A =  {x \(\in \) N| 1 < x < 4} = {2,3), B = {x \(\in \) W| 0 ≤ x < 2) = (0,1), C = {x \(\in \) N| x < 3} = (1,2)
(i)  A x (B U C) = (A x B) U (A x C)
B U C = (0,1) U (1,2) = {0,1,2}
A x (B U C) = {2,3) x {0,1,2} = {(2,0),(2,1)(2,2)(3,0)(3,1),(3,2)     ..(1)
A x B = {2,3} x {0,1} = {(2,0),(2,1),(3,0),(3,1)}
A x C = {2,3} x {1,2} = {(2,1),(2,2),(3,1)(3,2)}
(A x B) U (A x C) = {(2,0),(2,1),(3,0),(3,1)} U {(2,1),(2,2),(3,1),(3,2)}
= {(2,0),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2)}         ...(2)
(1) மற்றும் (2)-லிருந்து, A x (B U C) = (A x B) U (A x C) என்பது சரிபார்க்கப்பட்டது.
(ii) A x (B \(\cap\) C) = (A x B) \(\cap\) (A x C)
B ∩ C = {(0,1) ∩ {1,2} = {1}
A x (B ∩ C) = {2,3} x {1} = {(2,1),(3,1)}  .....(3)
A x B = {2,3} x {0,1} = {(2,0), (2,1), (3,0), (3,1)}
A x C = {2,3} x {1,2} = {(2,1), (2,2), (3,1), (3,2)}
(A x B) ∩ (A x C)= {(2,0), (2,1), (3,0), (3,1)} ∩ {(2,1), (2,2), (3,1), (3,2)}
= {(2,1), (3,1)}   .....(4)
(3) மற்றும் (4), A x (B ∩ C) = (A x B) ∩ (A x C) என்பது சரிபார்க்கப்பட்டது.

f (x) = 1 + x
g (x) = (2x - 1)
fog (x) = f (g(x)) = f(2x - 1)
= 1 + 2x - 1 = 2x              ....(1)
gof (x) = g(f(x)) = g(1 + x) = 2(1 + x) -1
= 2 + 2x -1
= 2x + 1
(1) ≠ (2)
∴ fog (x) ≠ gof (x) எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

A-யின் வெவ்வேறான உறுப்புகள் வெவ்வேறு நிழல் உறுப்புகளை கொண்டுள்ளன. B-ன் ஒவ்வொரு உறுப்புக்கும் முன் உரு உள்ளது.
∴ இது ஒரு ஒன்றுக்கொன்றான மேல் சார்பு ஆகும்.

A = {1,2,3,4}; B = {2,5,8,11,14}; f(x) = 3x - 1
f(1) = 3(1) – 1 = 3 – 1 = 2; f(2) = 3(2) - 1 = 6 - 1 = 5
f(3) = 3(3) – 1 = 9 – 1 = 8; f(4) = 4(3) - 1 = 12 – 1 = 11
(i) அம்புக்குறி படம்
சார்பு f :A ⟶B - ஐ ஒரு அம்புக்குறி படத்தால் குறிப்போம். (படம்.1.19).

(ii) அட்டவணை அமைப்பு
சார்பு f-ஐ கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ள அட்டவணையால் குறிப்போம்.

(iii) வரிசைச் சோடிகளின் கணம்
சார்பு f-ஐ வரிசை சோடிகளின் கணமாக எழுதலாம்.
f = {(1,2),(2,5),(3,8),(4,11)}
(iv) வரைபடம்
படம் 1.20 உள்ள XY-தளத்தில் ஒரே நேர்கோட்டில் (1,2), (2,5), (3,8), (4,11) ஆகிய புள்ளிகள் குறிக்கப்பட்டுள்ளன.

(i) R யின் கணகட்டமைப்பு முறை {(x,y) | y = x-2, x ∈ P, y ∈ Q}
(ii) R யின் பட்டியல் முறை = {(5,3),(6,4),(7,5)}
(iii) R யின் மதிப்பகம் = {5,6,7}; R யின் வீச்சகம் = {3,4,5}

