Term 1 முக்கோணவியல்

10ஆம் வகுப்பு Maths / கணிதம் தமிழ் மீடியம் | மாதிரி வினாத்தாள்கள் | முக்கிய வினாக்கள் | கேள்வி விடை தொகுப்பு | வினாத்தாள்கள் | பொதுத்தேர்வு மாதிரி வினாத்தாள்கள் , Maths / கணிதம் பாடத்திற்கான மாதிரி வினாத்தாள்கள், முக்கிய கேள்வி-விடைகள், ஒருமார்க் கேள்விகள், காலாண்டு & பொதுத்தேர்வு கேள்வித் தொகுப்புகள்

Questions:

Generic 2

1 x 2 = 2

ஒரு கோபுரம் தரைக்குச் செங்குத்தாக உள்ளது. கோபுரத்தின் அடிப்பகுதியிலிருந்து தரையில் 48 மீ தொலைவில் உள்ள ஒரு புள்ளியிலிருந்து கோபுர உச்சியின் ஏற்றக்கோணம் 30° எனில், கோபுரத்தின் உயரத்தைக் காண்க.

Generic 5

9 x 5 = 45

cos A,tan A மற்றும் sec A யின் கோண விகிதங்களை sin A வடிவில் காண்.

\(sin\left( A-B \right) =\cfrac { 1 }{ 2 } ,cos\left( A+B \right) =\cfrac { 1 }{ 2 } ,{ 0 }^{ o }<A+B\le { 90 }^{ o },A>B\)எனில் A மற்றும் B ஐக் காண்.

செங்கோண \(\Delta ABC\) யில்,\(\angle B={ 90 }^{ 0 },tanA=1\) எனில், 2sin A cos A =1 என நிரூபி.

படத்தில் உள்ளவாறு ஒரு சமதளத் தரையில் இரண்டு மரங்கள் உள்ளன. தரையில் உள்ள X என்ற புள்ளியிலிருந்து இரு மர உச்சிகளின் ஏற்றக்கோணமும் 40° ஆகும். புள்ளி X –லிருந்து சிறிய மரத்திற்கான கிடைமட்டத் தொலைவு 8 மீ மற்றும் இரண்டு மரங்களின் உச்சிகளுக்கிடையே உள்ள தொலைவு 20 மீ எனில்,
இரண்டு மரங்களுக்கும் இடையேயுள்ள கிடைமட்டத் தொலைவு (cos40° = 0.7660) ஆகியவற்றைக் கணக்கிடுக.

ஒரு விமானம் G-யிலிருந்து 24° கோணத்தைக் தாங்கி 250 கி.மீ தொலைவிலுள்ள H-ஐ நோக்கிச் செல்கிறது. மேலும் H-லிருந்து 55° விலகி 180 கி.மீ தொலைவிலுள்ள J-ஐ நோக்கிச் செல்கிறது எனில்,
H-ன் வடக்கு திசையிலிருந்து J ன் தொலைவு என்ன?
\(\left( \begin{matrix} sin{ 24 }^{ \circ }=0.40476sin{ 11 }^{ \circ }=0.1908 \\ cos{ 24 }^{ \circ }=0.9135cos{ 11 }^{ \circ }=0.9816 \end{matrix} \right) \)

ஒரு தெருவில் உள்ள ஒரு வீட்டின் சன்னலிலிருந்து, (சன்னல் தரைக்கு மேல் h மீ உயரத்தில் உள்ளது) தெருவின் எதிர்ப் பக்கத்தில் உள்ள மற்றொரு வீட்டின் உச்சி, அடி ஆகியவற்றின் ஏற்றக்கோணம், இறக்கக்கோணம் முறையே θ₁ மற்றும் θ₂ எனில், எதிர்பக்கத்தில் அமைந்த வீட்டின் உயரம் h \(\left( 1+\frac { \cot\theta _{ 2 } }{ \cot{ \theta }_{ 1 } } \right) \) என நிரூபிக்க.

