mathrm{x} =\frac{6 k+4}{5} \)
\(\mathrm{k}=1,6,11,16 \ldots\)  என பிரதியிட 
6k + 4 ஆனது  5 ஆல் வகுபடும் 
\(\therefore \quad \mathrm{x}=\frac{6(1)+4}{5} =\frac{10}{5}=2  \)
\(\mathrm{x}=\frac{6(6)+4}{5} =\frac{40}{5}=8  \)
\(\mathrm{x}=\frac{6(11)+4}{5} =\frac{70}{5}=14  \)
\(\mathrm{x}=\frac{6(16)+4}{5} =\frac{100}{5}=20\)
எனவே 2,8,14,20,.... என்பது தீர்வு ஆகும்.

(i)
 
மேற்கண்ட தொடர்வரிசையில் தொகுதி ஒரே எண்ணாக உள்ளது மற்றும் அடுத்தடுத்த உறுப்புகளின் பகுதியானது 4 அதிகரிக்கிறது.
எனவே அடுத்த மூன்று உறுப்புகளானது a₅ = \(\frac { 1 }{ 14+4 } =\frac { 1 }{ 18 } \)
a₆ = \(\frac { 1 }{ 18+4 } =\frac { 1 }{ 22 } \)
a₇ = \(\frac { 1 }{ 22+4 } =\frac { 1 }{ 26 } \)
(ii) 
இங்கு ஒவ்வோர் உறுப்பும் முந்தைய உறுப்பைவிட 3 குறைவாக உள்ளது. எனவே அடுத்த மூன்று உறுப்புகள் -7, -10, -13.
(iii) 
இங்கு ஒவ்வோர் உறுப்பும் முந்தைய உறுப்பை 10 ஆல் வகுக்கக் கிடைக்கிறது. எனவே அடுத்த மூன்று உறுப்புகள்
a₄ = \(\frac { 0.01 }{ 10 } \) = 0.001
a₅ = \(\frac { 0.001 }{ 10 } \) = 0.0001
a₆ = \(\frac { 0.0001 }{ 10 } \) = 0.00001