\(\Delta ={ b }^{ 2 }-4ac\) 
\(\Rightarrow\)4(ac+bd)²-4(a²+b²)(c²+d²)
\(\Rightarrow\)4[(ac+bd)²-(a²+b²)(c²+d²)
\(\Rightarrow\)4(a²c²+b²d²+2acbd-a²c²b²c²-a²d²-b²d²]
\(\Rightarrow\)4[2acbd-a²d²-b²c²]
\(\Rightarrow\)4[a²d²+b²c²-2abc]
\(\Rightarrow\)-4[ad-bc]²
ஆனால் \(ad\neq bc\)
\(\Rightarrow\)(ad-bc)²>0
\(\Rightarrow\)-4(ad-bc)²<0\(\Rightarrow\)\(\Delta <0\)
இதற்கு மெய்யெண் தீர்வு இல்லை என நிரூபிக்கப்பட்டது.

cos²A +sin² = 1
\(\therefore { cos }^{ 2 }A=1-{ sin }^{ 2 }A\)
\(cosA=\pm \sqrt { 1-{ sin }^{ 2 }A } \)
இதிலிருந்து கிடைப்பது,
\(cosA=\sqrt { 1-{ sin }^{ 2 }A } \)
எனவே \(tanA=\cfrac { sinA }{ cosA } =\cfrac { sinA }{ \sqrt { 1-{ sin }^{ 2 }A } } \)
மற்றும் \(secA=\cfrac { 1 }{ cosA } =\cfrac { 1 }{ \sqrt { 1-{ sin }^{ 2 }A } } \)

\(\sqrt { 3 } \)=\(\frac {p}{q }\)
\(\sqrt { 3 } \)=\(\frac {p}{q }\)(q≠0) (p மற்றும் q  என்பன சார்பகா எண்கள்)
எனவே, \(\sqrt { 3 } \)=\(\frac {p}{q }\)
\(\sqrt { 3 } \)q =p 
இருபுறமும் வர்க்கப்படுத்த,
(\(\sqrt { 3 } \)q)²=p²
3q2=p2    ....(1)
q2=\(\frac{p^2}{3}\)
எனவே, 3 ஆனது p²-யை வகுக்கும் 3 ஆனது p-யையும் வகுக்கும்.
எனவே, \(\frac{p}{q}\)=c என்க 
p=3c
நமக்குத் தெரியும் 
3q²=p²
p=3c என (1)-ல் பிரதியட
3q²=(3c)²
3q²=9c²
q²=\(\frac{1}{3}\)x9x2
q²=3c²
\(\frac{q^2}{3}=c^2\)
எனவே 3 ஆனது q2 ஐ வகுக்கும் 
அதனால், 3 ஆனது q ஐயும் வகுக்கும் ...(3)
முரண்பாட்டினால் \(\sqrt { 3 } \) ஆனது விகிதமுறா எண் 

A-யின் வெவ்வேறான உறுப்புகள் வெவ்வேறு நிழல் உறுப்புகளை கொண்டுள்ளன. B-ன் ஒவ்வொரு உறுப்புக்கும் முன் உரு உள்ளது.
∴ இது ஒரு ஒன்றுக்கொன்றான மேல் சார்பு ஆகும்.

P, Q என்ற புள்ளிகள் AB கோட்டினை 
AP = PQ = QB எனப் பிரிப்பதாகக் கொள்வோம்.

எனவே P ஆனது AB ஐ உட்புறமாக 1:2 என்ற விகிதத்தில் பிரிக்கிறது. எனவே, P பிரிவு சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி
\(P(x,y)=\left[ \frac { 1(-7)+2(2) }{ 1+2 } ,\frac { 1(7)+2(-2) }{ 1+2 } \right] \)  i.e., (-1, 0)
மேலும் Q ஆனது AB இன் உட்புறமாக 2:1 என்ற விகிதத்தில் Q பிரிக்கிறது.
\(\therefore Q(x,y)=\left[ \frac { 2(-7)+1(2) }{ 2+1 } ,\frac { 2(4)+(-2) }{ 2+1 } \right] \) i.e., (-4, 2)
∴ AB கோட்டினை P(-1, 0) மற்றும் (-4, 2) புள்ளிகள் மூன்றும் பிரிவுகளாகப் பிரிக்கின்றன. 

