உருளையின் கன அளவு=செவ்வக தொட்டியின் கன அளவு 
πr²h=28x16x11மீ³

உருளையின் உயரம் h=\(\frac{16\times11}{88}\)=2மீ

h₁ மற்றும் h₂ என்பன முறையே கூம்பு மற்றும் உருளையின் உயரம் என்க.
r என்பது கூம்பின் ஆரம் என்க.
இங்கு கூம்பின் உயரம் h = 24 செ.மீ, கூம்பு மற்றும் உருளையின் ஆரம் r செ.மீ  
இங்கு, உருளையின் கனஅளவு = கூம்பின் கனஅளவு 
\({ \pi r }^{ 2 }{ h }_{ 2 }=\frac { 1 }{ 3 } { \pi r }^{ 2 }{ h }_{ 1 }\)
\({ h }_{ 2 }=\frac { 1 }{ 3 } \times { h }_{ 1 }\) -லிருந்து \({ h }_{ 2 }=\frac { 1 }{ 3 } \times { 24=8 }\)
எனவே, உருளையின் உயரம் 8 செ.மீ  ஆகும்.

r₁ h₁ என்பன முதல் கூம்பின் ஆரம் மற்றும் உயரம் என்க. r₂ மற்றும் h₂ என்பன இரண்டாம் கூம்பின் ஆரம் மற்றும் உயரம் என்க.
இங்கு, h₂ = 2h₁ மற்றும் 
\(\frac { \frac { 1 }{ 3 } { \pi r }_{ 1 }^{ 2 }{ h }_{ 1 } }{ \frac { 1 }{ 3 } { \pi r }_{ 2 }^{ 2 }{ h }_{ 2 } } =\frac { 2 }{ 3 } \)
\(\frac{r_1^2}{r_2^2} \times \frac{h_1}{2 h_1}=\frac{2}{3}\) 
\(\frac { { r }_{ 1 }^{ 2 } }{ { r }_{ 2 }^{ 2 } } =\frac { 4 }{ 3 } \) இதிலிருந்து \(\frac { { r }_{ 1 } }{ { r }_{ 2 } } =\frac { 2 }{ \sqrt { 3 } } \)
ஆகவே, ஆரங்களின் விகிதம் =2:1\(\sqrt{3}\)

இங்கு, தேவையான விகிதம் = கோளத்தின் வளைபரப்பு : உருளையின் வளைபரப்பு : கூம்பின் வளைபரப்பு 
\(4\pi { r }^{ 2 }:2\pi rh:\pi rl,(l=\sqrt { { r }^{ 2 }+{ h }^{ 2 } } =\sqrt { 2{ r }^{ 2 } } =\sqrt { 2r } )\)
\(=4\pi { r }^{ 2 }:2\pi { r }^{ 2 }:\pi r\sqrt { 2 } r\)
\(=4\pi { r }^{ 2 }:2\pi { r }^{ 2 }:\sqrt { 2 } \pi { r }^{ 2 }\)
\(=4:2:\sqrt { 2 } =2\sqrt { 2 } :\sqrt { 2 } :1\)

கூம்பின் ஆரம் r = 7 செ.மீ 
கூம்பின் மொத்தப் புறப்பரப்பு = \(\pi\)r (l + r) ச.அ
மொத்தப் புறப்பரப்பு = 704 ச.செ.மீ 
704 = \(\frac { 22 }{ 7 } \times 7(l+7)\)
32 = l + 7 ⇒  l = 25 செ.மீ 
ஆகவே, கூம்பின் சாயுயரம் 25 செ.மீ. ஆகும்.

