P(A) = 0.37, P(B) = 0.42, P(A\(\cap\)B) = 0.09
P(A\(\cup\)B) = P(A) + P(B) - P(A\(\cap\)B)
P(A\(\cup\)B) = 0.37 + 0.42 - 0.09 = 0.7

இரண்டு நாணயங்கள் சுண்டப்படும்பொழுது அதன் கூறுவெளியானது 
S = {HH, HT, TH, TT} n(S) = 4
A ஆனது நாணயங்களில் வெவ்வேறு முகங்கள் கொண்ட நிகழ்ச்சி என்க.
A = {HT, TH}; n(A) = 2
நாணயங்களில் வெவ்வேறு முகங்கள் கிடைப்பதற்கான நிகழ்தகவானது \(\\ P(A)=\frac { n(A) }{ n(S) } =\frac { 2 }{ 4 } =\frac { 1 }{ 2 } \)

இரண்டு தரவுகளை ஒப்பிட, முதலில் இரண்டிற்கும் மாறுபட்ட கெழு காண வேண்டும்.
சராசரி \({ \bar { x } }_{ 1 }\)= 155 செ.மீ, விலக்க வர்க்கச் சராசரி \({ \sigma }_{ 1 }^{ 2 }=72.25\) செ.மீ² 
எனவே திட்ட விலக்கம் \({ \sigma }_{ 1 }=8.5\)
மாறுபாட்டுக் கெழு \(C.V_1=\frac { { \sigma }_{ 1 } }{ \bar { { x }_{ 1 } } } \times 100\)%
C.V. = \(\frac{8.5}{155}\times\)100% = 5.48% (உயரங்களுக்கானது)
சராசரி \(\overset{-}{x}_2\) = 46.50 கி.கி 
விலக்க வர்க்கச் சராசரி \({ \sigma }_{ 2 }^{ 2 }\) = 28.09 கி.கி²
திட்ட விலக்கம் \({ \sigma }_{ 2 }\) = 5.3 கி.கி
மாறுபாட்டுக் கெழு C.V₂ = \(\frac { { \sigma }_{ 2 } }{ { x }_{ 2 } } \times 100\)%
C.V₂ = \(\frac { 5.3 }{ 46.50 } \times \)100% = 11.40%(எடைகளுக்கானது)
C.V₁ = 5.48% மற்றும் C.V₂ = 11.40%
எனவே, உயரம் அதிக நிலைப்புத் தன்மை உடையது.

சராசரி \(\bar { x } \) = 25.6, மாறுபாட்டுக் கெழு, C.V. = 18.75
மாறுபாட்டுக் கெழு, C.V. = \(\frac { \sigma }{ x } \) x 100%
18.75 = \(\frac { \sigma }{ 25.6 } \times 100\) ⇒ \(\sigma \) = 4.8

இங்கு மிகப் பெரிய மதிப்பு L= 650
மிகச் சிறிய மதிப்பு S = 400
\(\therefore \) வீச்சு R = L - S
R = 650 - 400 = 250
\(\therefore \) வீச்சு R = 250

வீச்சு, R = 13.67
மிகப் பெரிய மதிப்பு, L = 70.08
வீச்சு, R = L - S 
13.67 = 70.08 - S 
S = 70.08 - 13.67 = 56.41
எனவே, மிகச் சிறிய மதிப்பு 56.41.

மிகப் பெரிய மதிப்பு, L = 67; மிகச் சிறிய மதிப்பு, S = 18
வீச்சு R = L - S = 67 - 18 = 49
வீச்சுக் கெழு \(=\frac{L-S}{L+S}\)
வீச்சுக் கெழு \(=\frac{67-18}{67+18}=\frac {49}{85}=0.576\)

P(A) = 0.5, P(A\(\cap\)B) = 0.3
P(A\(\cup\)B)\(\le\)1 என அறிவோம் 
P(A) + P(B) - P(A\(\cap\)B) \(\le\) 1
0.5 + P(B) - 0.3 \(\le\) 1
P(B) \(\le\) 1 - 0.2
P(B) \(\le\) 0.8
எனவே, B தேர்ந்தெடுக்கப்படுவதற்கான அதிகபட்ச நிகழ்தகவு 0.8 ஆகும்.

