F₁ = 1, F₂ = 3, F₃ = F₂ + F₁ = 3 + 1 = 4,
F₄ = F₃ + F₂ = 4 + 3 = 7, F₅ = F₄ + F₃ = 7 + 4 = 11

\(1729=7^1+13^1+19^1\)
அடுக்குகளின் கூடுதல் = 1 + 1 + 1 = 3

65 மற்றும் 117  இன் மீ.பொ.வ = 13 
\(65 \mathrm{~m}-117=13  \)
\(65 \mathrm{~m}=13+117=130  \)
\(\mathrm{~m}=\frac{130}{65}=2\)

\(A=2^{65} \)
\(B=2^{64}+2^{63}+2^{62}+\ldots+2^0\)
இங்கு \(a=2^{64} ; r=\frac{2^{63}}{2^{64}}=\frac{1}{2} ; n=65\)
\(\mathrm{S}_{\mathrm{n}}=\frac{a\left(r^n-1\right)}{r-1} \)
\(\mathrm{B}=\frac{2^{64}\left(\left(\frac{1}{2}\right)^{65}-1\right)}{-\frac{1}{2}}=2^{65}\left(\frac{1}{2^{65}}-1\right)(-1) \)
\(=\left(1-2^{65}\right)(-1) \) \(=2^{65}-1\)
\(\therefore B=\mathrm{A}-\mathrm{I} \)                  (\(\because\) \(\mathrm{A}=2^{65}\))
\(\mathrm{A}=\mathrm{B}+1\)

1,-1,-3,-5
t₂-t₁=-1-1=-2
t₃-t₂=-3-(-1)=-2
t₄-t₃=-5-(-3)=-2
இது ஒரு A.P பொது வித்தியாசம் -2.
அடுத்த இரண்டு உறுப்புகள் (-5+(-2))=-7,-7+(-2)=-9, i.e \(\underline { -7 } ,\underline {-9} .\)

4,10,16,22,..
இங்கு a₂-a₂=10-4=6
a₃-a₂=16-10=6
a₄-a₃=22-16=6
∴ அது ஒரு A.P. பொது வித்தியாசம் 6.
∴ அடுத்து இரண்டு உறுப்புகள், \(\underline { 28 } ,\underline { 34 } .\)

6=2¹x3¹ மற்றும் 
20=2x2x5=2²x5¹
HCF (6,20)=2 மற்றும் LCM (6,20)
=2x2x3x5=60
HCF (6,20)=2²=2
​​​​​​LCM (6,20)=2²x3¹ ​​​​​​x5¹=60
(a) மற்றும் (b)=4க்கு வகுத்தல் முறையைப் பயன்படுத்துவோம்.

முதல் உறுப்பு a என்க, (a ஒரு மிகை ஒற்றை எண்)
எனினும் 0≤r<4, அதனால் கிடைக்கும் மீதி 0,1,2, 3 ஆகும்.
∴ a ஆனது 4q, (அல்லது)4q+1, (அல்லது) 4q+2 (அல்லது)4q+3, இங்கு q ஈவு ஆகும்.
a ஒரு ஒற்றை என்பதால் 4q மற்றும் 4q+2 ஆக இருக்க முடியாது(∵அவை 2ஆல் வகுப்படும்).
எனவே எந்த ஒரு மிகை ஒற்றை குழுவும் 4q+1 அல்லது 4q+3 என்ற வடிவில் அமையும்.