r மற்றும் h என்பன முறையே திண்ம நேர்வட்ட உருளையின் ஆரம் மற்றும் உயரம் என்க.
இங்கு, உருளையின் வளைபரப்பு = 88 ச. செ.மீ
2πrh = 88
\(2\times \frac { 22 }{ 7 } \times r\times 14=88\) (உயரம் h = 14 செ.மீ)
\(2r=\frac { 88\times 7 }{ 22\times 14 } =2\)
ஆகவே, உருளையின் விட்டம் = 2 செ.மீ

r மற்றும் h என்பன முறையே உருளையின் ஆரம் மற்றும் உயரம் என்க.
இங்கு, h = 20 செ.மீ ; r = 14 செ.மீ
உருளையின் வளைபரப்பு = 2πrh ச.அ
\(=2\times \frac { 22 }{ 7 } \times 14\times 20=2\times 22\times 2\times 20=1760\) செ.மீ²
உருளையின் மொத்தப் புறப்பரப்பு = 2πr(h + r) ச.அ
\(=2\times \frac { 22 }{ 7 } \times 14\times (20+14)=2\times\frac{22}{7}\times 14\times 34\)
= 2992 செ.மீ²
ஆகவே, உருளையின் வளைபரப்பு = 1760 செ.மீ², மொத்தப் புறப்பரப்பு = 2992 செ.மீ²

அரைக்கோளத்தின் ஆரம் r என்க 
இங்கு, அரைக்கோளத்தின் விட்டம் = கனசதுரத்தின் ஒரு பக்கம் = l ஆகும்.
ஆரம் r =\(\frac{1}{2}\) அலகு 
தற்போது, மீதமுள்ள திண்மத்தின் மொத்தப்பரப்பு = கனச்சதுரத்தின் மொத்தப்பரப்பு + அரைக்கோளத்தின் வளைபரப்பு - அரைக்கோளத்தின்  அடிப்பரப்பு 
= 6 x (பக்கம்)² + 2πr² - πr²
= 6 x (பக்கம்)² + πr²
\(=6\times { (l) }^{ 2 }+\pi { \left( \frac { l }{ 2 } \right) }^{ 2 }=\frac { 1 }{ 4 } (24+\pi ){ l }^{ 2 }\)
ஆகவே, மீதமுள்ள திண்மத்தின் புறப்பரப்பு \(\\ \\ =\frac { 1 }{ 4 } (24+\pi ){ l }^{ 2 }\) ச.அ

r மற்றும் h என்பன முறையே உருளையின் ஆரம் மற்றும் உயரம் என்க.
இங்கு, விட்டம் d = 12 செ.மீ அதாவது, ஆரம் r = 6 செ.மீ 
மொத்த உயரம் h = 25 செ.மீ 
எனவே, உருளையின் உயரம் = 25 - 6 = 19 செ.மீ
பொம்மையின் மொத்தப் புறப்பரப்பு = உருளையின் வளைபரப்பு + அரைக்கோளத்தின் வளைபரப்பு + உருளையின் அடிப்பரப்பு 
= 2πrh + 2πr² + πr²
= πr(2h + 3r) ச.அ
\(=\frac { 22 }{ 7 } \times 6\times (38+18)\)
\(=\frac { 22 }{ 7 } \times 6\times 56=1056\)
ஆகவே, பொம்மையின் மொத்தப் புறப்பரப்பு 1056 ச.செ.மீ ஆகும்.

கொ.ப: சுற்றளவு = 484 செ.மீ
\(2 \pi r =484 \)
\(2 \times \frac{22}{7} \times r =484 \)
\(r =\frac{484 \times 7}{44}=77\) செ.மீ
உயரம் h = 105 செ.மீ .
கூம்பின் கன அளவு \(=\frac{1}{3} \pi r^2 h\) கன அலகுகள்
\(=\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 77 \times 77 \times 105 \)
= 652190 செ.மீ³

உள்ளீடற்ற உருளையின் உயரம், உட்புறம் ஆரம் மற்றும் வெளிப்புற ஆரம் முறையே h, r மற்றும் R என்க.
இங்கு r = 21 செ.மீ, R = 28 செ.மீ, h = 9 செ.மீ 
உள்ளீடற்ற உருளையின் கன அளவு = \(\pi \)(R² - r²)h க.அ
\(=\frac { 22 }{ 7 } ({ 28 }^{ 2 }-{ 21 }^{ 2 })\times 9\)
\(=\frac { 22 }{ 7 } (784-441)\times 9=9702\) 
ஆகவே, தேவையான இரும்பின் கன அளவு = 9702 க.செ.மீ 