கூறுவெளி S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}; n(S) = 12
(i) A ஆனது, அம்புக்குறி எண் 7-ல் நிற்பதற்கான நிகழ்ச்சி என்க. n(A) = 1
\(P(A)=\frac { n(A) }{ n(S) } =\frac { 1 }{ 12 } \)
(ii) B ஆனது அம்புக்குறி பகா எண்ணில் நிற்பதற்கான நிகழ்ச்சி என்க.
B = {2, 3, 5, 7, 11}; n(B) = 5
\(P(B)=\frac { n(B) }{ n(S) } =\frac { 5 }{ 12 } \)
(iii) C ஆனது அம்புக்குறி பகுஎண்ணில் நிற்பதற்கான நிகழ்ச்சி என்க.
C = {4, 6, 8, 9, 10, 12}; n(C) = 6
\(P(C)=\frac { n\left( C \right) }{ n(S) } =\frac { 6 }{ 12 } =\frac { 1 }{ 2 } \)

திட்ட விலக்கம் 
\(\sigma =c\times \sqrt { \frac { \sum { { f }_{ i }{ d }_{ i }^{ 2 } } }{ N } -{ \left( \frac { { \sum { f } }_{ i }{ d }_{ i } }{ N } \right) }^{ 2 } } \)
\(\sigma =10\times \sqrt { \frac { 210 }{ 71 } -{ \left( -\frac { 30 }{ 71 } \right) }^{ 2 } } =10\times \sqrt { \frac { 210 }{ 71 } -\frac { 900 }{ 5041 } } \)
\(=10\times \sqrt { 2.779 } \Rightarrow \sigma \simeq 16.67\)

\(=\frac { \sum { { x }_{ i } } }{ n } =\frac { 1+2+3+...+n }{ n } =\frac { n(n+1) }{ 2\times n } \)
சராசரி \(\bar { x } =\frac { n+1 }{ 2 } \)
விலக்க வர்க்கச் சராசரி \({ \sigma }^{ 2 }=\frac { \sum { { x }_{ i }^{ 2 } } }{ n } { -\left( \frac { { \sum { x } }_{ i } }{ n } \right) }^{ 2 }\left[ \begin{matrix} { \sum { x } }_{ i }^{ 2 } & = { 1 }^{ 2 }+{ 2 }^{ 2 }+{ 3 }^{ 2 }+...+{ n }^{ 2 } \\ { \left( \sum { { x }_{ i } } \right) }^{ 2 }= & { \left( 1+2+3+....+n \right) }^{ 2 } \end{matrix} \right] \)
\(=\frac { n(n+1)(2n+1) }{ 6\times n } -\left[ \frac { n(n+1) }{ 2\times n } \right] ^ 2\)
\(=\frac{2 n^2+3 n+1}{6}-\frac{n^2+2 n+1}{4} \)
விலக்க வர்க்கச் சராசரி  \(\sigma^2 =\frac{4 n^2+6 n+2-3 n^2-6 n-3}{12}=\frac{n^2-1}{12} .\)

மதிப்பெண்களின் சராசரி = 35.9. இந்த மதிப்பானது தரவுகளின் நடுமதிப்பாக அமையும் அதனால் நாம் ஊகச் சராசரி A = 35, என எடுத்துக் கொள்கிறோம், மேலும், n = 10

திட்ட விலக்கம் \(\sigma =\sqrt { \frac { { \sum { d } }_{ i }^{ 2 } }{ n } -{ \left( \frac { \sum { { d }_{ i } } }{ n } \right) }^{ 2 } } \)
\(=\sqrt { \frac { 453 }{ 10 } -{ \left( \frac { 9 }{ 10 } \right) }^{ 2 } } \)
\(=\sqrt { 45.3-0.81 } =\sqrt { 44.49 }\)
\(\sigma \simeq 6.67\)

