ஊகச் சராசரி A =30
C = 5

\(\sigma =\sqrt { \left( \cfrac { { \Sigma d }^{ '2 } }{ n } \right) -\left( \cfrac { { \Sigma d }^{ ' } }{ n } \right) ^{ 2 }\times 2 } \)
= \(\sqrt { \cfrac { 10 }{ 5 } -0\times 5 } \)
= \(\sqrt { 2 } \times 5=5\sqrt { 2 } \)
மதிப்பெண்களை 100க்கு மாற்றம் செய்தால் ஒவ்வொரு மதிப்பெண்களையும் 2 ஆல் பெருக்க வேண்டும்.\(\therefore \) புதிய மதிப்புகள் 40,50,60,70,80
A =60,C=10 என்க 

\(\sigma =\sqrt { \left( \cfrac { { \Sigma d }^{ '2 } }{ n } \right) -\left( \cfrac { { \Sigma d }^{ ' } }{ n } \right) ^{ 2 } } \times c\)
= \(\sqrt { \cfrac { 10 }{ 5 } -0 } \times 10\)
= \(\sqrt { 2 } \times 10=10\sqrt { 2 } \)
\(\therefore \) புதிய திட்டவிலக்கம், முதல் திட்டவிலகத்தை 2 ஆல் பெருக்கக் கிடைக்கிறது.

வாளியானது கூம்பின் இடைக்கண்டம். இடைக்கண்டத்தின் r1=28 செ.மீ, r2=7செ.மீ, h=45 செ.மீ
வாளியின் கொள்ளளவு=இடைக்கண்டத்தின் கன அளவு 
\(\Rightarrow \frac { 1 }{ 3 } \times \pi h[{ r }_{ 1 }^{ 2 }+{ r }_{ 2 }^{ 2 }+{ r }_{ 1 }{ r }_{ 2 }]\)
\(\Rightarrow \frac { 1 }{ 3 } \times \frac { 22 }{ 7 } \times 45\left[ { 28 }^{ 2 }+{ 7 }^{ 2 }+28\times 7) \right] \)
\(\Rightarrow 22\times 15\times \times (28\times 4+7+28)\)
⇒330x147 செ.மீ³ ⇒ 48510 செ.மீ³

4,10,16,22,..
இங்கு a₂-a₂=10-4=6
a₃-a₂=16-10=6
a₄-a₃=22-16=6
∴ அது ஒரு A.P. பொது வித்தியாசம் 6.
∴ அடுத்து இரண்டு உறுப்புகள், \(\underline { 28 } ,\underline { 34 } .\)

முதல் உறுப்பு a என்க, (a ஒரு மிகை ஒற்றை எண்)
எனினும் 0≤r<4, அதனால் கிடைக்கும் மீதி 0,1,2, 3 ஆகும்.
∴ a ஆனது 4q, (அல்லது)4q+1, (அல்லது) 4q+2 (அல்லது)4q+3, இங்கு q ஈவு ஆகும்.
a ஒரு ஒற்றை என்பதால் 4q மற்றும் 4q+2 ஆக இருக்க முடியாது(∵அவை 2ஆல் வகுப்படும்).
எனவே எந்த ஒரு மிகை ஒற்றை குழுவும் 4q+1 அல்லது 4q+3 என்ற வடிவில் அமையும்.

சார்பு அல்ல. குத்துக்கோடு வளைவரையை இரு புள்ளிகளில் சந்திக்கிறது.

B, D ஐ இணைப்பதால் ΔABD, ΔBCD கிடைக்கின்றன.
இப்பொழுது ΔABD - ன் பரப்பு
= \(\frac { 1 }{ 2 } \) [-5(- 5 - 5) + (-4) (5 - 7) + 4 (7 + 5 )]
= \(\frac { 1 }{ 2 } \) (50 + 8 + 48)
= \(\frac { 106 }{ 2 } \) = 53 சதுர அலகுகள்
மேலும் ΔBCD யின் பரப்பு
= \(\frac { 1 }{ 2 } \) [-4 (- 6 - 5) - 1 (5 + 5) + 4 (-5 + 6)]
= \(\frac { 1 }{ 2 } \) (44 - 10 + 4)
= 19 சதுர அலகுகள்
ஆகையால் நாற்கரம் ABCD-ன் பரப்பு
= 53 + 19 = 72 சதுர அலகுகள்

