f(x) = 3x - 5, f = {(x, 3x - 5) |x ∈ R} என எழுதலாம்.
(a, 4) எனில், a-யின் நிழல் உரு 4. அதாவது, f(a) = 4
3a - 5 = 4 லிருந்து a = 3
(1, b) எனில், 1 -யின் நிழல் உரு b. அதாவது, f(1) = b 
3(1) – 5 = b எனவே, b = –2

A = {-2,-1,0,1,2} மற்றும் f(x) = x² + x + 1 கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.
f(-2) = (-2)² + (-2) + 1 = 3; f(-1) = (-1)² + (-1) + 1 = 1
f(0) = 0² + 0 + 1 = 1; f(1) = 1² + 1 + 1 = 3
f(2) = 2² + 2 + 1 = 7
எனவே, f –ன் வீச்சகம் B = {1,3,7}

A = {1,2,3}, B = {4,5,6,7} f = {(1,4),(2,5)(3,6)}
A-லிருந்து B-க்கு ஆன சார்பு f -ல், A-யின் வெவ்வேறு உறுப்புகளுக்கு, B-ல் வெவ்வேறு நிழலுரு உள்ளது. எனவே, f ஒன்றுக்கு ஒன்றான சார்பாகும். துணை மதிப்பகத்தில் உள்ள உறுப்பு 7-க்கு, மதிப்பகத்தில் முன் உரு இல்லை. எனவே, f ஆனது, மேல்சார்பு இல்லை. (படம்.1.36).
எனவே, f ஆனது ஒன்றுக்கு ஒன்றானது, ஆனால் மேல்சார்பு இல்லை.

படம் -(i) மற்றும் படம்-(iii) வரைபடங்களில், ஒரு குத்துக்கோடு, வரைபடத்தை P மற்றும் Q ஆகிய இரு புள்ளிகளில் வெட்டுவதால் இவை ஒரு சார்பினைக் குறிக்காது.
படம் (ii) மற்றும் படம் -(iv) வரைபடங்களில் அதிகபட்சமாக ஒரேயொரு புள்ளியில் வெட்டுவதால், இவை சார்பினைக் குறிக்கும்.

A x B = {(3,1), (3,7), (3,10), (4,1), (4,7), (4,10), (7,1), (7,7), (7,10), (8,1), (8,7), (8,10)}
(i) R₁ \(\subseteq\) A x B என்பதைக் காணலாம். எனவே, R₁ என்பது A-லிருந்து B-க்கு ஆன உறவு ஆகும்.
(ii) இங்கு, (4,12) ∈ R₂, ஆனால் (4,12) \(\notin \) A x B எனவே, R₂ ஆனது A-லிருந்து B-க்கு ஆன உறவு இல்லை.
(iii) இங்கு, (7,8) ∈ R₃, ஆனால் (7,8) \(\notin \) A x B எனவே, R₃ ஆனது A-லிருந்து B-க்கு ஆன உறவு இல்லை.

அருகில் காட்டியுள்ளபடி சார்பு f ஆனது I, II, III என்ற மூன்று இடைவெளிகளில் வரையறுக்கப்படுகிறது.
x = a, என்ற கொடுக்கப்பட்ட மதிப்பிற்கு a-இருக்கும் இடைவெளியைக் கண்டுபிடித்து, அந்த இடைவெளியில் f(a) -ஐக் காண வேண்டும்.
(i) x = 4 ஆனது மூன்றாவது இடைவெளியில் உள்ளதை நாம் காணலாம்.
இங்கு, f(x) = 3x - 2; f(4) = 3(4) - 2 = 10
(ii) x =−2 ஆனது இரண்டாவது இடைவெளியில் உள்ளது.
எனவே, f(x) = x² - 2; f(-2) = (-2)²- 2 = 2
(iii) (i) -லிருந்து, f(4) = 10
f(1), -ன் மதிப்பைக் காண, x = 1 ஆனது இரண்டாவது இடைவெளியில் உள்ளது.
ஆகையினால், f(x) = x² - 2 லிருந்து, f(1) = 1² - 2 = -1
எனவே, f(4) + 2f(1) = 10 + 2(-1) = 8
(iv) f(1) = -1, f(4) = 10 எனக் கண்டோம். f(-3)-யைக் காண x = -3 ஆனது ஒன்றாவது இடைவெளியில் உள்ளதைக் காணலாம்.
ஆகையினால், f(x) = 2x + 7; எனவே, f(-3) = 2(-3) + 7 = 1
எனவே, \(\frac { f(1)-3f(4) }{ f(-3) } =\frac { -1-3(10) }{ 1 } \) = -31

