1,-1,-3,-5
t₂-t₁=-1-1=-2
t₃-t₂=-3-(-1)=-2
t₄-t₃=-5-(-3)=-2
இது ஒரு A.P பொது வித்தியாசம் -2.
அடுத்த இரண்டு உறுப்புகள் (-5+(-2))=-7,-7+(-2)=-9, i.e \(\underline { -7 } ,\underline {-9} .\)

4,10,16,22,..
இங்கு a₂-a₂=10-4=6
a₃-a₂=16-10=6
a₄-a₃=22-16=6
∴ அது ஒரு A.P. பொது வித்தியாசம் 6.
∴ அடுத்து இரண்டு உறுப்புகள், \(\underline { 28 } ,\underline { 34 } .\)

இங்கு S_n = 190. எனில், n –யின் மதிப்பைக் காணவேண்டும். முதல் உறுப்பு a = 1, பொது வித்தியாசம் d = 5 − 1 = 4.
கூட்டுத் தொடர்வரிசையின் முதல் n உறுப்புகளின் கூடுதல்
S_n = \(\frac { n }{ 2 } \left[ 2a+(n-1)d \right] \) = 190
\(\frac { n }{ 2 } \)[2 x 1 + (n-1) x 4] = 190
n[4n-2] = 380
2n² - n - 190 = 0
(n - 10)(2n + 19) = 0
ஆனால் n = 10 ஏனெனில் n = -\(\frac { 19 }{ 2 } \) என்பது பொருந்தாது. எனவே, n = 10.

இங்கு a = 0.40 மற்றும் l = 1, d = 0.43 - 0.40 = 0.03.
ஆகவே, n =\(\left( \frac { l-a }{ d } \right) \)+1
=\(\left( \frac { 1-0.40 }{ 0.03 } \right) \)+1 = 21
ஒரு கூட்டுத் தொடர்வரிசையின் முதல் n உறுப்புகளின் கூடுதல், S_n = \(\frac { n }{ 2 } [a+l]\)
இங்கு, n = 21. எனவே S₂₁ = \(\frac { 21 }{ 2 } [0.40+1]\) = 14.7
ஆகவே கூட்டுத் தொடரின் 21 உறுப்புகளின் கூடுதல் 14.7 ஆகும்.

இங்கு முதல் உறுப்பு a = 8, பொது வித்தியாசம்  \(d=7 \frac{1}{4}-8=-\frac{3}{4}\),
கூட்டுத் தொடர்வரிசையின் முதல் n உறுப்புகளின் கூடுதல் S_n = \(\frac { n }{ 2 } \left[ 2a+(n-1)d \right] \)
S₁₅ = \(\frac { 15 }{ 2 } \left[ 2\times 8+(15-1)\left( -\frac { 3 }{ 4 } \right) \right] \)
S₁₅ = \(\frac { 15 }{ 2 } \left[ 16-\frac { 21 }{ 2 } \right] =\frac { 165 }{ 4 } \)

ஆம். கொடுக்கப்பட்ட எண் ஒரு பகு எண்ணாகும், ஏனெனில்,
7 x 5 x 3 x 2 + 3 = 3 x (7 x 5 x 2 + 1) = 3 x 71
கொடுக்கப்பட்ட எண்ணானது இரு பகா எண்களின் பெருக்கற்பலனாகக் காரணிப்படுத்தப்படுவதால், அது ஒரு பகு எண்ணாகும்.

a₃=a+(3-1)d=a+2d=5 (1)
a₇=a+(7-1)d=a+6d=9 (2)
(1)-(2)⇒-4d=-4⇒d=1
d=1 என (1), ல் பிரதியிட 
a+2(1)=5
a=3
தேவையான  A.P=3,4,5,6,7.

1,1,1,2,2,2,3,3,3
t₂-t₁=1-1=0
t₃-t₂=1-1=0
t₄-t₃=2-1=1
இங்கு  t₂-t₁≠t₃-t₂.
∴ இது ஒரு கூட்டுத் தொடர் அல்ல.

-2,2,-2,2,-2
t₂-t₁=2-(-2)=4
t₃-t₂=-2-2=-4
t₄-t₃=2-(-2)=4
இது ஒரு கூட்டுத்தொடர் வரிசை அல்ல.

\(\sqrt { 3 } \)=\(\frac {p}{q }\)
\(\sqrt { 3 } \)=\(\frac {p}{q }\)(q≠0) (p மற்றும் q  என்பன சார்பகா எண்கள்)
எனவே, \(\sqrt { 3 } \)=\(\frac {p}{q }\)
\(\sqrt { 3 } \)q =p 
இருபுறமும் வர்க்கப்படுத்த,
(\(\sqrt { 3 } \)q)²=p²
3q2=p2    ....(1)
q2=\(\frac{p^2}{3}\)
எனவே, 3 ஆனது p²-யை வகுக்கும் 3 ஆனது p-யையும் வகுக்கும்.
எனவே, \(\frac{p}{q}\)=c என்க 
p=3c
நமக்குத் தெரியும் 
3q²=p²
p=3c என (1)-ல் பிரதியட
3q²=(3c)²
3q²=9c²
q²=\(\frac{1}{3}\)x9x2
q²=3c²
\(\frac{q^2}{3}=c^2\)
எனவே 3 ஆனது q2 ஐ வகுக்கும் 
அதனால், 3 ஆனது q ஐயும் வகுக்கும் ...(3)
முரண்பாட்டினால் \(\sqrt { 3 } \) ஆனது விகிதமுறா எண்