ஒரு கோபுர உச்சியின் மீது 5 மீ உயரமுள்ள கம்பம் பொருத்தி வைக்கப்பட்டுள்ளது. தரையில் உள்ள ‘A’ என்ற புள்ளியிலிருந்து கம்பத்தின் உச்சியை 60° ஏற்றக்கோணத்திலும், கோபுரத்தின் உச்சியிலிருந்து ‘A’ என்ற புள்ளியை 45° இறக்கக் கோணத்திலும் பார்த்தால், கோபுரத்தின் உயரத்தைக் காண்க. (\(\sqrt 3\) = 1.732)

ஒரு விமானம் G-யிலிருந்து 24 கோணத்தைக் தாங்கி 250 கி.மீ தொலைவிலுள்ள H-ஐ நோக்கிச் செல்கிறது. மேலும் H-லிருந்து 55° விலகி 180 கி.மீ தொலைவிலுள்ள J-ஐ நோக்கிச் செல்கிறது எனில்,
(i) G-ன் வடக்கு திசையிலிருந்து H–ன் தொலைவு என்ன?
(ii) G-ன் கிழக்கு திசையிலிருந்து H-ன் தொலைவு என்ன?
(iii) H-ன் வடக்கு திசையிலிருந்து J-ன் தொலைவு என்ன?
(iv) H-ன் கிழக்கு திசையிலிருந்து J-ன் தொலைவு என்ன?
\(\left( \begin{matrix} \sin{ 24 }^{ \circ }=0.40476\sin{ 11 }^{ \circ }=0.1908 \\ \cos{ 24 }^{ \circ }=0.9135\cos{ 11 }^{ \circ }=0.9816 \end{matrix} \right) \)

10.

ஒரு கால்வாயின் கரையில் ஒரு தொலைக்காட்சிக் கோபுரம் செங்குத்தாக உள்ளது. கால்வாயின் மறு கரையில் உள்ள ஒரு புள்ளியிலிருந்து காணும்பொழுது கோபுர உச்சியின் ஏற்றக்கோணம் 58° ஆக உள்ளது. அப்புள்ளியிலிருந்து விலகி ஒரே நேர்க்கோட்டில் 20 மீ தொலைவில் சென்றவுடன் கோபுர உச்சியின் ஏற்றக்கோணம் 30° எனில், கோபுரத்தின் உயரத்தையும், கால்வாயின் அகலத்தையும் காண்க. (tan 58° = 1.6003)

Visit QB365-SLMS - https://www.qb365.in/slms/

Answers Key:

Generic 2

1 x 2 = 2

கோபுரத்தின் உயரம் PQ என்க. PQ = h என்க. கோபுரத்திற்கும் தரையில் உள்ள புள்ளி R - க்கும் இடைப்பட்ட தொலைவு QR என்க.
செங்கோண Δ PQR - ல் ㄥPRQ = 30°
tan θ = \(\frac{PQ}{QR}\) ; tan 30° = \(\frac{h}{48}\)
⇒ \(\frac{1}{\sqrt3}\) = \(\frac{h}{48}\) எனவே, h = 16\(\sqrt3\)
ஆகவே, கோபுரத்தின் உயரம் 16\(\sqrt3\) மீ ஆகும்.

Generic 5

9 x 5 = 45

cos²A +sin² = 1
\(\therefore { cos }^{ 2 }A=1-{ sin }^{ 2 }A\)
\(cosA=\pm \sqrt { 1-{ sin }^{ 2 }A } \)
இதிலிருந்து கிடைப்பது,
\(cosA=\sqrt { 1-{ sin }^{ 2 }A } \)
எனவே \(tanA=\cfrac { sinA }{ cosA } =\cfrac { sinA }{ \sqrt { 1-{ sin }^{ 2 }A } } \)
மற்றும் \(secA=\cfrac { 1 }{ cosA } =\cfrac { 1 }{ \sqrt { 1-{ sin }^{ 2 }A } } \)