காகிதத்தாளின் பரப்பு = 5720 செ.மீ²
தொப்பியின் ஆரம் r = 5 செ.மீ
தொப்பியின் உயரம் h = 12 செ.மீ
\(\therefore\) சாயுயரம் \(l=\sqrt{h^2+r^2}\)
\(=\sqrt{12^2+5^2}=\sqrt{144+25} \)
\(=\sqrt{169} \quad=13\) செ.மீ
கூம்பு வடிவத் தொப்பியின் வளைபரப்பு = πrl ச.அ
\(=\frac{22}{7} \times 5 \times 13=\frac{1430}{7}\)
\(\therefore\) தொப்பிகளின் எண்ணிக்கை = காகிதத்தாளின் பரப்பு / கூம்பு வடிவத் தொப்பியின் வளைபரப்பு
\(=\frac{5720}{143 \dot{3} 0} \times 7=28\) தொப்பிகள்

ஓட்டின் உள் மற்றும் வெளிப்புற ஆரங்கள் முறையே, r மற்றும் R என்க.
இங்கு, R = 5 மீ, r = 3 மீ 
உள்ளீடற்ற அரைக்கோளத்தின் வளைப்பரப்பு 
= 2\(\pi\)(R² + r²) ச.அ 
\(=2\times \frac { 22 }{ 7 } \times (25+9)=213.71\)
உள்ளீடற்ற அரைக்கோளத்தின் மொத்தப் புறப்பரப்பு 
=\(\pi \)(3R² + r²) ச.அ
\(=\frac { 22 }{ 7 } (75+9)=264\)
ஆகவே, வளைபரப்பு 213.71 ச.மீ மற்றும் மொத்தப் புறப்பரப்பு 264 ச.மீ ஆகும்.

உருளையின் விட்டம் = கூம்பின் விட்டம் = கோளத்தின் விட்டம்
உருளையின் உயரம் = கூம்பின் உயரம் = கோளத்தின் உயரம்
உருளையின் கனஅளவு \(=V_1=\pi r^2 h\)
கூம்பின் கன அளவு \(=V_2=\frac{1}{3} \pi r^2 h\)
கோளத்தின் கன அளவு  \(=V_3=\frac{4}{3} \pi r^3\)
கோளத்தின் ஆரம் = 'R', விட்டம் = 2R
கன அளவுகளின் விகிதம் \(\Rightarrow V_1: V_2: V_3\)
\(=\pi R^2(2 R): \frac{1}{3} \pi R^2(2 R): \frac{4}{3} \pi R^3 \)
\(=1: \frac{1}{3}: \frac{2}{3}=3: 1: 2\)

கொடுக்கப்பட்டது: \(\frac{h_2}{h_1}=\frac{1}{2}\)
\(\frac{h_2}{h_1} =\frac{r_2}{r_1}=\frac{1}{2} \)
\(r_2: r_1 =1: 2\)

r₁ ஆரத்தைக் கொண்ட கோளப் பந்தின் கன அளவு \(=\frac{4}{3} \pi r_1^3\)
r₂ ஆரத்தைக் கொண்ட சம கோளப் பந்துகளின் கன அளவு
\(=8\left(\frac{4}{3} \pi r_2^3\right)\)
இப்போது, கோளத்தின் கன அளவு / புதிய 8 கோளங்களின் கன அளவு
\(=\frac{\frac{4}{3} \pi r_1^3}{8\left(\frac{4}{3} \pi r_2^3\right)}=\frac{r_1^3}{8 r_2^3}=2: 1\)