ΔADC யில்
AC² = AD² + CD²  ...(1)
(பிதாகரஸ் தேற்றத்தின்படி)
ΔADB யில்,
AB² = AD² + BD² ...(2)
(பிதாகரஸ் தேற்றத்தின்படி)
(1) ஐ (2) லிருந்து கழிக்க
AB² - AC² = BD² - CD²
AB² + CD² = BD² + AC²

பூமியின் சராசரி வெப்பநிலை 25° செல்சியஸ் ஆக இருக்கும்போது y - ஐ பாரன்ஹீட் டிகிரியில் காண x = 25
y = \(\frac 95\)x + 32
y = \(\frac 95\) (25) + 32
y = 77
எனவே, பூமியின் சராசரி வெப்பநிலை 77° F ஆகும்.

படம்-ல் AO என்பது கட்டடம். O என்பது கட்டடத்தின் உச்சிப் புள்ளி என்க. மேலும்  OA = 12 மீ.
PP' என்பது மின்சாரக் கோபுரம். இதில் P என்பது மின் கோபுரத்தின் உச்சி, P' என்பது மின் கோபுரத்தின் அடி

P-யின் ஏற்றக்கோணம் ㄥMOP = 60° மற்றும்
P' -ன் இறக்கக்கோணம் ㄥMOP' = 30°
மின் கோபுரத்தின் உயரம் PP'  = h மீ என்க.
O வழியாக OM ⊥ PP' வரைக.
MP = PP' − MP' = h − OA = h −12
செங்கோண Δ OMP-ல் \(\frac { MP }{ OM } \) = tan 60°
எனவே, \(\frac { h-12 }{ OM } =\sqrt { 3 } \)
ஆகவே, \(OM=\frac { h-12 }{ \sqrt { 3 } } \) ....(1)
செங்கோண முக்கோணம் ΔOMP' -ல் \(\frac { MP' }{ OM } \) = tan30°
எனவே, \(\frac { 12 }{ OM } =\frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } \)
ஆகவே, OM = \(12\sqrt { 3 } \) ....(2)
(1) மற்றும் (2) –லிருந்து  \(\frac { h-12 }{ \sqrt { 3 } } =12\sqrt { 3 } \)
எனவே, h - 12 = \(12\sqrt { 3 } \times \sqrt { 3 } \) ஆகவே, h = 48
எனவே, மின் கோபுரத்தின் உயரம் = 48 மீ.

இப்பொழுது, cos θ + sin θ = \(\sqrt2\) cos θ என்பதை இருபுறமும் வர்க்கப்படுத்துக.
(cos θ + sin θ)² = (\(\sqrt2\) cos θ)²
cos² θ +  sin² θ + 2 sin θ cos θ = 2 cos² θ
2 cos² θ - cos² θ -  sin² θ = 2 sin θ cos θ
cos² θ -  sin² θ = 2 sin θ cos θ
(cos θ + sin θ)(cos θ - sin θ) =  2 sin θ cos θ
cos θ - sin θ = \(\frac { 2\sin\theta \cos\theta }{ \cos\theta +\sin\theta } =\frac { 2 \sin\theta \cos\theta }{ \sqrt { 2 } \cos\theta } =\sqrt { 2 } \sin\theta \)
(ஏனெனில் cos θ + sin θ \(\sqrt { 2 } \cos\theta \) )
\(\therefore\) cos θ - sin θ = \(\sqrt { 2 } \sin\theta \)

\(\sin ^2 A \cos ^2 B+ \cos ^2 A \sin ^2 B+\cos ^2 A \cos ^2 B+\sin ^2 A \sin ^2 B \)
\(=\sin ^2 A \cos ^2 B+\sin ^2 A \sin ^2 B+\cos ^2 A \sin ^2 B+\cos ^2 A \cos ^2 B \)
\(=\sin ^2 A\left(\cos ^2 B+\sin ^2 B\right)+\cos ^2 A\left(\sin ^2 B+\cos ^2 B\right) \)
\(=\sin ^2 A(1)+\cos ^2 A(1) \) (ஏனெனில் \( \sin ^2 B+\cos ^2 B=1)\)
\(=\sin ^2 A+\cos ^2 A=1\)

