cot 85^o+cos75^o
= cot(90o-5o)+cos(90^o-15^o)
= tan 5^o+sin 15^o

cot 85^o + cos 75^o 
= cot(90o-5o)+cos (90^o-15^o)
= tan 5^o+sin 15^o

CD என்பது உயரம் 1.6 மீ கொண்ட சிலை மற்றும் BC என்பது பீடம் என்க,
செங்கோண முக்கோணம் \(\triangle \mathrm{ABC}\)-இலிருந்து
\(\tan 40^{\circ}=\frac{B C}{A B} \)
\(0.8391 =\frac{B C}{A B} \)
\(\mathrm{AB} =\frac{B C}{0.8391}\)   ....(1)
செங்கோண முக்கோணம் \(\triangle \mathrm{ABD}\)-இலிருந்து
\(\tan 60^{\circ}=\frac{B D}{A B} \)
\(\sqrt{3} =\frac{B C+C D}{A B} \)
\(1.732 =\frac{B C+1.6}{A B} \)
\(\mathrm{AB} =\frac{B C+1.6}{1.732}\)
(1) மற்றும் (2) இலிருந்து
\(\frac{B C}{0.8391} =\frac{B C+1.6}{1.732} \)
\(1.732 \mathrm{BC} =0.8391(\mathrm{BC}+1.6) \)
\(1.732 \mathrm{BC} =0.8391 \mathrm{BC}+(0.8391)(1.6) \)
\(1.732 \mathrm{BC}-0.8391 \mathrm{BC} =1.34256 \)
\(0.8929 \mathrm{BC} =1.34256 \)
\(\mathrm{BC} =\frac{1.34256}{0.8929}=\frac{13425.6}{8929}=1.5\) மீ
\(\therefore\) பீடத்தின் உயரம் = 1.5 மீ

BD என்பது குவிமாடத்தின் ஆரம் மற்றும் AD என்பது கொடிக்கம்பத்தின் உயரம் என்க.
(i) செங்கோண முக்கோணம் \(\triangle \mathrm{ABE}\) -இலிருந்து
\(\tan 45^{\circ} =\frac{A B}{B E} \)
\(1 =\frac{r+h}{r+7} \)
\(\mathrm{r}+7 =\mathrm{r}+\mathrm{h} \)
\(\mathrm{r}+\mathrm{h}-\mathrm{r} =7\)
h = 7  மீ
\(\therefore\) கொடிக்கம்பத்தின் உயரம் = 7 மீ
(ii) செங்கோண முக்கோணம் \(\triangle B D C\) லிருந்து
\(\tan 30^{\circ}=\frac{B D}{B C}=\frac{r}{r+7+5} \)
\(\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{r}{r+12} \)
\(\mathrm{r}+12=\sqrt{3} r \)
\(12 =\sqrt{3} r-r \)
\(12 =r(\sqrt{3}-1) \)
r(\(\sqrt3-1\))\(\times (\frac{\sqrt3+1}{\sqrt3+1})\)
\(12\times\frac{r(3-1)}{\sqrt3+1}\Rightarrow \frac{12\sqrt3+1}{2}\\ r = 6(\sqrt3+1)= 6(1.732+1)\\ =6\times2.732=16.39\)
\(\mathrm{r} =\frac{12}{1.732-1}=\frac{12}{0.732}=16.39 \) மீ
(i) கொடிக்கம்பத்தின் உயரம் = 7 மீ
(ii) குவிமாடத்தின் ஆரம் = 16.39 மீ

\(\sin \theta=\cos \theta \Rightarrow \theta=45^{\circ} \)
\(2 \tan ^2 \theta+\sin ^2 \theta-1=2 \tan ^2 45^{\circ}+\sin ^2 45^{\circ}-1 \)
\(=2(1)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2-1 \)
\(=2+\frac{1}{2}-1 \)
\(=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\)

\(5 x=\sec \theta \Rightarrow 25 x^2=\sec ^2 \theta \)   ...(1)
\(\frac{5}{x}=\tan \theta \Rightarrow \frac{25}{x^2}=\tan ^2 \theta \)   .....(2)
\((1)-(2) \Rightarrow 25 x^2-\frac{25}{x^2}=\sec ^2 \theta-\tan ^2 \theta \)
\(25\left(x^2-\frac{1}{x^2}\right) =1 \)
\(x^2-\frac{1}{x^2} =\frac{1}{25}\)