OA.OB = OC.OD (கொடுக்கப்பட்டுள்ளது)

ஆகையால், \(\frac { OA }{ OC } =\frac { OD }{ OB } \) ...(1)
மேலும் ∠AOD = ∠COB (குத்தெதிர் கோணங்கள்) ....(2)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து
∴ ΔAOD~ΔCOB (SAS விதிமுறைப்படி)
ஆகையால் ∠A = ∠C மற்றும் ∠B = ∠D
(வடிவொத்த முக்கோணங்களின் ஒத்த கோணங்கள்)

கொடுக்கப்பட்ட நேர்கோட்டின் சமன்பாடு 2x - 3y + 8 = 0
சாய்வு m = \(\frac {-2}{-3}\) = \(\frac 23\)
ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்தான நேர்கோட்டு சாய்வுகளின் பெருக்கற்பலன் -1 என்பதால் 2x - 3y + 8 = 0 என்ற நேர்கோட்டிற்கு செங்குத்தான கோட்டின் சாய்வு = \(\frac { -1 }{ \frac { 2 }{ 3 } } =\frac { -3 }{ 2 } \)

இரு வடிவொத்த முக்கோணங்களுடைய பரப்புகளின் விகிதமானது அவற்றின் ஒத்த பக்கங்களுடைய வர்க்கங்களின் விகிதத்திற்குச் சமம் என்பதால்

\(\Delta DEF\)-ன் பரப்பளவு =\(\cfrac { 16\times 54 }{ 9 } \)= 96 செ.மீ².

tan²θ - sin²θ = tan²θ - \(\frac { { \sin }^{ 2 }\theta }{ { \cos }^{ 2 }\theta } .{ \cos }^{ 2 }\theta \)
= tan²θ - (1 - cos² θ) = tan²θ sin²θ

(i) மின்கலச் சக்தி 40% எனில், நேரத்தைக் கணக்கிட, y = 0.40 என எடுத்துக் கொள்க.
0.40 = −0.25x + 1 ⇒ 0.25x = 0.60
x = \(\frac {0.60}{0.25}\) = 2.4 மணி
(ii) மின்கலம் தனது முழுச் சக்தியை இழந்துவிட்டால் y = 0 எனக் கிடைக்கும்.
எனவே , 0 = −0.25x + 1 ⇒ 0.25x = 1 எனவே , x = 4 மணி.
∴ நான்கு மணி நேரத்திற்குப் பின்பு அலைபேசியின் மின்கலம் தனது முழுச் சக்தியையும் இழக்கிறது.

f(x) = 3x - 5, f = {(x, 3x - 5) |x ∈ R} என எழுதலாம்.
(a, 4) எனில், a-யின் நிழல் உரு 4. அதாவது, f(a) = 4
3a - 5 = 4 லிருந்து a = 3
(1, b) எனில், 1 -யின் நிழல் உரு b. அதாவது, f(1) = b 
3(1) – 5 = b எனவே, b = –2

தேவைப்படும் வில்லைகளின் எண்ணிக்கை 
\(=\frac { \pi r_{ 1 }^{ 2 }{ h }_{ 1 } }{ { \pi r }_{ 2 }^{ 2 }{ h }_{ 2 } } =\frac { \pi \times \frac { 45 }{ 20 } \times \frac { 45 }{ 20 } \times 10 }{ \pi \times \frac { 15 }{ 20 } \times \frac { 15 }{ 20 } \times \frac { 2 }{ 10 } } \)

=450

இணைகரத்தில் மூலைவிட்டங்கள் இருசமக்கூறிடும்.
∴ AC யின் மையப்புள்ளி = BD-ன் மையப்புள்ளி 
i.e., \(\left[ \frac { 6+9 }{ 2 } ,\frac { 1+4 }{ 2 } \right] =\left[ \frac { 8+p }{ 2 } ,\frac { 2+3 }{ 2 } \right] \)
\(\left[ \frac { 15 }{ 2 } ,\frac { 5 }{ 2 } \right] =\left[ \frac { 8+p }{ 2 } ,\frac { 5 }{ 2 } \right] \)
\(\frac { 15 }{ 2 } ,\frac { 8+p }{ 2 } \)
P = 7 

