r₁ h₁ என்பன முதல் கூம்பின் ஆரம் மற்றும் உயரம் என்க. r₂ மற்றும் h₂ என்பன இரண்டாம் கூம்பின் ஆரம் மற்றும் உயரம் என்க.
இங்கு, h₂ = 2h₁ மற்றும் 
\(\frac { \frac { 1 }{ 3 } { \pi r }_{ 1 }^{ 2 }{ h }_{ 1 } }{ \frac { 1 }{ 3 } { \pi r }_{ 2 }^{ 2 }{ h }_{ 2 } } =\frac { 2 }{ 3 } \)
\(\frac{r_1^2}{r_2^2} \times \frac{h_1}{2 h_1}=\frac{2}{3}\) 
\(\frac { { r }_{ 1 }^{ 2 } }{ { r }_{ 2 }^{ 2 } } =\frac { 4 }{ 3 } \) இதிலிருந்து \(\frac { { r }_{ 1 } }{ { r }_{ 2 } } =\frac { 2 }{ \sqrt { 3 } } \)
ஆகவே, ஆரங்களின் விகிதம் =2:1\(\sqrt{3}\)

உருளையின் ஆரம் மற்றும் உயரம் முறையே r மற்றும் h என்க.
இங்கு, உயரம் h = 2 மீ, அடிப்பரப்பு = 250 ச.மீ 
உருளையின் கனஅளவு = \(\pi\)r²h க.அ
= அடிப்பரப்பு x  h 
= 250 x 2 = 500 மீ³
எனவே, உருளையின் கனஅளவு = 500 க.மீ 

தேவைப்படும் வில்லைகளின் எண்ணிக்கை 
\(=\frac { \pi r_{ 1 }^{ 2 }{ h }_{ 1 } }{ { \pi r }_{ 2 }^{ 2 }{ h }_{ 2 } } =\frac { \pi \times \frac { 45 }{ 20 } \times \frac { 45 }{ 20 } \times 10 }{ \pi \times \frac { 15 }{ 20 } \times \frac { 15 }{ 20 } \times \frac { 2 }{ 10 } } \)

=450

உருளையின் கன அளவு \(={ \pi r }^{ 2 }h\)
கூம்பின் கன அளவு \(=\frac { 1 }{ 3 } { \pi r }^{ 2 }h\)
கோலத்தின் கன அளவு \(=\frac { 4 }{ 3 } { \pi r }^{ 3 }\)
அவற்றின் கன அளவுகளின் விகிதம் V₁:V₂:V₃

\(h:\frac { h }{ 3 } :\frac { 4r }{ 3 } \)
3h:h:4r
3h:h:2(2r)    (இங்கு 2r=h)
∴ V₁:V₂:V₃=3:1:2

h மற்றும் r  என்பன முறையே உருளையின் உயரம் மற்றும் ஆரம் என்க.
இங்கு, h = 15 செ.மீ, r = 6 செ.மீ
உருளையின் கனஅளவு V = πr²h க.அ
\(=\frac { 22 }{ 7 } \times 6\times 6\times 15\)
r₁ = 3 செ.மீ மற்றும் h₁ = 9 செ.மீ என்பன கூம்பின் ஆரம் மற்றும் உயரம் ஆகும்.
r₁ = 3 செ.மீ என்பது அரைக்கோளத்தின் ஆரம் ஆகும்.
பனிக்கூழ்க் கூம்பின் கனஅளவு = கூம்பின் கனஅளவு + அரைக்கோளத்தின் கனஅளவு 
 \(=\frac { 1 }{ 3 } \pi { r }_{ 1 }^{ 2 }{ h }_{ 1 }+\frac { 2 }{ 3 } \pi { r }_{ 1 }^{ 3 }\)
\(=\frac { 1 }{ 3 } \times \frac { 22 }{ 7 } \times 3\times 3\times 9+\frac { 2 }{ 3 } \times \frac { 22 }{ 7 } \times 3\times 3\times 3\)
ஒரு பனிக்கூழ்க் கனஅளவு \(=\frac { 22 }{ 7 } \times 45\)
எனவே, தேவையான கூம்புகளின் எண்ணிக்கை 
\(=\frac { \frac { 22 }{ 7 } \times 6\times 6\times 15 }{ \frac { 22 }{ 7 } \times 45 } =12\)
ஆகவே, தேவையான கூம்புகளின் எண்ணிக்கை 12 ஆகும்.