இடைக்கண்டத்தின் உயரம் h = 16 செ.மீ
ஆரங்கள் 8 செ.மீ மற்றும் 20 செ.மீ
அதாவது, r = 8 செ.மீ, R = 20 செ.மீ
இடைக்கண்டத்தின் கன அளவு
\(=\frac{\pi h}{3}\left(\mathrm{R}^2+R r+r^2\right)\) கன அலகுகள்
\(=\frac{\pi(16)}{3}(400+160+64) \)
\(=\frac{16 \pi}{3}(624)=3328 \pi\) செ.மீ³

கோளத்தின் ஆரம்= 'x' செ.மீ
கோளத்தின் கன அளவு \(=\frac{4}{3} \pi x^3\) செ.மீ
கூம்பின் ஆரம் = 'x' செ.மீ
உயரம் = h.
கூம்பின் கன அளவு \(=\frac{1}{3} \pi x^2 h\)
கூம்பின் கன அளவு = கோளத்தின் கன அளவு \([\because\) கோளம் 'உருக்கப்பட்டு கூம்பாக மாற்றப்படுகிறது]
\(\frac{1}{3} \pi x^2 h =\frac{4}{3} \pi x^3 \)
\(\Rightarrow \mathrm{h} =4 x\) செ.மீ

அரைக்கோளத்தின் மொத்தப்பரப்பு = 3πr²
= 3π (ஆரத்தின் வர்க்கம்)
= 3π மடங்கு

ஆரம் மும்மடங்கானால், புதிய ஆரம் 3r.
உயரம் இரு மடங்கானால், புதிய உயரம் 2h.
கூம்பின் கன அளவு \(=\frac{1}{3} \pi r^2 h \) கன அலகுகள்
\(=\frac{1}{3} \pi(3 r)^2(2 h) \)
\(=\frac{\pi}{3}\left(9 r^2\right)(2 h) \)
\(=18\left(\frac{1}{3} \pi r^2 h\right)\)
= 18 (கூம்பின் கன அளவு)
= 18 மடங்கு

உட்புற ஆரம் = r, வெளிப்புற ஆரம் = R
கொ.ப. கூடுதல் = R + r = 14, தடிமன் R - r = 4, உயரம் h = 20 செ.மீ
பயன்பட்ட பொருளின் கன அளவு
\(=\pi\left(\mathrm{R}^2-\mathrm{r}^2\right) \mathrm{h}\) கன அலகுகள்
\(=\pi(\mathrm{R}+\mathrm{r})(\mathrm{R}-\mathrm{r}) \mathrm{h} \)
\(=\pi(14)(4) 20 \)
= 1120π  செ.மீ

உயரம் = h, ஆரம் \(=\frac{1}{3} h\)
உருளையின் மொத்தப் புறப்பரப்பு
\(=2 \pi r(\mathrm{~h}+\mathrm{r}) \)
\(=2 \pi \frac{h}{3}\left(h+\frac{h}{3}\right) \)
\(=2 \pi \frac{h}{3}\left(\frac{4 h}{3}\right) \)
\(=\frac{8 \pi h^2}{9} \) சதுர அலகுகள்

உருளையின் ஆரம் = r
உருளையின் உயரம் = h
முந்தைய உருளையின் கன அளவு = πr²h க.அ
ஆரம் பாதியாக்கப்பட்டால் ஆரம் \(=\frac{r}{2}\)
புதிய உருளையின் கன அளவு
\(=x(\frac{r}{2})^2k=\frac{\pi r^2h}{4}\)
இப்போது, விகிதம் = புதிய உருளையின் கன அளவு/முந்தைய உருளையின் கன அளவு
\(=\frac{\frac{\pi r^2h}{4}}{\pi r^2 h}=\frac{1}{4}\)
விகிதம் = 1:4

'r' என்ற சம ஆரத்தைக் கொண்ட இரு அரைக்கோளங்கள் ஒன்றாக இணைக்கப்படும்போது உருவாகும் திண்மம் ஒரு கோளமாகும்
\(\therefore\) திண்மத்தின் புறப்பரப்பு = 4πr² சதுர அலகுகள்