மதிப்பெண்களின் சராசரி \(\bar x = 60\)
திட்ட விலக்கம் \(\sigma=15\)
தவறான பதிவுகள் = 40 மற்றும் 27
சரியான பதிவுகள் = 45 மற்றும் 72
பழைய சராசரி \(=\frac{\Sigma x_i}{n}=60\)
பழைய \(\Sigma x_i\) / 100 =60.
பழைய \(\Sigma x_i=60 \times 100=6000\)
\(\therefore\) சரியான \(\Sigma x_i=6000\) - தவறான பதிவுகள் + சரியான பதிவுகள்
= 6000 - (40 + 27) + (45 + 72)
= 6000 - 67 + 117
\(\therefore\) சரியான \(\Sigma x_i=6050\)
சரியான சராசரி = சரியான = பழைய = \(\Sigma x_i\) / n \(=\frac{6050}{100}\)
சரியான சராசரி = 60.5
பழைய திட்டவிலக்கம் \(\sigma=15\)
\(\sigma=\sqrt{\frac{\sum x_i^2}{n}-\left(\frac{\sum x_i}{n}\right)^2}\)
\(15=\sqrt{\frac{\sum x_i^2}{n}-(60)^2}\)
இருபுறமும் வர்க்கப்படுத்த,
\(225 =\frac{\Sigma x_i^2}{n}-3600 \)
\(225+3600 =\frac{\Sigma x_i^2}{100} \)
பழைய \(\Sigma x_i\) / 100 = 3825
பழைய \(\Sigma x_i^2=3825 \times 100\)
பழைய \(\Sigma x_i^2=382500\)
சரியான \(\Sigma x_i^2=382500\) - (தவறான பதிவுகள்)² + (சரியான பதிவுகள்)²
\(= 382500-40^2-27^2+45^2+72^2\)
= 382500 - 1600 - 729 + 2025 + 5184
= 382500 - 2329 + 2025 + 5184
= 389709 - 2329
சரியான \(\Sigma x_i^2\) = 387380
சரியான \(\sigma=\sqrt{\frac{387380}{100}-(60.5)^2}\)
\(=\sqrt{3873.80-3660.25} \)
\(=\sqrt{213.55} \)
\(\sigma =14.61\)
\(\therefore\) சரியான \(\sigma\) = 14.61; சரியான சராசரி = 60.5

குலுக்கலில் வெற்றி பெறும் நிகழ்வு A என்க
\(P(A)=\frac{1}{9} \)
\(\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{1}{9} \)
\(\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{1}{9} \Rightarrow \frac{n(A)}{135}=\frac{1}{9}\)
\(n(A)=\frac{135}{9}=15\)

வேலை கிடைக்கும் நிகழ்வு A என்க
\(P(A) + P(\bar{A}) =1 \)
\(\frac{x}{3}+\frac{2}{3} =1 \)
\(\frac{x+2}{3} =1 \)
x + 2 = 3
x = 3 - 2
x = 1 .

திட்ட விலக்கம் \(\sigma=\mathrm{p}\)
ஒரு தரவில் உள்ள ஒவ்வொரு தரவுப் புள்ளிகளையும் 3 ஆல் பெருக்கினால் கிடைக்கும் தரவுகளின் புதிய திட்டவிலக்கம் பெற பழைய திட்டவிலக்கத்தின் 3 மடங்கு காண வேண்டும்.  புதிய \(\sigma=3\mathrm{p}\) ஒவ்வொரு புள்ளியுடனும் 5 ஐக் கூட்ட திட்ட விலக்கம் மாறாது.
\(\therefore\) புதிய திட்ட விலக்கம் \(\sigma=3 p\)

திட்ட விலக்கம் \(\sigma\) = 3
ஒரு தரவில் உள்ள ஒவ்வொரு தரவுப் புள்ளிகளையும் 5 ஆல் பெருக்கினால் கிடைக்கும் தரவுகளின் புதிய திட்டவிலக்கம் பெற பழைய திட்டவிலக்கத்தின் 5 மடங்கு காண வேண்டும்.
\(\therefore\) புதிய திட்ட விலக்கம் \(\sigma=3 \times 5=15\)
விலக்க வா்க்கச் சராசரி \(\sigma^2=15^2=225\)

முதல் 20 இயல் எண்களின் கூடுதல்
\(=\frac{n(n+1)}{2}=\frac{20 \times 21}{2} \)
\(\sum x_i =210 \)
\(\sigma =\sqrt{\frac{\sum x_i^2}{n}-\left(\frac{\sum x_i}{n}\right)^2} \)
\(\sum x_i^2 =1^2+2^2+3^2+\ldots+20^2 \)
\(=\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6} \)
\(=\frac{20 \times 21 \times 41}{6}=10 \times 7 \times 41 \)
\(=2870 \)
\(\sigma =\sqrt{\frac{2870}{20}-\left(\frac{210}{20}\right)^2}\)
விலக்க வா்க்கச் சராசரி
\(\sigma^2 =\frac{2870}{20}-\left(\frac{210}{20}\right)^2 \)
\(=143.5-\frac{441}{4} \)
\(=143.5-110.25=33.25\)

N = 100
\(\bar{x} =40 \)
\(\sigma =3 \)
\(\sigma =\sqrt{\frac{\sum d_i^2}{N}-\left(\frac{\sum d_i}{N}\right)^2} \)
\(3^2 =\frac{\sum d_i^2}{100}-40^2 \)
\(9 =\frac{\sum d_i^2}{100}-1600 \)
\(9+1600 =\frac{\sum d_i^2}{100} \)
\(1609 \times 100 =\sum d_i^2 \)
\(\sum d_i^2 =1,60,900\)

வீச்சு =  L - S
= 8 - 8
= 0