கொடுக்கப்பட்டது
\(\mathrm{A}=\{x \in \mathbb{W} \mid x<2\} \Rightarrow \mathrm{A}=\{0,1\} \)
B = {x ∈ N| 1 < x ≤ 4} B = {2, 3, 4}
\(\mathrm{C}=\{3,5\}\)
(i) \(A \times(B \cup C)=(A \times B) \cup(A \times C) \)
\(B \cup C=\{2,3,4,5\} \)
\(A \times(B \cup C)=\{0,1\} \times\{2,3,4,5\} \)
\(=\{(0,2),(0,3),(0,4),(0,5), (1,2),(1,3),(1,4),(1,5)\} \quad \ldots(1) \)
\(\mathrm{A} \times \mathrm{B}=\{0,1\} \times\{2,3,4\} \)
\(=\{(0,2),(0,3),(0,4), (1,2),(1,3),(1,4)\} \)
\(\mathrm{A} \times \mathrm{C}=\{0,1\} \times\{3,5\} \)
\(=\{(0,3),(0,5),(1,3),(1,5)\} \)
\((A \times B) \cup(A \times C)=\{(0,2),(0,3),(0,4),(0,5),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5)\} \quad \ldots(2) \)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து,
\(A \times(B \cup C)=(A \times B) \cup(A \times C)\) என்பது தெளிவாகிறது.
எனவே, சரிப்பார்க்கப்பட்டது.
(ii) \(A \times(B \cap C)=(A \times B) \cap(A \times C) \)
\(A=\{0,1\}, B=\{2,3,4\}, C=\{3,5\} \)
\(B \cap C=\{3\} \)
\(A \times(B \cap C)=\{0,1\} \times\{3\} \)
\(=\{(0,3),(1,3)\} \quad \dots (1) \)
\(A \times B=\{(0,2),(0,3),(0,4),(1,2),(1,3),(1,4)\} \)
\(A \times C=\{(0,3),(0,5),(1,3),(1,5)\} \)
\((A \times B) \cap(A \times C)=\{(0,3),(1,3)\} \quad \dots (2)\)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து,
\(A \times(B \cap C)=(A \times B) \cap(A \times C)\) என்பது தெளிவாகிறது.
எனவே சரிபார்க்கப்பட்டது.
(iii) \((A \cup B) \times C=(A \times C) \cup(B \times C)\)
\(A=\{0,1\}, B=\{2,3,4\}, C=\{3,5\} \)
\((A \cup B)=\{0,1,2,3,4\} \)
\((A \cup B) \times C=\{0,1,2,3,4\} \times\{3,5\} \)
\(=\{(0,3),(0,5),(1,3),(1,5),(2,3),(2,5),(3,3),(3,5),(4,3),(4,5)\} \quad \dots(1) \)
\(\mathrm{A} \times \mathrm{C}=\{0,1\} \times\{3,5\} \)
\(=\{(0,3),(0,5),(1,3),(1,5)\} \)
\(B \times C=\{2,3,4\} \times\{3,5\} \)
\(=\{(2,3),(2,5),(3,3),(3,5),(4,3),(4,5)\} \)
\((A \times C) \cup(B \times C)=\{(0,3),(0,5),(1,3),(1,5),(2,3),(2,5),(3,3),(3,5),(4,3),(4,5)\} \ldots(2)\)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து,
\((A \cup B) \times C=(A \times C) \cup(B \times C)\) என்பது தெளிவாகிறது.
எனவே, சரிபார்க்கப்பட்டது.

\( \mathrm{A}=\{1,2,3\}, \mathrm{B}=\{2,3,5\}, \mathrm{C}=\{3,4\}, \mathrm{D}=\{1,3,5\}\)
\(A \cap C=\{3\} \)
\(B \cap D=\{3,5\}\)
\((A \cap C) \times(B \cap D)=\{3\} \times\{3,5\}\)
= {(3, 3), (3, 5)} ...(1)
\(\mathrm{A} \times \mathrm{B}=\{(1,2),(1,3),(1,5),(2,2)\), (2, 3), (2, 5), (3, 2), (3, 3), (3, 5)}
\(\mathrm{C} \times \mathrm{D}=\{(3,1),(3,3),(3,5),(4,1)(4,3),(4,5)\} \)
\((A \times B) \cap(C \times D)=\{(3,3),(3,5)\}\) ...(2)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து
\((A \cap C) \times(B \cap D)=(A \times B) \cap(C \times D)\) என்பது தெளிவாகிறது.
இது உண்மை என நிறுவப்பட்டது.

சார்பு அல்ல. குத்துக்கோடு வளைவரையை இரு புள்ளிகளில் சந்திக்கிறது.

A = {0, 1, 2, 3},  B = {1, 3, 5, 7, 9}
f(x) = 2x +1
f(0) = 2(0) + 1 = 1
f(1) = 2(1) + 1 = 3
f(2) = 2(2) + 1 = 5
f(3) = 2(3) + 1 = 7
(i) வரிசைச் சோடி கணம் 
f = {(0, 1), (1, 3), (2, 5), (3, 7)}
(ii) அட்டவணை

(iii) அம்புக்குறி படம்

(iv) வரைபடம் 
f = {(x, f(x)/ x ∈ A}
= {(0, 1), (1, 3), (2, 5), (3, 7)}

R-ன் மதிப்பகம் = {1, 2, 3, 4}
R-ன் துணை மதிப்பகம் = B = {-1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
R-ன் வீச்சகம் = {3, 6, 10, 9} 

படம் -ல் R குறிக்கப்பட்டுள்ளது. ஒவ்வொரு x ∈ X -க்கும், ஒரே ஒரு y ∈ Y உறுப்பு மட்டும் கிடைக்கிறது. எனவே X-ன் எல்லா உறுப்புகளுக்கும் Y-ல் ஒரே ஒரு நிழல் உரு உள்ளது. எனவே R-ஆனது ஒரு சார்பு ஆகும்.
மதிப்பகம் X = {1,2,3,4}; துணை மதிப்பகம் Y = {2,4,6,8,10}, வீச்சகம் f = {2,4,6,8}

\(f(x)=(x+1)^3-(x-1)^3 \)
\(=\left(x^3+3 x^2+3 x+1\right)-\left(x^3-3 x^2+3 x-1\right) \)
\(= 6 x^2+2\), இது ஒரு இருபடிச் சார்பு

A = {1,2,3,4}, B = {4,8,9,10} மற்றும் f ={(1,4),(2,8),(3,9),(4,10)} ஒன்றுக்கு ஒன்றான சார்பு

கொடுக்கப்பட்டது {(a, 8),(6, b)} என்பது சமனிச் சார்பு
அதாவது, {(8,8), (6,6)}
\(\therefore a=8, b=6\)