கொடுக்கப்பட்டது
\(\mathrm{A}=\{x \in \mathbb{W} \mid x<2\} \Rightarrow \mathrm{A}=\{0,1\} \)
B = {x ∈ N| 1 < x ≤ 4} B = {2, 3, 4}
\(\mathrm{C}=\{3,5\}\)
(i) \(A \times(B \cup C)=(A \times B) \cup(A \times C) \)
\(B \cup C=\{2,3,4,5\} \)
\(A \times(B \cup C)=\{0,1\} \times\{2,3,4,5\} \)
\(=\{(0,2),(0,3),(0,4),(0,5), (1,2),(1,3),(1,4),(1,5)\} \quad \ldots(1) \)
\(\mathrm{A} \times \mathrm{B}=\{0,1\} \times\{2,3,4\} \)
\(=\{(0,2),(0,3),(0,4), (1,2),(1,3),(1,4)\} \)
\(\mathrm{A} \times \mathrm{C}=\{0,1\} \times\{3,5\} \)
\(=\{(0,3),(0,5),(1,3),(1,5)\} \)
\((A \times B) \cup(A \times C)=\{(0,2),(0,3),(0,4),(0,5),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5)\} \quad \ldots(2) \)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து,
\(A \times(B \cup C)=(A \times B) \cup(A \times C)\) என்பது தெளிவாகிறது.
எனவே, சரிப்பார்க்கப்பட்டது.
(ii) \(A \times(B \cap C)=(A \times B) \cap(A \times C) \)
\(A=\{0,1\}, B=\{2,3,4\}, C=\{3,5\} \)
\(B \cap C=\{3\} \)
\(A \times(B \cap C)=\{0,1\} \times\{3\} \)
\(=\{(0,3),(1,3)\} \quad \dots (1) \)
\(A \times B=\{(0,2),(0,3),(0,4),(1,2),(1,3),(1,4)\} \)
\(A \times C=\{(0,3),(0,5),(1,3),(1,5)\} \)
\((A \times B) \cap(A \times C)=\{(0,3),(1,3)\} \quad \dots (2)\)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து,
\(A \times(B \cap C)=(A \times B) \cap(A \times C)\) என்பது தெளிவாகிறது.
எனவே சரிபார்க்கப்பட்டது.
(iii) \((A \cup B) \times C=(A \times C) \cup(B \times C)\)
\(A=\{0,1\}, B=\{2,3,4\}, C=\{3,5\} \)
\((A \cup B)=\{0,1,2,3,4\} \)
\((A \cup B) \times C=\{0,1,2,3,4\} \times\{3,5\} \)
\(=\{(0,3),(0,5),(1,3),(1,5),(2,3),(2,5),(3,3),(3,5),(4,3),(4,5)\} \quad \dots(1) \)
\(\mathrm{A} \times \mathrm{C}=\{0,1\} \times\{3,5\} \)
\(=\{(0,3),(0,5),(1,3),(1,5)\} \)
\(B \times C=\{2,3,4\} \times\{3,5\} \)
\(=\{(2,3),(2,5),(3,3),(3,5),(4,3),(4,5)\} \)
\((A \times C) \cup(B \times C)=\{(0,3),(0,5),(1,3),(1,5),(2,3),(2,5),(3,3),(3,5),(4,3),(4,5)\} \ldots(2)\)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து,
\((A \cup B) \times C=(A \times C) \cup(B \times C)\) என்பது தெளிவாகிறது.
எனவே, சரிபார்க்கப்பட்டது.