(i) h ஆனது ஒன்றுக்கு ஒன்றானதா எனச் சோதிக்க h(b₁) = h(b₂) எனக் கருதுக.
எனவே, நமக்குக் கிடைப்பது 2.47b₁ + 54.10 = 2.47b₂ + 54.10
2.47b₁ = 2.47b₂ ⇒ b₁ = b₂
எனவே, h(b₁) = h(b₂) எனில், b₁ = b₂ ஆகையால், இந்தச் சார்பு ஒன்றுக்கு ஒன்றான சார்பாகும்.
(ii) தொடை எலும்பின் நீளம் b = 50 செ.மீ எனில், அந்த நபரின் உயரமானது
h(50) = (2.47 x 50) + 54.10 =177.6 செ.மீ ஆகும்.
(iii) நபரின் உயரம் 147.96 செ.மீ எனில் h(b) = 147.96 தொடை எலும்பின் நீளமானது 2.47b + 54.10 = 147.96
b = \(\frac { 93.86 }{ 2.47 } \) = 38
ஆகையால், தொடை எலும்பின் நீளமானது 38 செ.மீ ஆகும்.

f: N ⟶ N என்ற சார்பானது f(x) = 3x + 2, என வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது.
(i) x = 1 எனில், f(1) = 3(1) + 2 = 5
x = 2 எனில், f(2) = 3(2) + 2 = 8
x = 3 எனில், f(3) = 3(3) + 2 = 11
1, 2, 3 -யின் நிழல் உருக்கள் முறையே 5, 8, 11 ஆகும்.
(ii) 29-யின் முன் உரு x எனில் f(x) = 29. எனவே 3x + 2 = 29
3x = 27 ⇒ x = 9
இதைப்போலவே, 53-யின் முன் உரு x எனில், f(x) = 53. எனவே, 3x + 2 = 53
3x = 51 ⇒ x = 17
எனவே, 29 மற்றும் 53-யின் முன் உருக்கள் முறையே 9 மற்றும் 17 ஆகும்.
(iii) N -யின் வெவ்வேறு உறுப்புகளுக்குத் துணை மதிப்பகத்தில் வெவ்வேறு நிழல் உருக்கள் உள்ளன. எனவே, f ஆனது ஒன்றுக்கு ஒன்றான சார்பாகும்.
f -யின் துணை மதிப்பகமானது N.
வீச்சகம் f = {5, 8, 11, 14, 17,....} ஆனது N-ன் தகு உட்கணமாகும்.
எனவே, f ஆனது மேல்சார்பு இல்லை.
அதாவது, f உட்சார்பு ஆகும்.
எனவே, f ஆனது ஒன்றுக்கு ஒன்றான மற்றும் உட்சார்பு ஆகும்.

ஒரு கிடைமட்டக்கோடு, வரைபடம் 1.35(i) மற்றும் படம் 1.35(iii) ஆகியவற்றை அதிகபட்சமாக ஒரே ஒரு புள்ளியில் (P) வெட்டுவதால் இவை ஒன்றுக்கு ஒன்றான சார்பினைக் குறிக்கும்.
வரைபடம் (1.35(ii))-ல் வரையப்பட்ட ஒரு கிடைமட்டக்கோடு P மற்றும் Q ஆகிய இரு புள்ளிகளில் வெட்டுவதால், கொடுக்கப்பட்ட வளைவரை ஒன்றுக்கு ஒன்றான சார்பைக் குறிக்காது.

(i) R யின் கணகட்டமைப்பு முறை {(x,y) | y = x-2, x ∈ P, y ∈ Q}
(ii) R யின் பட்டியல் முறை = {(5,3),(6,4),(7,5)}
(iii) R யின் மதிப்பகம் = {5,6,7}; R யின் வீச்சகம் = {3,4,5}