(i) \(\sqrt { 256{ \left( x-a \right) }^{ 8 }{ \left( x-b \right) }^{ 4 }{ \left( x-c \right) }^{ 16 }{ \left( x-d \right) }^{ 20 } } \) = 16|(x - a)⁴(x - b)² (x - c)⁸ (x - d)¹⁰|
(ii) \(\sqrt { \frac { 144{ a }^{ 8 }{ b }^{ 12 }{ c }^{ 16 } }{ 81{ f }^{ 12 }{ g }^{ 4 }{ h }^{ 14 } } } =\frac { 4 }{ 3 } \left| \frac { { a }^{ 4 }{ b }^{ 6 }{ c }^{ 8 } }{ { f }^{ 6 }{ g }^{ 2 }{ h }^{ 7 } } \right| \)

அணி A-யும் அணி B-யும் 3 x 3 எனும் ஒரே வரிசை உடையதால் 4A -லிருந்து 3B -யின் கழித்தல் வரையறுக்கப்படுகிறது.
 \(4A-3B=4\left( \begin{matrix} 5 & 4 & -2 \\ \frac { 1 }{ 2 } & \frac { 3 }{ 4 } & \sqrt { 2 } \\ 1 & 9 & 4 \end{matrix} \right) -3\left( \begin{matrix} -7 & 4 & -3 \\ \frac { 1 }{ 4 } & \frac { 7 }{ 2 } & 3 \\ 5 & -6 & 9 \end{matrix} \right) \)
= \(\left( \begin{matrix} 20 & 16 & -8 \\ 2 & 3 & 4\sqrt { 2 } \\ 4 & 36 & 16 \end{matrix} \right) +\left( \begin{matrix} 21 & -12 & 9 \\ -\frac { 3 }{ 4 } & -\frac { 21 }{ 2 } & -9 \\ -15 & 18 & -27 \end{matrix} \right) \)
= \(\left( \begin{matrix} 41 & 4 & 1 \\ \frac { 5 }{ 4 } & -\frac { 15 }{ 2 } & 4\sqrt { 2 } -9 \\ -11 & 54 & -11 \end{matrix} \right) \)

A மற்றும் B என்ற அணிகள் வேறுபட்ட வரிசைகளைக் கொண்டிருப்பதால் இவைகளைக் கூட்ட இயலாது

x² + 2x - 2 = 0 -ஐ ax² + bx + c = 0 -உடன் ஒப்பிட
a = 1, b = 2, c = -2
a, b மற்றும் c -யின் மதிப்புகளைச் சூத்திரத்தில் பிரதியிட
\(x=\cfrac { -b\pm \sqrt { { b }^{ 2 }-4ac } }{ 2a } \)
\(x=\cfrac {-2 \pm \sqrt { \left( 2 \right) ^{ 2 }-4\left( 1 \right) \left( -2 \right) } }{ 2\left( 1 \right) } =\cfrac { -2\pm \sqrt { 12 } }{ 2 } =-1\pm \sqrt { 3 } \)
எனவே,\(x=-1+\sqrt { 3 } ,-1-\sqrt { 3 } \)

2x² - x - 1 = 0
x²-யின் கெழுவை 1 -ஆக மாற்ற, சமன்பாட்டை 2 -ஆல் வகுக்கவும்
\({ x }^{ 2 }-\cfrac { x }{ 2 } -\cfrac { 1 }{ 2 } =0\)
\({ x }^{ 2 }-\cfrac { x }{ 2 } =\cfrac { 1 }{ 2 } \)
\({ x }^{ 2 }-\cfrac { x }{ 2 } +\left( \cfrac { 1 }{ 4 } \right) ^{ 2 }=\cfrac { 1 }{ 2 } +\left( \cfrac { 1 }{ 4 } \right) ^{ 2 }\)
\(\left( x-\cfrac { 1 }{ 4 } \right) ^{ 2 }=\cfrac { 9 }{ 16 } =\left( \cfrac { 3 }{ 4 } \right) ^{ 2 }\)
\(x-\cfrac { 1 }{ 4 } =\pm \cfrac { 3 }{ 4 } \) ⇐ x = 1 அல்லது \(\cfrac { 1 }{ 2 } \)