p²x²+(p²-q²)x-q²=0
ax²+bx+c=0
a=p²
b=p²-q²
c=-q²
\(\Delta ={ b }^{ 2 }-4ac\)
= (p²-q²)-4Xp²X-q²
= (p²-q²)2+4p²q²
= (p²+q²)²>0
கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டிற்கு மெய்யெண் தீர்வுகள் உண்டு.
\(\alpha =\cfrac { -b-\sqrt { \Delta } }{ 2a } =\cfrac { -({ p }^{ 2 }-{ q }^{ 2 })+\left( { p }^{ 2 }+q^{ 2 } \right) }{ 2{ p }^{ 2 } } \)
\(\beta =\cfrac { -b-\sqrt { \Delta } }{ 2a } =\cfrac { -\left( { p }^{ 2 }-{ q }^{ 2 } \right) -\left( p^{ 2 }+{ q }^{ 2 } \right) }{ 2{ p }^{ 2 } } \)

=-1

முதல் உறுப்பு a என்க, (a ஒரு மிகை ஒற்றை எண்)
எனினும் 0≤r<4, அதனால் கிடைக்கும் மீதி 0,1,2, 3 ஆகும்.
∴ a ஆனது 4q, (அல்லது)4q+1, (அல்லது) 4q+2 (அல்லது)4q+3, இங்கு q ஈவு ஆகும்.
a ஒரு ஒற்றை என்பதால் 4q மற்றும் 4q+2 ஆக இருக்க முடியாது(∵அவை 2ஆல் வகுப்படும்).
எனவே எந்த ஒரு மிகை ஒற்றை குழுவும் 4q+1 அல்லது 4q+3 என்ற வடிவில் அமையும்.

R-ன் மதிப்பகம் = {1, 2, 3, 4}
R-ன் துணை மதிப்பகம் = B = {-1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
R-ன் வீச்சகம் = {3, 6, 10, 9} 

A (1, 7), B (4, 2), C (-1, -1) மற்றும் D (-4, 4) என்க. ABCD ஒரு சதுரம் என நிரூபிக்க வேண்டுமாயின் அதன் நான்கு பக்கங்களும் சமம் என்றும் மூலைவிட்டங்கள் சமம் என்றும் நிரூபிக்க வேண்டும்.
d = \(\sqrt { { \left( { x }_{ 2 }-{ x }_{ 1 } \right) }^{ 2 }+{ \left( { y }_{ 2 }-{ y }_{ 1 } \right) }^{ 2 } } \)
∴ AB = \(\sqrt { { \left( 1-4 \right) }^{ 2 }+{ \left( 7-4 \right) }^{ 2 } } =\sqrt { 9+25 } =\sqrt { 34 } \)
BC = \(\sqrt { { \left( 4+1 \right) }^{ 2 }+{ \left( 2+1 \right) }^{ 2 } } =\sqrt { 25+9 } =\sqrt { 34 } \)
CD = \(\sqrt { { \left( -1+4 \right) }^{ 2 }+{ \left( 7-4 \right) }^{ 2 } } =\sqrt { 9+25 } =\sqrt { 34 } \)
DA = \(\sqrt { { \left( 1+4 \right) }^{ 2 }+{ \left( 7+1 \right) }^{ 2 } } =\sqrt { 25+9 } =\sqrt { 34 } \)
AC = \(\sqrt { { \left( 1+1 \right) }^{ 2 }+{ \left( 7+1 \right) }^{ 2 } } =\sqrt { 4+64 } =\sqrt { 68 } \)
BD = \(\sqrt { { \left( 4+4 \right) }^{ 2 }+{ \left( 2-4 \right) }^{ 2 } } =\sqrt { 64+4 } =\sqrt { 68 } \)
AB = BC = CD = DA மற்றும் AC = BD
∴ ABCD ஒரு சதுரத்தின் உச்சிகள் ஆகும்.