12576 > 4052 யூக்ளிடின் வகுத்தல் வழிமுறையைப் பயன்படுத்த 12576 மற்றும் 4052 இவற்றின் மீ.பொ.வ காணலாம்.
12576=4052x3+420
இங்கு மீதி 420≠0,
மீண்டும் யூக்ளிடின் வகுத்தல் வழிமுறையைப் பயன்படுத்த 
4052=420x9+272
இங்கு மீதி  272≠0
மீண்டும் யூக்ளிடின் வகுத்தல் வழிமுறையைப் பயன்படுத்த 
420=272x1+148, 148≠0.
மீண்டும் யூக்ளிடின் வகுத்தல் வழிமுறையைப் பயன்படுத்த 
272=148x1+124, இங்கு 124≠0.
மீண்டும் யூக்ளிடின் வகுத்தல் வழிமுறையைப் பயன்படுத்த 
148=124x1+24, இங்கு 24≠0.
மீண்டும் யூக்ளிடின் வகுத்தல் வழிமுறையைப் பயன்படுத்த 
124=24x5+4, இங்கு 4≠0.
மீண்டும் யூக்ளிடின் வகுத்தல் வழிமுறையைப் பயன்படுத்த 
24=4x6+0
இங்கு மீதி 0.
∴ 4 ஆனது 12576 மற்றும் 4052 இவற்றின் மீ.பொ.வ.4 ஆகும்.

a₃=a+(3-1)d=a+2d=5 (1)
a₇=a+(7-1)d=a+6d=9 (2)
(1)-(2)⇒-4d=-4⇒d=1
d=1 என (1), ல் பிரதியிட 
a+2(1)=5
a=3
தேவையான  A.P=3,4,5,6,7.

1,1,1,2,2,2,3,3,3
t₂-t₁=1-1=0
t₃-t₂=1-1=0
t₄-t₃=2-1=1
இங்கு  t₂-t₁≠t₃-t₂.
∴ இது ஒரு கூட்டுத் தொடர் அல்ல.

-2,2,-2,2,-2
t₂-t₁=2-(-2)=4
t₃-t₂=-2-2=-4
t₄-t₃=2-(-2)=4
இது ஒரு கூட்டுத்தொடர் வரிசை அல்ல.

\(\sqrt { 3 } \)=\(\frac {p}{q }\)
\(\sqrt { 3 } \)=\(\frac {p}{q }\)(q≠0) (p மற்றும் q  என்பன சார்பகா எண்கள்)
எனவே, \(\sqrt { 3 } \)=\(\frac {p}{q }\)
\(\sqrt { 3 } \)q =p 
இருபுறமும் வர்க்கப்படுத்த,
(\(\sqrt { 3 } \)q)²=p²
3q2=p2    ....(1)
q2=\(\frac{p^2}{3}\)
எனவே, 3 ஆனது p²-யை வகுக்கும் 3 ஆனது p-யையும் வகுக்கும்.
எனவே, \(\frac{p}{q}\)=c என்க 
p=3c
நமக்குத் தெரியும் 
3q²=p²
p=3c என (1)-ல் பிரதியட
3q²=(3c)²
3q²=9c²
q²=\(\frac{1}{3}\)x9x2
q²=3c²
\(\frac{q^2}{3}=c^2\)
எனவே 3 ஆனது q2 ஐ வகுக்கும் 
அதனால், 3 ஆனது q ஐயும் வகுக்கும் ...(3)
முரண்பாட்டினால் \(\sqrt { 3 } \) ஆனது விகிதமுறா எண் 

a_n=3+2n
a₁=3+2=5
a₂=3+2x2=7
a₃=3+2x3=9
எண் வரிசை 5,7,9,11,...
இங்கு, 7-5=9-7=11-9=2
இது ஒரு A.P d=2
S₂₄=? n=24, a=5, d=2.
s₂₄=\(\frac{24}{2}\)[2x5+(24-1)x2]
=12[10+46]=672.
∴ 24 உறுப்புகளின் கூடுதல் =672.

இங்கு 
S₁₄=1050
n=14
a=10
s_n=\(\frac{n}{2}\)(2a+(n-1)d)
1050=\(\frac{14}{2}\)(20+13d)
=140+91d
910=91d
d=10
a₂₀=10+(20-1)x10
=20
∴ 20 வது உறுப்பு =200.