அருகில் காட்டியுள்ளபடி சார்பு f ஆனது I, II, III என்ற மூன்று இடைவெளிகளில் வரையறுக்கப்படுகிறது.
x = a, என்ற கொடுக்கப்பட்ட மதிப்பிற்கு a-இருக்கும் இடைவெளியைக் கண்டுபிடித்து, அந்த இடைவெளியில் f(a) -ஐக் காண வேண்டும்.
(i) x = 4 ஆனது மூன்றாவது இடைவெளியில் உள்ளதை நாம் காணலாம்.
இங்கு, f(x) = 3x - 2; f(4) = 3(4) - 2 = 10
(ii) x =−2 ஆனது இரண்டாவது இடைவெளியில் உள்ளது.
எனவே, f(x) = x² - 2; f(-2) = (-2)²- 2 = 2
(iii) (i) -லிருந்து, f(4) = 10
f(1), -ன் மதிப்பைக் காண, x = 1 ஆனது இரண்டாவது இடைவெளியில் உள்ளது.
ஆகையினால், f(x) = x² - 2 லிருந்து, f(1) = 1² - 2 = -1
எனவே, f(4) + 2f(1) = 10 + 2(-1) = 8
(iv) f(1) = -1, f(4) = 10 எனக் கண்டோம். f(-3)-யைக் காண x = -3 ஆனது ஒன்றாவது இடைவெளியில் உள்ளதைக் காணலாம்.
ஆகையினால், f(x) = 2x + 7; எனவே, f(-3) = 2(-3) + 7 = 1
எனவே, \(\frac { f(1)-3f(4) }{ f(-3) } =\frac { -1-3(10) }{ 1 } \) = -31

f: N ⟶ N என்ற சார்பானது f(x) = 3x + 2, என வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது.
(i) x = 1 எனில், f(1) = 3(1) + 2 = 5
x = 2 எனில், f(2) = 3(2) + 2 = 8
x = 3 எனில், f(3) = 3(3) + 2 = 11
1, 2, 3 -யின் நிழல் உருக்கள் முறையே 5, 8, 11 ஆகும்.
(ii) 29-யின் முன் உரு x எனில் f(x) = 29. எனவே 3x + 2 = 29
3x = 27 ⇒ x = 9
இதைப்போலவே, 53-யின் முன் உரு x எனில், f(x) = 53. எனவே, 3x + 2 = 53
3x = 51 ⇒ x = 17
எனவே, 29 மற்றும் 53-யின் முன் உருக்கள் முறையே 9 மற்றும் 17 ஆகும்.
(iii) N -யின் வெவ்வேறு உறுப்புகளுக்குத் துணை மதிப்பகத்தில் வெவ்வேறு நிழல் உருக்கள் உள்ளன. எனவே, f ஆனது ஒன்றுக்கு ஒன்றான சார்பாகும்.
f -யின் துணை மதிப்பகமானது N.
வீச்சகம் f = {5, 8, 11, 14, 17,....} ஆனது N-ன் தகு உட்கணமாகும்.
எனவே, f ஆனது மேல்சார்பு இல்லை.
அதாவது, f உட்சார்பு ஆகும்.
எனவே, f ஆனது ஒன்றுக்கு ஒன்றான மற்றும் உட்சார்பு ஆகும்.

A = {1,2,3,4}; B = {2,5,8,11,14}; f(x) = 3x - 1
f(1) = 3(1) – 1 = 3 – 1 = 2; f(2) = 3(2) - 1 = 6 - 1 = 5
f(3) = 3(3) – 1 = 9 – 1 = 8; f(4) = 4(3) - 1 = 12 – 1 = 11
(i) அம்புக்குறி படம்
சார்பு f :A ⟶B - ஐ ஒரு அம்புக்குறி படத்தால் குறிப்போம். (படம்.1.19).

(ii) அட்டவணை அமைப்பு
சார்பு f-ஐ கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ள அட்டவணையால் குறிப்போம்.

(iii) வரிசைச் சோடிகளின் கணம்
சார்பு f-ஐ வரிசை சோடிகளின் கணமாக எழுதலாம்.
f = {(1,2),(2,5),(3,8),(4,11)}
(iv) வரைபடம்
படம் 1.20 உள்ள XY-தளத்தில் ஒரே நேர்கோட்டில் (1,2), (2,5), (3,8), (4,11) ஆகிய புள்ளிகள் குறிக்கப்பட்டுள்ளன.

(i) R யின் கணகட்டமைப்பு முறை {(x,y) | y = x-2, x ∈ P, y ∈ Q}
(ii) R யின் பட்டியல் முறை = {(5,3),(6,4),(7,5)}
(iii) R யின் மதிப்பகம் = {5,6,7}; R யின் வீச்சகம் = {3,4,5}

A = {1,3,5} ,B = {2,3} எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன.
(i) A x B = {1,3,5} x {2,3} = {(1,2), (1,3), (3,2), (3,3), (5,2), (5,3)}  .......(1)
B x A = {2,3} x {1,3,5} = {(2,1), (2,3), (2,5), (3,1), (3,3), (3,5)}   .......(2)
(ii) (1) மற்றும் (2) -ன் மூலமாக  A x B ≠ B x A ஏனெனில்  (1,2) ≠ (2,1), (1,3) ≠ (3,1)...
(iii) n(A) = 3; n(B) = 2.
(1) மற்றும் (2)-லிருந்து நாம் காண்பது, n (A x B) = n (B x A) = 6;
n (A) x n (B) = 3 x 2 = 6 மற்றும் n (B) x n (A) = 2 x 3 = 6
எனவே, n (A x B) = n (B x A) = n(A) x n(B) = 6.
ஆகவே, n (A x B) = n (B x A) = n(A) x n(B).