(a) BC- யின் சாய்வு = \(\frac { 1+2 }{ 5-6 } =\frac { 3 }{ -1 } \) = -3
(b) AD- யின் சாய்வு = \(\frac { 1+2 }{ 2-1 } =\frac { 3 }{ 1 } \) = 3
 

(i) செங்கோண \(\triangle A B C\)-ல் ( படம் - (i) பார்க்கவும்)
\(\tan \theta \) = எதிர்ப்பக்கம்/அடுத்துள்ள பக்கம் \(= \frac{4}{5} \)
\(\tan \theta =0.8 \)
\(\Rightarrow \theta =38.7^{\circ}\left(\because \tan 38.7^{\circ}=0.8011\right) \)
\(\therefore \angle B A C =38.7^{\circ}\)
(ii) செங்கோண \(\triangle A B C\)-ல் ( படம் -(ii) பார்க்கவும்)
tan θ = \(\frac 83\)
=  tan θ = 2.66
\(\Rightarrow\) θ = 69.4° (\(\because \) tan 69.4° = 2.6604)
\(\therefore\) ㄥBAC = 69.4°

2m² + 19m + 30 = 2m² + 4m + 15m + 30 = 2m(m + 2) + 15(m + 2)
= (m + 2)(2m + 15)
(m + 2)(2m + 15) = 0 -யின், காரணிகளைப் பூச்சியத்திற்குச் சமன்படுத்த
m + 2 = 0 ⇒ m = -2 அல்லது 2m + 15 = 0 ⇒ \(m=\frac { -15 }{ 2 } \)  மூலங்கள் -2 அல்லது \(\frac { -15 }{ 2 } \).
இருபடிச் சமன்பாடு வடிவில் அமைந்திராத சில சமன்பாடுகளைப் பொருத்தமான பிரதியிடல் மூலம் இருபடிச் சமன்பாடு வடிவத்திற்குச் சுருக்கித் தீர்வு காணலாம். இந்த வகையிலான எடுத்துக்காட்டுகள் கீழே விளக்கப்பட்டுள்ளன.

யூக்ளிடின் வகுத்தல் வழிமுறையைப் பயன்படுத்திக் கொடுக்கப்பட்ட எண்களுக்கு மீ.பொ.வ காண்போம்.
210 = 55 x 3 + 45
55 = 45 x 1 + 10
45 = 10 x 4 + 5
10 = 5 x 2 + 0
மீதி = 0
ஆகவே, கடைசி படிநிலையின் வகுத்தி 5 ஆனது 210 மற்றும் 55 –யின் மீப்பெரு பொது வகுத்தியாகும். மீப்பெரு பொது வகுத்தியை 55x - 325 = 5 எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளதால்,
55x = 330
x = 6

A = {1,2,3}, B = {4,5,6,7} f = {(1,4),(2,5)(3,6)}
A-லிருந்து B-க்கு ஆன சார்பு f -ல், A-யின் வெவ்வேறு உறுப்புகளுக்கு, B-ல் வெவ்வேறு நிழலுரு உள்ளது. எனவே, f ஒன்றுக்கு ஒன்றான சார்பாகும். துணை மதிப்பகத்தில் உள்ள உறுப்பு 7-க்கு, மதிப்பகத்தில் முன் உரு இல்லை. எனவே, f ஆனது, மேல்சார்பு இல்லை. (படம்.1.36).
எனவே, f ஆனது ஒன்றுக்கு ஒன்றானது, ஆனால் மேல்சார்பு இல்லை.

படம் -ல் R குறிக்கப்பட்டுள்ளது. ஒவ்வொரு x ∈ X -க்கும், ஒரே ஒரு y ∈ Y உறுப்பு மட்டும் கிடைக்கிறது. எனவே X-ன் எல்லா உறுப்புகளுக்கும் Y-ல் ஒரே ஒரு நிழல் உரு உள்ளது. எனவே R-ஆனது ஒரு சார்பு ஆகும்.
மதிப்பகம் X = {1,2,3,4}; துணை மதிப்பகம் Y = {2,4,6,8,10}, வீச்சகம் f = {2,4,6,8}

CP = 11 செ.மீ;  BC = 7 செ.மீ 
∴ CQ  = 11 செ.மீ BQ = 11 - 7 = 4 செ.மீ = BR = 4 செ.மீ

AC = 11 - 6 = 5 மீ 
செங்கோண ΔABC இல்
\(\mathrm{AB}^2 =\mathrm{BC}^2+\mathrm{AC}^2=12^2+5^2 \)
= 144 + 25 = 169 
AB = 13 மீ 