ΔADC யில்
AC² = AD² + CD²  ...(1)
(பிதாகரஸ் தேற்றத்தின்படி)
ΔADB யில்,
AB² = AD² + BD² ...(2)
(பிதாகரஸ் தேற்றத்தின்படி)
(1) ஐ (2) லிருந்து கழிக்க
AB² - AC² = BD² - CD²
AB² + CD² = BD² + AC²

மொத்த மாணவர்களின் எண்ணிக்கை n(S) = 50
A மற்றும் B ஆகியவை முறையே NCC மற்றும் NSS-யில் சேர்ந்த மாணவர்கள் என்க.
n(A) = 28, n(B) = 30,n(A\(\cap\)B) = 18
\(P(A)=\frac { n(A) }{ n(S) } =\frac { 28 }{ 50 } \)
\(P(B)=\frac { n(B) }{ n(S) } =\frac { 30 }{ 50 } \)
\(P(A\cap B)=\frac { n(A\cap B) }{ n(S) } =\frac { 18 }{ 50 } \)
i) NCC யில் சேர்ந்து NSS-யில் சேராமல் உள்ள மாணவர்களைத் தேர்ந்தெடுப்பதற்கான நிகழ்தகவு 
\(P(A\cap \bar { B } )=P(A)-P(A\cap B)=\frac { 28 }{ 50 } -\frac { 18 }{ 50 } =\frac { 1 }{ 5 } \)
ii) NSS யில் சேர்ந்து NCC-யில் சேராமல் உள்ள மாணவர்களைத் தேர்ந்தெடுப்பதற்கான நிகழ்தகவு C
\(P(\bar { A } \cap B)=P(B)-P(A\cap B)=\frac { 30 }{ 50 } -\frac { 18 }{ 50 } =\frac { 6 }{ 25 } \)
iii) ஏதாவது ஒன்றில் மட்டுமே சேர்ந்த மாணவரைத் தேர்ந்தெடுப்பதற்கான நிகழ்தகவு P(A மட்டும் அல்லது B மட்டும்)
\(P[(A\cap \bar { B } )\cup (\bar { A } \cap B)]\)
\(=P(A\cap \bar { B } )+(\bar { A } \cap B)=\frac { 1 }{ 5 } +\frac { 6 }{ 25 } =\frac { 11 }{ 25 } \)
(குறிப்பு : \((A \cap \bar{B}),(\bar{A} \cap B) \) ஆகியவை ஒன்றையொன்று விலக்கும் நிகழ்ச்சிகள்)

கலங்கரை விளக்கம் AB என்க. C மற்றும் D என்பன இரு கப்பல்கள் இருக்கும் இடங்கள் என்க.
மேலும், AB = 200 மீ.
ㄥACB = 30°, ㄥADB = 45°
செங்கோண Δ BAC -ல்
tan 30° = \(\frac {AB}{AC }\)
\(\frac{1}{\sqrt3}\) = \(\frac{200}{AC}\) ⇒ AC = 200\(\sqrt3\) .....(1)
செங்கோண Δ BAD -ல் tan 45° = \(\frac {AB}{AD }\)
1 = \(\frac{200}{AD}\) ⇒ AD = 200 ...(2)
தற்போது, CD = AC + AD = 200\(\sqrt3\)  [(1), (2) -லிருந்து]
CD = 200(\(\sqrt3\) + 1) = 200 x 2.732 = 546.4
இரு கப்பல்களுக்கு இடையே உள்ள தொலைவு 546.4 மீ ஆகும்.

