(i) R₁ = {(–5,a), (1,a), (3,b)}
R₁-க்கான உறவை அம்புக்குறி படத்தில் குறிக்கலாம் (படம் -(i)).
R₁ சார்பாகாது. காரணம் 4 ∈ X-க்கு Y-ல் நிழல் உரு இல்லை.

(ii) R₂ = {(–5,b), (1,b), (3,a),(4,c)}
R₂-க்கான உறவை அம்புக்குறி படத்தில் குறிக்கலாம் (படம் -(ii)).
R₂ ஒரு சார்பாகும். காரணம் X-யின் ஒவ்வொரு உறுப்புக்கும் ஒரே ஒரு நிழல் உரு Y-ல் உள்ளது.

(iii) R₃ = {(–5,a), (1,a), (3,b), (4,c), (1,b)}
R₃-க்கான உறவை அம்புக்குறி படத்தில் குறிக்கலாம் (படம்-(iii)).
R₃ ஒரு சார்பாகாது. காரணம் 1∈X-க்கு இரண்டு நிழல் உருக்கள் a ∈ Y மற்றும் b ∈ Y என உள்ளன.

இவற்றின் மூலம், ஓர் உறுப்பிற்கு, ஒரே ஒரு நிழல் உரு இருந்தால் மட்டுமே அந்த உறவு சார்பாகும் என அறியலாம்.

A = {1,3,5} ,B = {2,3} எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன.
(i) A x B = {1,3,5} x {2,3} = {(1,2), (1,3), (3,2), (3,3), (5,2), (5,3)}  .......(1)
B x A = {2,3} x {1,3,5} = {(2,1), (2,3), (2,5), (3,1), (3,3), (3,5)}   .......(2)
(ii) (1) மற்றும் (2) -ன் மூலமாக  A x B ≠ B x A ஏனெனில்  (1,2) ≠ (2,1), (1,3) ≠ (3,1)...
(iii) n(A) = 3; n(B) = 2.
(1) மற்றும் (2)-லிருந்து நாம் காண்பது, n (A x B) = n (B x A) = 6;
n (A) x n (B) = 3 x 2 = 6 மற்றும் n (B) x n (A) = 2 x 3 = 6
எனவே, n (A x B) = n (B x A) = n(A) x n(B) = 6.
ஆகவே, n (A x B) = n (B x A) = n(A) x n(B).

R-ன் மதிப்பகம் = {1, 2, 3, 4}
R-ன் துணை மதிப்பகம் = B = {-1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
R-ன் வீச்சகம் = {3, 6, 10, 9} 

gff(x) = g[f{f(x)}]
= g[f(3x+1)] = g[3(3x + 1) + 1] = g(9x + 4)
g(9x + 4) = [(9x + 4) + 3] = 9x + 7
fgg(x) = f[g{g(x)}]
= f[g(x + 3)] = f[(x + 3) + 3] = f(x + 6)
f(x + 6) = [3(x + 6) + 1] = 3x + 19
gff(x) = fgg(x) எனவே, 9x + 7 = 3x + 19. இந்தச் சமன்பாட்டைத் தீர்க்க x = 2

f(x) = 2x + 3, g(x) = 1 - 2x, h(x) = 3x
இப்பொழுது, (f o g)(x) = f(g(x)) = f(1 - 2x) = 2(1 - 2x) + 3 = 5 - 4x
மேலும், (f o g) o h(x) = (f o g)(h(x)) = (f o g)(3x) = 5 - 4(3x) = 5 - 12x  .....(1)
(g o h)(x) = g(h(x)) = g(3x) = 1 - 2(3x) = 1 - 6x
மேலும், f o(g o h)(x) = f(1 - 6x) = 2(1 - 6x) + 3 = 5 - 12x   ....(2)
(1) மற்றும் (2) -லிருந்து  (f o g) o h = f o (g o h)

f o f(k) = f(f(k)) = 2(2k - 1) - 1 = 4k - 3
எனவே, f o f(k) =4k - 3
ஆனால் f o f(k) = 5 எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.
\(4 k-3=5 \Rightarrow k=2\)

f₂(x) = 2x² - 5x + 3 மற்றும் f₁(x) = \(\sqrt { x } \) என வரையறுப்போம்.
எனவே, f(x) - \(\sqrt { 2x^{ 2 }-5x+3 } =\sqrt { { f }_{ 2 }(x) } \)
= f₁|f₂(x)| = f₁f₂(x)

படம் -ல் R குறிக்கப்பட்டுள்ளது. ஒவ்வொரு x ∈ X -க்கும், ஒரே ஒரு y ∈ Y உறுப்பு மட்டும் கிடைக்கிறது. எனவே X-ன் எல்லா உறுப்புகளுக்கும் Y-ல் ஒரே ஒரு நிழல் உரு உள்ளது. எனவே R-ஆனது ஒரு சார்பு ஆகும்.
மதிப்பகம் X = {1,2,3,4}; துணை மதிப்பகம் Y = {2,4,6,8,10}, வீச்சகம் f = {2,4,6,8}

A x B = {(3,2), (3,4), (5,2), (5,4)}
A = {A x B-யின் முதல் ஆயத்தொலைவு உறுப்புகளின் கணம்}. எனவே A = {3,5}
B = {A x B-யின் இரண்டாம் ஆயத்தொலைவு உறுப்புகளின் கணம்}. எனவே B = {2,4} எனவே A = {3,5} மற்றும் B = {2,4}.