AE = x எனில், EC = 2.4 - x
\(\mathrm{AB}=3.6, \mathrm{AD}=2.1  \therefore \mathrm{DB}=3.6-2.1=1.5  \)
\(\frac{A D}{D B} =\frac{A E}{E C}  \)
\(\frac{2.1}{1.5} =\frac{x}{2.4-x}  \)
\(\frac{7}{5} =\frac{x}{2.4-x}  \)
\(7[2.4-\mathrm{x}] =5 \mathrm{x}\) 
\(16.8 =5 \mathrm{x}+7 \mathrm{x}=12 \mathrm{x} \)
\(\mathrm{x} =\frac{16.8}{12}=1.4 \) செ.மீ 

\(\triangle L M N \sim \triangle P Q R\) எனில்
\(\angle R =\angle N=180-(60+50)  \)
\(=180-110=70^{\circ}\)

\(\frac{x}{x^2-25}-\frac{8}{x^2+6 x+5} =\frac{x}{(x+5)(x-5)}-\frac{8}{(x+5)(x+1)}  \)
\(=\frac{x(x+1)-8(x-5)}{(x+5)(x-5)(x+1)}  \)
\(=\frac{x^2+x-8 x+40}{(x+5)(x-5)(x+1)}  \)
\(=\frac{x^2-7 x+40}{\left(x^2-25\right)(x+1)}\)

செங்கோண முக்கோணம் \(\triangle O M P^{\prime}\) லிருந்து
\(\tan 45^{\circ} =\frac{h+(x+h)}{O M} \)
\(1 =\frac{x+2 h}{O M} \)
\(O M =x+2 h\)
செங்கோண முக்கோணம் \(\triangle O M P\) லிருந்து
\(\tan \beta =\frac{x}{O M} \)
\(O M =\frac{x}{\tan \beta}\)
(1) மற்றும் (2).லிருந்து
\(x+2 \mathrm{~h} =\frac{x}{\tan \beta} \)
\(\frac{x}{\tan \beta}-x =2 \mathrm{~h} \)
\(\frac{x-x \tan \beta}{\tan \beta} =2 \mathrm{~h} \)
\(\frac{x-x \tan \beta}{\tan \beta} =2 h \)
\(x(1-\tan \beta) =2 h \tan \beta \)
\(x =\frac{2 h \tan \beta}{1-\tan \beta} \)
\(\mathrm{PN} =x+\mathrm{h}=\frac{2 h \tan \beta}{1-\tan \beta}+h \)
\( \frac{2 h \tan \beta+h-h \tan \beta}{1-\tan \beta} \)
\(=\frac{h \tan \beta+h}{1-\tan \beta} \)
\(=\frac{h(1+\tan \beta)}{1-\tan \beta}\)
\(\therefore\) ஏரியிலிருந்து மேகத்தின் உயரம்
\(=\frac{h(1+\tan \beta)}{1-\tan \beta}\)

செங்கோண முக்கோணம் \(\triangle A B D\) லிருந்து
\(\tan 60^{\circ}=\frac{B D}{A B} \)
\(\sqrt{3}=\frac{B D}{A B} \)
\(\mathrm{AB}=\frac{B D}{\sqrt{3}}\)   ....(1)
செங்கோண முக்கோணம் \(\triangle D E C\) லிருந்து
\(\tan 30^{\circ} =\frac{D C}{E C} \)
\(\frac{1}{\sqrt{3}} =\frac{D C}{A B} \)
\(\mathrm{AB} =D C \sqrt{3}\)   .....(2)
(1) மற்றும் (2). லிருந்து
\(\frac{B D}{\sqrt{3}} =D C \sqrt{3} \)
\(\frac{B C+C D}{\sqrt{3}} =D C \sqrt{3} \)
\(B C+C D =D C \times 3 \)
\(\mathrm{BC} =3 \mathrm{CD}-\mathrm{CD} \)
\(\mathrm{BC} =2 \mathrm{CD} \)
\(\mathrm{AE} =2 \mathrm{CD} \)
\(20 =2 \mathrm{CD} \)
\(\mathrm{CD} =\frac{20}{2} \)
=10 மீ
கட்டடத்தின் உயரம்
\(\mathrm{BD}=\mathrm{BC}+\mathrm{CD}=20+10=30\) மீ
இரு கட்டடங்களுக்கு இடைப்பட்ட தொலைவு
\(\mathrm{AB} =D C \sqrt{3} \quad[\because\)(2) லிருந்து ]
\(=10 \sqrt{3}\) மீ