\(sin(A-B)=\cfrac { 1 }{ 2 } ,\therefore A-B={ 30 }^{ o }\)
மேலும் \(cos\left( A+B \right) =\cfrac { 1 }{ 2 } \)
\(\therefore A+B={ 60 }^{ o }\)
(1) மற்றும்(2) ஐத் தீர்க்க
A-B+A+B=30^o+60^o
2A = 90^o
A = 45^o
\(\therefore\) A=45^o மற்றும் B = 15^o

\(\Delta ABC\) யில் \(\Delta ABC\quad tanA=\cfrac { BC }{ AB } =1\)
BC = AB
AB = BC = k என்க, இங்கு k ஒரு மிகை எண்

இப்பொழுது \(AC=\sqrt { { AB }^{ 2 }+{ BC }^{ 2 } } \)
= \(\sqrt { \left( k \right) ^{ 2 }+\left( k \right) ^{ 2 } } =k\sqrt { 2 } \)
\(\therefore sinA=\cfrac { BC }{ AC } =\cfrac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \)
\(cosA=\cfrac { AB }{ AC } =\cfrac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \)
ஆக,\(sinAcosA=2\left[ \cfrac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \right] \left[ \cfrac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \right] =1\) =1
எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

பெரிய மரத்தின் உயரம் AB என்க. சிறிய மரத்தின் உயரம் CD என்க. தரையில் உள்ள ஒரு புள்ளி X என்க.

செங்கோண Δ XAB -ல்
cos40°= \(\frac { AX }{ BX } =\frac { AC+CX }{ BQ+DX } \)
0.7660 = \(\frac { AC+8 }{ 20+10.44 } \) ⇒ AC = 23.32 - 8 = 15.32 மீ
இரண்டு மரங்களுக்கு இடையேயுள்ள கிடைமட்டத் தொலைவு AC = 15.32 மீ.

செங்கோண Δ HIJ-ல்
sin11° = \(\frac { IJ }{ HJ } \)
0.1908 = \(\frac { IJ }{ 180 } \); IJ = 34.34 கி.மீ
H-ன் வடக்கு திசையிலிருந்து J-ன் தொலைவு = 34.34 கி.மீ.

படத்தில் W என்பது சன்னலிலுள்ள ஒரு புள்ளி என்க. இப்புள்ளியிலிருந்து ஏற்றக்கோணமும், இறக்கக்கோணமும் கணக்கிடப்படுகிறது எனக் கொள்வோம். PQ என்பது எதிர்பக்கத்தில் உள்ள வீடு என்க.

WA என்பது சன்னலிலிருந்து வீட்டிற்கு உள்ள தொலைவாகும்.
சன்னலின் உயரம் = h = AQ (WR = AQ)
PA = x மீ என்க.
செங்கோண Δ PAW -ல்
\({ \tan\theta }_{ 1 }=\frac { AP }{ PW } \)
\({ \tan\theta }_{ 1 }=\frac { x }{ PW } \)
⇒ AW = \(\frac { x }{ { \tan }\theta _{ 1 } } \)
ஆகவே, AW = x cot θ₁ ...(1)
செங்கோண Δ QAW -ல் \({ \tan\theta }_{ 2 }=\frac { AQ }{ AW } \)
\({ \tan\theta }_{ 2 }=\frac { h }{ AW } \)
AW = h cot θ₂ ...(2)
(1) மற்றும் (2) -லிருந்து x cot θ₁ = h cot θ₂
x = \(h\frac { { \cot\theta }_{ 2 } }{ { \cot\theta }_{ 1 } } \)
ஆகவே, எதிர்பக்கத்தில் உள்ள வீட்டின் உயரம்
= PA + AQ = x + h = \(h\frac { { \cot\theta }_{ 2 } }{ { \cot\theta }_{ 1 } } +h=h\left( 1+\frac { { \cot\theta }_{ 2 } }{ { \cot\theta }_{ 1 } } \right) \) நிரூபிக்கப்பட்டது.