\(\alpha \) மற்றும் \(\beta \) என்பன கொடுக்கப்பட்ட இருபடிச் சமன்பாட்டின் மூலங்கள் என்க
(i) x² + 8x - 65 = 0 இங்கு a = 1,b = 8, c = -65 
\(\alpha +\beta =\cfrac { b }{ a } =-8\) மற்றும் \(\alpha \beta =\cfrac { c }{ a } =-65\)
\(\alpha +\beta =-8;\alpha \beta =-65\)
(ii) 2x² + 5x + 7 = 0 இங்கு, a = 2, b = 5, c = 7
\(\alpha +\beta =-\cfrac { b }{ a } =\cfrac { -5 }{ 2 } \) மற்றும் \(\alpha \beta =\cfrac { c }{ a } =\cfrac { 7 }{ 2 } \)
\(\alpha +\beta =-\cfrac { 5 }{ 2 } ;\alpha \beta =\cfrac { 7 }{ 2 } \)
(iii) kx² - k²x - 2k³ = 0 இங்கு,a = k, b = -k², c = -2k³
\(\alpha +\beta =-\cfrac { b }{ a } =\cfrac { -(-k^{ 2 }) }{ k } =k\) மற்றும் \(\alpha \beta =\cfrac { c }{ a } =\cfrac { -2k^{ 3 } }{ k } =-2k^{ 2 }\)

படி 1: y = x² + x - 2 -ன் வரைபடம் வரைவதற்குக் கீழ்க்கண்டவாறு அட்டவணை மதிப்புகளைத் தயார் செய்க.

படி 2 x² + x - 2 = 0 என்ற சமன்பாட்டைத் தீர்வு காண்பதற்கு, y = x² + x - 2 -யிலிருந்து x² + x - 2 = 0-ஐ கழிக்க வேண்டும்.

படி 3 : y = x² + x - 2 என்ற பரவளையம் X-அச்சை (–2, 0) மற்றும் (1, 0) என்ற புள்ளிகளில் வெட்டுகிறது.
படி 4 : இப்புள்ளிகளின் x -ஆயத்தொலைவுகள் -2 மற்றும் 1 ஆகும். எனவே, சமன்பாடு x² + x - 2 = 0 ன் தீர்வுகள் –2 மற்றும்1.

அந்த எண்ணின் பத்தாம் இட =x என்க.
இலக்கங்களின் பெருக்கற்பலன் =12
ஒன்றுக்கான இலக்கம் = \(\cfrac { 12 }{ x } \)
அந்த எண் = \(10x+\cfrac { 12 }{ x } \)
இந்த எண்ணுடன் 36ஐக் கூட்டினால் இலக்கங்கள் இடமாறுகின்றன.
\(\therefore 10x+\cfrac { 12 }{ x } +36=10\times \cfrac { 12 }{ x } +x\)
\(\Rightarrow 10x+\cfrac { 12 }{ x } +36=\cfrac { 120 }{ x } +x\)
\(\Rightarrow 9x-\cfrac { 108 }{ x } +36=0\)
\(\Rightarrow 9{ x }^{ 2 }-108+36x=0\)
\(\Rightarrow { x }^{ 2 }+4x-12=0\)
\(\Rightarrow (x+6)(x-2)=0\)
(\(\because\)(x+6)\(\neq 0\) ஏனெனில் x>0)
x=-6,2
பத்தாம் இட இலக்கம் குறை எண்ணாக இருக்க முடியாது.ஆகையால் x =2
அந்த எண் \(10\times 2+\cfrac { 12 }{ 2 } =26\)

இரு எண்கள் \(\alpha ,\beta \)  என்க
அவற்றின் கூடுதல் \(s=\alpha +\beta =15\)
அவற்றின் தலைகீழிகளின் கூடுதல் 
\(\cfrac { 1 }{ \alpha } +\cfrac { 1 }{ \beta } =\cfrac { 3 }{ 10 } \)
\(\cfrac { \beta +\alpha }{ \alpha \beta } =\cfrac { 3 }{ 10 } \)
\(10\left( \alpha +\beta \right) =3\alpha \beta \)
\(3\alpha \beta =10\times 15=150\)
மூலங்களின் பெருக்கல் பயன்  \(\alpha \beta =\cfrac { 150 }{ 3 } =50\)
\(\therefore\) (1) மற்றும்(4) லிருந்து 
x²-15x+50=0
(x-10)(x-5)=0\(\Rightarrow\)x=10,5
\(\therefore\) அந்த எண்கள் 10,5

\(\Delta ={ b }^{ 2 }-4ac\) 
\(\Rightarrow\)4(ac+bd)²-4(a²+b²)(c²+d²)
\(\Rightarrow\)4[(ac+bd)²-(a²+b²)(c²+d²)
\(\Rightarrow\)4(a²c²+b²d²+2acbd-a²c²b²c²-a²d²-b²d²]
\(\Rightarrow\)4[2acbd-a²d²-b²c²]
\(\Rightarrow\)4[a²d²+b²c²-2abc]
\(\Rightarrow\)-4[ad-bc]²
ஆனால் \(ad\neq bc\)
\(\Rightarrow\)(ad-bc)²>0
\(\Rightarrow\)-4(ad-bc)²<0\(\Rightarrow\)\(\Delta <0\)
இதற்கு மெய்யெண் தீர்வு இல்லை என நிரூபிக்கப்பட்டது.