மூன்று குழந்தைகள் பெறும் தொகை கூட்டுத் தொடர்வரிசையில் அமைவதால் அவற்றை a - d, a, a + d, என்க. தொகையின் கூடுதல் ரூ.207 என்பதால்
(a - d) + a + (a + d) = 207
3a = 207 ⇒ a = 69
இரு சிறிய தொகைகளின் பெருக்கற்பலன் 4623 என்பதால்
(a - d)a = 4623
(69 - d)69 = 4623
d = 2
எனவே, மூன்று குழந்தைகளுக்கும் தாய் பிரித்துக் கொடுத்த தொகை
ரூ.(69-2), ரூ 69, ரூ.(69+2). அதாவது, ரூ.67, ரூ.69 மற்றும் ரூ.71.

அரைக்கோளத்தின் ஆரம் r என்க 
இங்கு, அரைக்கோளத்தின் விட்டம் = கனசதுரத்தின் ஒரு பக்கம் = l ஆகும்.
ஆரம் r =\(\frac{1}{2}\) அலகு 
தற்போது, மீதமுள்ள திண்மத்தின் மொத்தப்பரப்பு = கனச்சதுரத்தின் மொத்தப்பரப்பு + அரைக்கோளத்தின் வளைபரப்பு - அரைக்கோளத்தின்  அடிப்பரப்பு 
= 6 x (பக்கம்)² + 2πr² - πr²
= 6 x (பக்கம்)² + πr²
\(=6\times { (l) }^{ 2 }+\pi { \left( \frac { l }{ 2 } \right) }^{ 2 }=\frac { 1 }{ 4 } (24+\pi ){ l }^{ 2 }\)
ஆகவே, மீதமுள்ள திண்மத்தின் புறப்பரப்பு \(\\ \\ =\frac { 1 }{ 4 } (24+\pi ){ l }^{ 2 }\) ச.அ

r, R என்பன முறையே உள்ளீடற்ற கோளத்தின் உள் ஆரம் மற்றும் வெளி ஆரம் என்க.
இங்கு, உள்விட்டம் d = 14 செ.மீ; உள் ஆரம் r = 7 செ.மீ; தடிமன் = 1மி.மீ =\(\frac{1}{10}\) செ.மீ 
வெளி ஆரம் R = 7+\(\frac{1}{10}=\frac {71}{10}=7.1\) செ.மீ
உள்ளீடற்ற கோளத்தின் கன அளவு \(=\frac { 4 }{ 3 } \pi \left( { r }^{ 3 }-{ r }^{ 3 } \right) \)க.அ 
\(=\frac { 4 }{ 3 } \times \frac { 22 }{ 7 } (357.91-343)=62.48\) க.செ.மீ
ஆனால், 1 க.செ.மீ பித்தளையின் அடர்த்தி = 17.3 கி  
மொத்த நிறை = 17.3 x  62.48 = 1080.90 கி 
எனவே, மொத்த நிறை 1080.90 கிராம் ஆகும்.

\(A B^2 =A C^2+B C^2  \)
\(=5^2+5^2=50  \)
\(A B =\sqrt{50}=5 \sqrt{2}\) 5 செ.மீ  

\(y^2+\frac{1}{y^2}\) என்பது \(\left(y+\frac{1}{y}\right)^2\) க்கு சமமல்ல.
ஏனெனில், \(y^2+\frac{1}{y^2} \neq y^2+\frac{1}{y^2}+2\)

\( x=a \tan \theta \quad y=b \sec \theta \)
\(x^2=a^2 \tan ^2 \theta \quad y^2=b^2 \sec ^2 \theta \)
\(\frac{x^2}{a^2}=\tan ^2 \theta \quad \frac{y^2}{b^2}=\sec ^2 \theta \)
\(\sec ^2 \theta-\tan ^2 \theta=\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2} \)
\(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1\)

திட்ட விலக்கம் \(\sigma\) = 3
ஒரு தரவில் உள்ள ஒவ்வொரு தரவுப் புள்ளிகளையும் 5 ஆல் பெருக்கினால் கிடைக்கும் தரவுகளின் புதிய திட்டவிலக்கம் பெற பழைய திட்டவிலக்கத்தின் 5 மடங்கு காண வேண்டும்.
\(\therefore\) புதிய திட்ட விலக்கம் \(\sigma=3 \times 5=15\)
விலக்க வா்க்கச் சராசரி \(\sigma^2=15^2=225\)

