\(\left( -\frac { 1 }{ 3 } ,\frac { 1 }{ 2 } \right) \) மற்றும் \(\left( \frac { 2 }{ 7 } ,\frac { 3 }{ 7 } \right) \)
சாய்வு = \(\frac { \frac { 3 }{ 7 } -\frac { 1 }{ 2 } }{ \frac { 2 }{ 7 } +\frac { 1 }{ 3 } } =\frac { \frac { 6-7 }{ 14 } }{ \frac { 6+7 }{ 21 } } \)
= \(-\frac { 1 }{ 14 } \times \frac { 21 }{ 13 } =-\frac { 3 }{ 26 } \)

x - 2y + 3 = 0 என்ற நேர்க்கோட்டின் சாய்வு
m₁ = \(\frac {-1}{-2}\) = \(\frac 12\)
6x + 3y + 8 = 0 என்ற நேர்க்கோட்டின் சாய்வு
m₂ = \(\frac{-6}{3}\) = -2
இங்கு, m₁ x m₂ = \(\frac 12\) x (-2) = -1
சாய்வுகளின் பெருக்கற்பலன் –1 ஆகும்.
ஆகவே, இவ்விரு நேர்க்கோடுகள் ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்தானவையாகும்.

கொடுக்கப்பட்ட நேர்க்கோட்டின் சமன்பாடு 6x + 8y+ 7 = 0
சாய்வு m =  = \(\frac 68\)= \(\frac 34\)
எனவே நேர்க்கோட்டின் சாய்வு - \(\frac 34\) ஆகும்.

p -யின் சாய்வு m₁ \(=\frac { 4+2 }{ 12-3 } =\frac { 6 }{ 7 } =\frac { 2 }{ 3 } \)
q -யின் சாய்வு m₂  \(=\frac { 2+2 }{ 12-6 } =\frac { 4 }{ 6 } =\frac { 2 }{ 3 } \)
இதிலிருந்து, நேர்க்கோடு p -யின் சாய்வு = நேர்க்கோடு q-யின் சாய்வு. எனவே, நேர்க்கோடு p-யானது நேர்க்கோடு q-க்கு இணை ஆகும்.

(i) இங்கு θ = 30°
சாய்வு m = tan  θ
எனவே, சாய்வு m = tan 30° = \(\frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } \)
(ii) சாய்வு \(\sqrt 3\) ,  θ என்பது கோட்டின் சாய்வுக் கோணம் என்க.
tan  θ = \(\sqrt 3\)
⇒  θ = 60°

A (1, -1), B(-4, 6), மற்றும் C(-3, -5) சூத்திரத்தை பயன்படுத்தி 
Δ = \(\frac { 1 }{ 2 } \) {x₁(y₂ - y₃) + x₂(y₃ - y₁) + x₃(y₁ - y₂)} சதுர அலகுகள்
= \(\frac { 1 }{ 2 } \) [1 (6 + 5 ) + (-4) (-5 + 1) + (-3) (- 1 - 6)]
= \(\frac { 1 }{ 2 } \) [11 + 16 + 21] = 24 சதுர அலகுகள்
∴ முக்கோணத்தின் பரப்பு = 24 சதுர அலகுகள்

இணைகரத்தில் மூலைவிட்டங்கள் இருசமக்கூறிடும்.
∴ AC யின் மையப்புள்ளி = BD-ன் மையப்புள்ளி 
i.e., \(\left[ \frac { 6+9 }{ 2 } ,\frac { 1+4 }{ 2 } \right] =\left[ \frac { 8+p }{ 2 } ,\frac { 2+3 }{ 2 } \right] \)
\(\left[ \frac { 15 }{ 2 } ,\frac { 5 }{ 2 } \right] =\left[ \frac { 8+p }{ 2 } ,\frac { 5 }{ 2 } \right] \)
\(\frac { 15 }{ 2 } ,\frac { 8+p }{ 2 } \)
P = 7 

P, Q என்ற புள்ளிகள் AB கோட்டினை 
AP = PQ = QB எனப் பிரிப்பதாகக் கொள்வோம்.

எனவே P ஆனது AB ஐ உட்புறமாக 1:2 என்ற விகிதத்தில் பிரிக்கிறது. எனவே, P பிரிவு சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி
\(P(x,y)=\left[ \frac { 1(-7)+2(2) }{ 1+2 } ,\frac { 1(7)+2(-2) }{ 1+2 } \right] \)  i.e., (-1, 0)
மேலும் Q ஆனது AB இன் உட்புறமாக 2:1 என்ற விகிதத்தில் Q பிரிக்கிறது.
\(\therefore Q(x,y)=\left[ \frac { 2(-7)+1(2) }{ 2+1 } ,\frac { 2(4)+(-2) }{ 2+1 } \right] \) i.e., (-4, 2)
∴ AB கோட்டினை P(-1, 0) மற்றும் (-4, 2) புள்ளிகள் மூன்றும் பிரிவுகளாகப் பிரிக்கின்றன. 

AB என்ற கோட்டின் சமன்பாடு x + y − 5 = 0 இந்த நேர்கோட்டிற்குச் செங்குத்தான கோட்டின் சமன்பாடு  x − y + k = 0 ஆகும்.
இக்கோடானது மையம் (4,4) என்ற புள்ளி வழிச் செல்வதால்,
4 – 4 + k = 0 எனவே, k = 0
C வழியாக AB -க்கு செங்குத்தாக அமையும்  நேர்கோட்டின் சமன்பாடு  x − y = 0