கோபுரத்தின் உயரம் BC என்க. கம்பத்தின் உயரம் CD எனக் கொள்க.
உற்று நோக்குப் புள்ளி A என்க.
மேலும் BC = x மற்றும் AB = y என்க.
படத்தில்,
ㄥBAD = 60° மற்றும் ㄥXCA = 45° = ㄥBAC
செங்கோண Δ ABC - ல் tan 45° = \(\frac {BC}{AB }\)
எனவே, 1 = \(\frac {x }{y }\) ⇒ x = y ....(1)
செங்கோண Δ ABD -ல்
tan 60° = \(\frac { BD }{ AB } =\frac { BC+CD }{ AB } \)
\(\sqrt { 3 } =\frac { x+5 }{ y } \) ⇒ \(\sqrt { 3 } y=x+5\)
எனவே, \(\sqrt { 3 } x =x+5\) [(1) -லிருந்து]
ஆகவே, \(\frac { 5 }{ \sqrt { 3 } -1 } =\frac { 5 }{ \sqrt { 3 } -1 } \times \frac { \sqrt { 3 } +1 }{ \sqrt { 3 } +1 } =\frac { 5(1.732+1) }{ 2 } \) = 6.83
எனவே, கோபுரத்தின் உயரம் = 6.83 மீ.

(i) செங்கோன Δ GOH-ல் cos 24° = \(\frac { OG }{ GH } \)
0.9135 = \(\frac { OG }{ 250 } \); OG = 228.38 கி.மீ
G-ன் வடக்கு திசையிலிருந்து H-ன் தொலைவு = 228.38 கி.மீ.
(ii) செங்கோண Δ GOH-ல்,
sin 24° = \(\frac { OH }{ GH } \)
0.4067 = \(\frac { OH }{ 250 } \); OH = 101.68
G-ன் கிழக்கு திசையிலிருந்து H-ன் தொலைவு 101.68 கி.மீ.
(iii) செங்கோண Δ HIJ-ல்
sin11° = \(\frac { IJ }{ HJ } \)
0.1908 = \(\frac { IJ }{ 180 } \); IJ = 34.34 கி.மீ
H-ன் வடக்கு திசையிலிருந்து J-ன் தொலைவு = 34.34 கி.மீ.
(iv) செங்கோண Δ HIJ-ல்,
cos11° = \(\frac { HI }{ HJ } \)
0.9816 = \(\frac { HI }{ 180 } \); HI = 176.69 கி.மீ
H-ன் கிழக்கு திசையிலிருந்து J-ன் தொலைவு = 176.69 கி.மீ.

10.

தொலைக்காட்சிக் கோபுரத்தின் உயரம் AB என்க.
கால்வாயின் அகலம் BC என்க.

இங்கு, CD = 20 மீ.
செங்கோண Δ ABC – ல்
tan 58°= \(\frac { AB }{ BC } \)
1.6003 = \(\frac { AB }{ BC } \) ....(1)
செங்கோண Δ ABD – ல்
tan 30° = \(\frac { AB }{ BC } \) = \(\frac { AB }{ BC+CD } \)
\(\frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } =\frac { AB }{ BC+20 } \) ....(2)
(1)-ஐ (2) -ஆல் வகுக்கக் கிடைப்பது \(\frac { 1.6003 }{ \frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } } =\frac { BC+20 }{ BC } \)
BC = \(\frac {20 }{1.7717}\) = 11.29 மீ ....(3)
1.6003 = \(\frac {AB }{11.29}\) [ (1), (3) -லிருந்து]
AB = 18.07
எனவே, கோபுரத்தின் உயரம் = 18.07 மீ கால்வாயின் அகலம் = 11.29 மீ.