கொடுக்கப்பட்ட கோடு 8y = 4x + 21
\(y=\frac{x}{2}+\frac{21}{8}\)
\(\mathrm{y}=\frac{x}{2}+2.625\)\(\mathrm{y}=\mathrm{mx}+\mathrm{c}\) என்ற வடிவில்
இங்கு, \(\mathrm{m}=\frac{1}{2}=0.5, \mathrm{c}=2.625\)
\(\therefore \) சாய்வு \(\mathrm{m} =\frac{1}{2}=0.5 \)
y வெட்டுத்துண்டு = 2.6

'r' என்ற சம ஆரத்தைக் கொண்ட இரு அரைக்கோளங்கள் ஒன்றாக இணைக்கப்படும்போது உருவாகும் திண்மம் ஒரு கோளமாகும்
\(\therefore\) திண்மத்தின் புறப்பரப்பு = 4πr² சதுர அலகுகள்

A = {1,2,3,4}, B = {4,8,9,10} மற்றும் f ={(1,4),(2,8),(3,9),(4,10)} ஒன்றுக்கு ஒன்றான சார்பு

கொடுக்கப்பட்டது {(a, 8),(6, b)} என்பது சமனிச் சார்பு
அதாவது, {(8,8), (6,6)}
\(\therefore a=8, b=6\)

சதுரங்க அட்டையின் ஒரு பக்க அளவு x என்க
64 சதுரங்களின் பரப்பு =(x-4)2
(x-4)²=64X6.25
\(\Rightarrow \)x²-8x+16=400
\(\Rightarrow \)x²-8x-384=0
\(\Rightarrow \)x²-24x+16x-384=0
\(\Rightarrow \)(x-24)(x+16)=0
x=24செ.மீ 

= \(\frac { 1 }{ 2 } \) [(-12 - 30 - 28 - 10) - (+0 + 28 + 30 + 12)]
= \(\frac { 1 }{ 2 } \) [-80 - (-80)]
= \(\frac { 1 }{ 2 } \) [-160] = -80 = 80 சதுர அலகுகள்

விட்டம் (d) = 6 செ.மீ எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. ஆரம் \(\left( r \right) =\frac { 6 }{ 2 } \) = 3 செ.மீ

வரைமுறை
படி 1 : O-வை மையமாகக் கொண்டு 3 செ.மீ ஆரமுள்ள வட்டம் வரைக
படி 2 : 8 செ.மீ நீளமுள்ள OP என்ற ஒரு கோடு வரைக.
படி 3 : OP-க்கு மையக்குத்துக் கோடு வரைக. அது OP-ஐ M -ல் சந்திக்கும்.
படி 4 : M-யை மையமாகவும், MO-வை ஆரமாகவும் கொண்டு வரையப்படும் வட்டமானது முந்தைய வட்டத்தை A மற்றும் B -யில் சந்திக்கிறது.
படி 5 : AP மற்றும் BP யை இணைக்கவும். AP மற்றும் BP தேவையான தொடுகோடுகள் ஆகும். தொடுகோட்டின் நீளம் PA = PB = 7.4 செ.மீ.
சரிபார்த்தல் : செங்கோண முக்கோணம் OPA-யில் PA² = OP² - OA² = 8² – 3² = 64 – 9 = 55
PA = \( \sqrt{55} = 7.4\) செ.மீ (தோராயமாக) .