இடைக்கண்டத்தின் உயரம் h எனவும் அதன் இருபுற ஆரங்கள் R மற்றும் r எனவும் கொள்க.
இங்கு, h = 45 செ.மீ, R = 28 செ.மீ, r = 7 செ.மீ 
எனவே, இடைக்கண்டத்தின் கன அளவு \(=\frac { 1 }{ 3 } \pi h\left[ { R }^{ 2 }+Rr+{ r }^{ 2 } \right] \)க.அ
\(=\frac { 1 }{ 3 } \times \frac { 22 }{ 7 } \times 45\times \left[ { 28 }^{ 2 }+(28\times 7)+{ 7 }^{ 2 } \right] \)
\(=\frac { 1 }{ 3 } \times \frac { 22 }{ 7 } \times 45\times 1029=48510\)
எனவே, இடைக்கண்டத்தின் கன அளவு 48510 க.செ.மீ ஆகும்.

r, R என்பன முறையே உள்ளீடற்ற கோளத்தின் உள் ஆரம் மற்றும் வெளி ஆரம் என்க.
இங்கு, உள்விட்டம் d = 14 செ.மீ; உள் ஆரம் r = 7 செ.மீ; தடிமன் = 1மி.மீ =\(\frac{1}{10}\) செ.மீ 
வெளி ஆரம் R = 7+\(\frac{1}{10}=\frac {71}{10}=7.1\) செ.மீ
உள்ளீடற்ற கோளத்தின் கன அளவு \(=\frac { 4 }{ 3 } \pi \left( { r }^{ 3 }-{ r }^{ 3 } \right) \)க.அ 
\(=\frac { 4 }{ 3 } \times \frac { 22 }{ 7 } (357.91-343)=62.48\) க.செ.மீ
ஆனால், 1 க.செ.மீ பித்தளையின் அடர்த்தி = 17.3 கி  
மொத்த நிறை = 17.3 x  62.48 = 1080.90 கி 
எனவே, மொத்த நிறை 1080.90 கிராம் ஆகும்.

r என்பது செதுக்கப்பட்ட அரைக்கோளத்தின் ஆரம் என்க,
அரைக்கோளத்தின் கன அளவு = 29106 க.செ.மீ.
புதிய அரைக்கோளத்தின் கன அளவு =\(\frac{2}{3}\) (முந்தைய அரைக்கோளத்தின் கன அளவு)
=\(\frac{2}{3}\) x 29106
புதிய அரைக்கோளத்தின் கனஅளவு = 19404 க.செ.மீ
\(\frac { 2 }{ 3 } { \pi r }^{ 3 }=19404\)
\({ r }^{ 3 }=\frac { 19404\times 3\times 7 }{ 2\times 22 } =9261\)
\(r=\sqrt [ 3 ]{ 9161 } =21\) செ.மீ
ஆகவே, புதிய அரைக்கோளத்தின் ஆரம் 21 செ.மீ ஆகும்.

(i) உருளையின் கன அளவு = πr²h க.அ
உருளை A-ன் கன அளவு \(=\frac { 22 }{ 7 } \times \frac { 7 }{ 2 } \times \frac { 7 }{ 2 } \times 21\)
= 808.5 செ.மீ³
உருளை B-ன் கனஅளவு \(=\frac { 22 }{ 7 } \times \frac { 21 }{ 2 } \times \frac { 21 }{ 2 } \times 7\)
= 2425.5 செ.மீ³
ஆகவே, உருளை B-ன் கன அளவு உருளை A-ன் கன அளவை விட அதிகம் ஆகும்.
(ii) உருளையின் மொத்தப் புறப்பரப்பு = 2πr(h + r) ச.அ
உருளை A-ன் மொத்தப் புறப்பரப்பு \(=2\times \frac { 22 }{ 7 } \times \frac { 7 }{ 2 } \times (21+3.5)=539\) செ.மீ²
உருளை B-ன் மொத்தப் புறப்பரப்பு \(=2\times \frac { 22 }{ 7 } \times \frac { 21 }{ 7 } \times (7+10.5)=1155\) செ.மீ²
ஆகவே, கன அளவு அதிகம் கொண்ட உருளை B-ன் மொத்தப் புறப்பரப்பு அதிகமாக உள்ளது.
(iii) 
ஆகவே, உருளை A மற்றும் B-ன் கன அளவுகளின் விகிதம் 1:3

r மற்றும் h என்பன முறையே உருளையின் ஆரம் மற்றும் உயரம் என்க.
தொட்டியின் கனஅளவு = 1.078 x 10⁶ = 1078000 லிட்டர் 
= 1078மீ³ (ஏனெனில் 1l =\(\frac{1}{1000}\)மீ³)
இங்கு, விட்டம் = 7 மீ எனில், ஆரம் = \(\frac{7}{2}\) மீ 
தொட்டியின் கன அளவு =\(\pi \)r2h க.அ 
\(1078=\frac { 22 }{ 7 } \times \frac { 7 }{ 2 } \times \frac { 7 }{ 2 } \times h\)
ஆகவே, தொட்டியின் உயரம் 28 மீ ஆகும்.