\(\sin \theta=\cos \theta \Rightarrow \theta=45^{\circ} \)
\(2 \tan ^2 \theta+\sin ^2 \theta-1=2 \tan ^2 45^{\circ}+\sin ^2 45^{\circ}-1 \)
\(=2(1)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2-1 \)
\(=2+\frac{1}{2}-1 \)
\(=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\)

\(\mathrm{b}\left(\mathrm{a}^2-1\right)=(\sec \theta+\operatorname{cosec} \theta)\left[(\sin \theta+\cos \theta)^2-1\right] \)
\(=(\sec \theta+\operatorname{cosec} \theta)\left[\sin ^2 \theta+\cos ^2 \theta+2 \sin \theta \cos \theta-1\right] \)
\(=\left(\frac{1}{\cos \theta}+\frac{1}{\sin \theta}\right)(1+2 \sin \theta \cos \theta-1) \)
\(=\frac{\sin \theta+\cos \theta}{\sin \theta \cos \theta} \times 2 \sin \theta \cos \theta=2 \mathrm{a}\)

\(\left(1^3+2^3+3^3+\ldots+15^3\right)-(1+2+3+\ldots+15)   \)
\(=\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2-\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]  \)
\(=\left[\frac{15 \times 16}{2}\right]^2-\left[\frac{15 \times 16}{2}\right]=(120)^2-120\)
= 14400 - 120 = 14280

கொடுக்கப்பட்ட (5, 7), (3, p) மற்றும் (6,6) என்பன ஒரே கோடமைப் புள்ளிகள்
\(\therefore\) இப்புள்ளிகளால் அமையும் முக்கோணத்தின் பரப்பு பூச்சியம்.
அதாவது \(\frac{1}{2}\left\{x_1\left(y_2-y_3\right)+x_2\left(y_3-y_1\right)+x_3\left(y_1-y_2\right)\right\}=0\)
\(5(\mathrm{p}-6)+3(6-7)+6(7-\mathrm{p})=0 \)
\(5 \mathrm{p}-30-3+42-6 \mathrm{p}=0 \)
\(\Rightarrow-\mathrm{p}+9=0 \Rightarrow \mathrm{p}=9\)

f = {(0,1),(2,0),(3,-4),(4,2),(5,7)}
g = {(0,2),(1,0),(2,4),(-4,2),(7,0)}
இப்போது,
\(\mathrm{fog}(0)=\mathrm{f}[2]=0 \)
\(\mathrm{f} \circ \mathrm{g}(1)=\mathrm{f}[0]=1 \)
\(\mathrm{f} \circ \mathrm{g}(2)=\mathrm{f}[4]=2 \)
\(\mathrm{f} \circ \mathrm{g}(-4)=\mathrm{f}[2]=0 \)
\(\mathrm{f} \circ \mathrm{g}(7)=\mathrm{f}[0]=1\)
'fog' ன் வீச்சகம் = {0,1,2}

\(A=\{1,2\}, B=\{1,2,3,4\},\)
C = {5, 6}  மற்றும் D = {5,6,7,8}
\(\mathrm{A} \times \mathrm{C}=\{(1,5),(1,6),(2,5),(2,6)\} \)
\(\mathrm{B} \times \mathrm{D}=\{(1,5),(1,6),(1,7),(1,8), \)
\((2,5),(2,6),(2,7),(2,8), \)
\((3,5),(3,6),(3,7),(3,8), \)
\((4,5),(4,6),(4,7),(4,8)\} \)
எனவே, \((\mathrm{A} \times \mathrm{C}) \subset (\mathrm{B} \times \mathrm{D})\)

f(2) = 2x - 1
= 2(2) -1 = 3
f(4) = 3x² - 10
= 3 (4²) - 10 = 38
∴ f(2) - f(4) = 3 - 38 = -35