A = {0, 1, 2, 3},  B = {1, 3, 5, 7, 9}
f(x) = 2x +1
f(0) = 2(0) + 1 = 1
f(1) = 2(1) + 1 = 3
f(2) = 2(2) + 1 = 5
f(3) = 2(3) + 1 = 7
(i) வரிசைச் சோடி கணம் 
f = {(0, 1), (1, 3), (2, 5), (3, 7)}
(ii) அட்டவணை

(iii) அம்புக்குறி படம்

(iv) வரைபடம் 
f = {(x, f(x)/ x ∈ A}
= {(0, 1), (1, 3), (2, 5), (3, 7)}

f(x) = 2x + 3, g(x) = 1 - 2x, h(x) = 3x
இப்பொழுது, (f o g)(x) = f(g(x)) = f(1 - 2x) = 2(1 - 2x) + 3 = 5 - 4x
மேலும், (f o g) o h(x) = (f o g)(h(x)) = (f o g)(3x) = 5 - 4(3x) = 5 - 12x  .....(1)
(g o h)(x) = g(h(x)) = g(3x) = 1 - 2(3x) = 1 - 6x
மேலும், f o(g o h)(x) = f(1 - 6x) = 2(1 - 6x) + 3 = 5 - 12x   ....(2)
(1) மற்றும் (2) -லிருந்து  (f o g) o h = f o (g o h)

f₂(x) = 2x² - 5x + 3 மற்றும் f₁(x) = \(\sqrt { x } \) என வரையறுப்போம்.
எனவே, f(x) - \(\sqrt { 2x^{ 2 }-5x+3 } =\sqrt { { f }_{ 2 }(x) } \)
= f₁|f₂(x)| = f₁f₂(x)

(i) x = 1 எனப் பிரதியிட்டால்,
\(f(1)=2(1)-(1)^2=2-1=1\)
(ii) x = x + 1 எனப் பிரதியிட்டால்,
\(f(x+1)=2(x+1)-(x+1)^2=2 x+2-\left(x^2+2 x+1\right)=-x^2+1\)
(iii) \(f(x)+f(1)=\left(2 x-x^2\right)+1=-x^2+2 x+1\)
\([f(x)+f(1) \neq f(x+1)\) என்பதைக் காணலாம். பொதுவாக, f(a + b) ஆனது f(a) + f(b)-க்கு சமமாக இருப்பதில்லை]

\(f(x)=x^2-2\) இங்கு \(X=\{-2,-1,0,3\}\)
(i) f( -2) = ( -2)² - 2 = 2; f( -1) = ( -1)² - 2 = -1
f(0) = (0)² - 2 = - 2 ; f(3) = (3)² - 2 = 7
\(\therefore f =\{(-2,2),(-1,-1),(0,-2),(3,7)\}\)
(ii) f -யின் ஒவ்வொரு மதிப்பக உறுப்பிற்கும் ஒரே ஒரு நிழல் உரு உள்ளதைக் காணலாம். எனவே f -ஆனது ஒரு சார்பாகும்.

A x B = {(3,2), (3,4), (5,2), (5,4)}
A = {A x B-யின் முதல் ஆயத்தொலைவு உறுப்புகளின் கணம்}. எனவே A = {3,5}
B = {A x B-யின் இரண்டாம் ஆயத்தொலைவு உறுப்புகளின் கணம்}. எனவே B = {2,4} எனவே A = {3,5} மற்றும் B = {2,4}.

\(f(x)=(x+1)^3-(x-1)^3 \)
\(=\left(x^3+3 x^2+3 x+1\right)-\left(x^3-3 x^2+3 x-1\right) \)
\(= 6 x^2+2\), இது ஒரு இருபடிச் சார்பு

\(\mathrm{f}(\mathrm{x})=2 \mathrm{x}^2, \mathrm{~g}(\mathrm{x})=1 / 3 \mathrm{x} \)
\(\mathrm{f} \circ \mathrm{g} =\mathrm{f}[\mathrm{g}(\mathrm{x})]=\mathrm{f}\left[\frac{1}{3 x}\right] \)
\(=2\left(\frac{1}{3 x}\right)^2=2\left(\frac{1}{9 x^2}\right) \)
\(=\left(\frac{2}{9 x^2}\right)\)

கொடுக்கப்பட்டது: (a + 2, 4) = (5, 2a + b)
\(\begin{array}{rl|rl} a+2 & =5 & 2 a+b & =4 \\ a & =5-2 & 2(3)+b & =4 \\ & =3 & b=4-6 & =-2 \end{array} \)

\(A=\{a, b, p\}, \quad B=\{2,3\}, \quad C=\{p, q, r, s\} \)
\(A \cup C =\{a, b, p, q, r, s\} \)
\(n(A \cup C) =6 \)
\(n(B) =2 \)
\(\therefore n[(A \cup C) \times B] =6 \times 2=12\)

\(\mathrm{A}=\{1,2,3,4,5\}, \mathrm{n}(\mathrm{A})=5, \mathrm{n}(\mathrm{B})=?\)
A -யிலிருந்து B -க்கான உறவுகளின் எண்ணிக்கையானது 1024.
அதாவது, 'mn' என்பது A x B-ன் உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை என்பதால் 2^mn = 1024.
\(2^{m n} =2^{10} \Rightarrow m n=10 \)
\(n(B) =\frac{n(A \times B)}{n(A)}=\frac{10}{5}=2\)

\(n(A \times B) =6 \)
\(A =\{1,3\} \Rightarrow n(A)=2 \)
\(n(B) =\frac{n(A \times B)}{n(A)}=\frac{6}{2}=3\)