\( \mathrm{n}=31, \mathrm{t}_{16}=\mathrm{m} \) \(\Rightarrow\) \(\mathrm{a} +15 \mathrm{~d}=\mathrm{m}  \)
\(\mathrm{s}_{31} =\frac{n}{2}[2 a+(n-1) d]  \) \(=\frac{31}{2}[2a+30 d]\)
\( =\frac{31}{2}[2(a+15d)] \) \(=\frac{31}{2}[2 m]=31 \mathrm{~m}\)

a = 1, d = 4
t_n = a + (n - 1) d = 1 + (n - 1) 4 = 4n - 3
எண்ணானது 4n - 3 என்ற வடிவில் இருக்க வேண்டும்.
கொடுக்கப்பட்ட விடையிலிருந்து 7881 மட்டுமே 4n - 3 என்ற வடிவில் இருக்கும்.

F₁ = 1, F₂ = 3, F₃ = F₂ + F₁ = 3 + 1 = 4,
F₄ = F₃ + F₂ = 4 + 3 = 7, F₅ = F₄ + F₃ = 7 + 4 = 11

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 இவற்றின் மீ.பொ.ம 2520

\(1729=7^1+13^1+19^1\)
அடுக்குகளின் கூடுதல் = 1 + 1 + 1 = 3

65 மற்றும் 117  இன் மீ.பொ.வ = 13 
\(65 \mathrm{~m}-117=13  \)
\(65 \mathrm{~m}=13+117=130  \)
\(\mathrm{~m}=\frac{130}{65}=2\)

\(\left(1^3+2^3+3^3+\ldots+15^3\right)-(1+2+3+\ldots+15)   \)
\(=\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2-\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]  \)
\(=\left[\frac{15 \times 16}{2}\right]^2-\left[\frac{15 \times 16}{2}\right]=(120)^2-120\)
= 14400 - 120 = 14280

\(\mathrm{t}_1, \mathrm{t}_2, \mathrm{t}_3, \ldots\) என்பது கூட்டுத் தொடர்வரிசை எனில் \(t_6, t_{12}, t_{18}, \ldots . . .\) என்பதும் பொது வேறுபாடு 6d உடைய ஒரு கூட்டுத் தொடர்வரிசை ஆகும்.

\(a=\frac{3}{16} ; r=\frac{\frac{1}{8}}{\frac{3}{16}}=\frac{1}{8} \times \frac{16}{3}=\frac{2}{3}\)
இது ஒரு பெருக்குத் தொடா் வரிசை ஆகும்.
∴ அடுத்த உறுப்பு \(\frac{1}{18} \times \frac{2}{3}=\frac{1}{27}\)

\(A=2^{65} \)
\(B=2^{64}+2^{63}+2^{62}+\ldots+2^0\)
இங்கு \(a=2^{64} ; r=\frac{2^{63}}{2^{64}}=\frac{1}{2} ; n=65\)
\(\mathrm{S}_{\mathrm{n}}=\frac{a\left(r^n-1\right)}{r-1} \)
\(\mathrm{B}=\frac{2^{64}\left(\left(\frac{1}{2}\right)^{65}-1\right)}{-\frac{1}{2}}=2^{65}\left(\frac{1}{2^{65}}-1\right)(-1) \)
\(=\left(1-2^{65}\right)(-1) \) \(=2^{65}-1\)
\(\therefore B=\mathrm{A}-\mathrm{I} \)                  (\(\because\) \(\mathrm{A}=2^{65}\))
\(\mathrm{A}=\mathrm{B}+1\)

a = 1, d = 4 மற்றும் S_n = 120
\(\mathrm{S}_{\mathrm{n}} =\frac{n}{2}[2 a+(n-1) d]  \)
\(120 =\frac{n}{2}[2(1)+(n-1) 4]  \)
\(120 \times 2 =\mathrm{n}[2+4(\mathrm{n}-1)]  \)
\(240 =\mathrm{n}[2+4 \mathrm{n}-4]  \)
\(=\mathrm{n}[4 \mathrm{n}-2]  \)= 2n [2n - 1]
\(120 =\mathrm{n}[2 \mathrm{n}-1]  \)
\(2 \mathrm{n}^2-\mathrm{n}-120 =0  \)
\(2 \mathrm{n}^2-16 \mathrm{n}+15 \mathrm{n}-120 =0  \)
\(2 \mathrm{n}(\mathrm{n}-8)+15(\mathrm{n}-8) =0  \)
\((\mathrm{n}-8)(2 \mathrm{n}+15) =0  \)
n = 8 அல்லது \(\mathrm{n}=\frac{-15}{2} \)
உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை குறை எண்ணாக இருக்க முடியாது.
\(\therefore\)  n = 8