ஒரு நாணயம் 3 முறை சுண்டப்படும்போது கூறுவெளி
\(\mathrm{S}=\{\mathrm{HHH}, \mathrm{HHT}, \mathrm{HTH}, \mathrm{HTT}, \mathrm{THH}, \mathrm{THT},TTH, TTT \} \)
\(\mathrm{n}(\mathrm{S})=8\)
சரியாக இரண்டு தலைகள் கிடைக்கும் நிகழ்வு A என்க.
\(\mathrm{A} =\{\mathrm{HHT}, \mathrm{HTH}, \mathrm{THH}\} \)
\(\mathrm{n}(\mathrm{A}) =3 \)
\(\mathrm{P}(\mathrm{A}) =\frac{n(\mathrm{~A})}{\mathrm{n}(\mathrm{S})}=\frac{3}{8}\)
குறைந்தபட்சம் 1 பூ கிடைக்கும் நிகழ்வு B என்க.
B = {HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT}
n(B) = 7
\(\mathrm{P}(\mathrm{B})=\frac{n(\mathrm{~B})}{n(\mathrm{~S})}=\frac{7}{8}\)
அடுத்தடுத்து இரண்டு தலைகள் கிடைக்கும் நிகழ்வு C என்க.
\({\mathrm{C}} =\{\mathrm{HHT}, \mathrm{THH}, \mathrm{HHH}\} \)
\(\mathrm{n}(\mathrm{C}) =3 \)
\(\mathrm{P}(\mathrm{C}) =\frac{n(\mathrm{C})}{n(\mathrm{~S})}=\frac{3}{8} \)
\(A \cap B=\{\mathrm{HHT}, \mathrm{HTH}, \mathrm{THH}\} \)
\(\mathrm{n}(A \cap B)=3 \)
\(\mathrm{P}(A \cap B)=\frac{n(\mathrm{~A} \cap B)}{n(\mathrm{~S}) \cdot}=\frac{3}{8} \)
\(B \cap C=\{\mathrm{HHT}, \mathrm{THH}\} \)
\(n(\mathrm{~B} \cap \mathrm{C})=2 \)
\(P(B \cap \mathrm{C})=\frac{n(\mathrm{~B} \cap \mathrm{C})}{n(\mathrm{~S})}=\frac{2}{8} \)
\(A \cap C=\{\mathrm{HHT}, \mathrm{THH}\} \)
\(n(\mathrm{~A} \cap C)=2 \)
\(P(\mathrm{~A} \cap \mathrm{C})=\frac{n(\mathrm{~A} \cap \mathrm{C})}{n(\mathrm{~S})}=\frac{2}{8} \)
\(A \cap B \cap C=\{\mathrm{HHT}, \mathrm{THH}\} \)
\(n(\mathrm{~A} \cap \mathrm{B} \cap \mathrm{C})=2 \)
\(P(A \cap B \cap C)=\frac{n(A \cap B \cap C)}{n(S)}=\frac{2}{8} \)
\(P(\mathrm{~A} \cup \mathrm{B} \cup \mathrm{C})= \) \(P(A)+P(B)+P(C)-P(A \cap B)-P(B \cap C)-P(A \cap C)+P(A \cap B \cap C) \)
\({P}(\mathrm{~A} \cup \mathrm{B} \cup \mathrm{C}) \quad =\frac{3}{8}+\frac{7}{8}+\frac{3}{8}-\frac{3}{8}-\frac{2}{8}-\frac{2}{8}+\frac{2}{8} \)
\(=\frac{3+7+3-3-2-2+2}{8} \)
\(=\frac{8}{8}=1\)
\(\therefore\) தேவையான நிகழ்தகவு = 1

படி 1 : y = 2x² -ன் வரைபடம் வரைவதற்கு மதிப்புகளைக் கீழ்க்கண்டவாறு அட்டவணைப்படுத்த வேண்டும்.

படி 2 : 2x² - x - 6 = 0 என்ற சமன்பாட்டின் தீர்வு காண்பதற்கு, முதலில் y = 2x² லிருந்து 2x² - x - 6 = 0 ஐ கழிக்க வேண்டும்.

y = x + 6 என்பது ஒரு நேர்கோட்டின் சமன்பாடு ஆகும். y = x + 6 நேர்கோட்டின் வரைபடம் வரைவதற்கு மதிப்புகளைக் கீழ்க்கண்டவாறு அட்டவணைப்படுத்த வேண்டும்.

படி 3 : y = 2x² என்ற பரவளையம் மற்றும் y = x + 6 என்ற நேர்கோடு வெட்டும் புள்ளிகள் (–1.5, 4. 5) மற்றும் (2, 8).
படி 4 : இப்புள்ளிகளின் x- ஆயத் தொலைவுகள் -1.5 மற்றும் 2 ஆகும்.
எனவே, சமன்பாடு 2x² - x - 6 = 0 -யின் தீர்வுகள் –1.5 மற்றும் 2 ஆகும்.