\(sin(A-B)=\cfrac { 1 }{ 2 } ,\therefore A-B={ 30 }^{ o }\)
மேலும் \(cos\left( A+B \right) =\cfrac { 1 }{ 2 } \)
\(\therefore A+B={ 60 }^{ o }\)
(1) மற்றும்(2) ஐத் தீர்க்க 
A-B+A+B=30^o+60^o
2A = 90^o
A = 45^o
\(\therefore\) A=45^o மற்றும் B = 15^o

கோபுரத்தின் உயரம் BC என்க. கம்பத்தின் உயரம் CD எனக் கொள்க.
உற்று நோக்குப் புள்ளி A என்க.
மேலும் BC = x மற்றும் AB = y என்க.
படத்தில்,
ㄥBAD = 60° மற்றும் ㄥXCA = 45° = ㄥBAC
செங்கோண Δ ABC - ல் tan 45° = \(\frac {BC}{AB }\)
எனவே, 1 = \(\frac {x }{y }\) ⇒ x = y ....(1)
செங்கோண Δ ABD -ல்
tan 60° = \(\frac { BD }{ AB } =\frac { BC+CD }{ AB } \)
\(\sqrt { 3 } =\frac { x+5 }{ y } \) ⇒ \(\sqrt { 3 } y=x+5\)
எனவே, \(\sqrt { 3 } x =x+5\) [(1) -லிருந்து]
ஆகவே, \(\frac { 5 }{ \sqrt { 3 } -1 } =\frac { 5 }{ \sqrt { 3 } -1 } \times \frac { \sqrt { 3 } +1 }{ \sqrt { 3 } +1 } =\frac { 5(1.732+1) }{ 2 } \) = 6.83
எனவே, கோபுரத்தின் உயரம் = 6.83 மீ.

(i) செங்கோன Δ GOH-ல் cos 24° = \(\frac { OG }{ GH } \)
0.9135 = \(\frac { OG }{ 250 } \);  OG = 228.38 கி.மீ
G-ன் வடக்கு திசையிலிருந்து H-ன் தொலைவு = 228.38 கி.மீ.
(ii) செங்கோண Δ GOH-ல்,
sin 24° = \(\frac { OH }{ GH } \)
0.4067 = \(\frac { OH }{ 250 } \); OH = 101.68
G-ன் கிழக்கு திசையிலிருந்து H-ன் தொலைவு 101.68 கி.மீ.
(iii) செங்கோண Δ HIJ-ல்
sin11° = \(\frac { IJ }{ HJ } \)
0.1908 = \(\frac { IJ }{ 180 } \); IJ = 34.34 கி.மீ
H-ன் வடக்கு திசையிலிருந்து J-ன் தொலைவு = 34.34 கி.மீ.
(iv) செங்கோண Δ HIJ-ல்,
cos11° = \(\frac { HI }{ HJ } \)
0.9816 = \(\frac { HI }{ 180 } \); HI = 176.69 கி.மீ
H-ன் கிழக்கு திசையிலிருந்து J-ன் தொலைவு = 176.69 கி.மீ.

\(\sec ^6 \theta=\tan ^6 \theta+3 \tan ^2 \theta \sec ^2 \theta+1 \)
இடப்பக்கம் \(=\sec ^6 \theta \)
\(=\left(\sec ^2 \theta\right)^3 \)
\(=\left(1+\tan ^2 \theta\right)^3 \quad\left[\because 1+\tan ^2 \theta=\sec ^2 \theta\right) \)
\(=1^3+\left(\tan ^2 \theta\right)^3+3(1)\left(\tan ^2 \theta\right)\left(1+\tan ^2 \theta\right) \)
\(\left[\because(a+b)^3=a^3+b^3+3 a b(a+b)\right] \)
\(= 1+\tan ^6 \theta+3 \tan ^2 \theta\left(\sec ^2 \theta\right) \)
\(\left[\because 1+\tan ^2 \theta=\sec ^2 \theta\right]\)
\(= \tan ^6 \theta+3 \tan ^2 \theta \sec ^2 \theta+1\)= வலப்பக்கம்

இடப்பக்கம்
\(\left( \frac { 1+{ \tan }^{ 2 }A }{ 1+{ \cot }^{ 2 }A } \right) =\frac { 1+{ \tan }^{ 2 }A }{ 1+\frac { 1 }{ { \tan }^{ 2 }A } } \)
= \(\frac { 1+{ \tan }^{ 2 }A }{ \frac { { \tan }^{ 2 }A+1 }{ { \tan }^{ 2 }A } } ={ \tan }^{ 2 }A\) ......(1)
வலப்பக்கம்
\({ \left( \frac { 1-{ \tan }A }{ { 1-\cot A } } \right) }^{ 2 }={ \left( \frac { 1-\tan A }{ 1-\frac { 1 }{ \tan A } } \right) }^{ 2 }\)
= \({ \left( \frac { 1-\tan A }{ \frac { \tan A-1 }{ \tan A } } \right) }^{ 2 }={ (-{ \tan }A) }^{ 2 }={ \tan }^{ 2 }A\) .......(2)
(1), (2) லிருந்து \(\left( \frac { 1+{ \tan }^{ 2 }A }{ 1+{ \cot }^{ 2 }A } \right) ={ \left( \frac { 1-{ \tan }A }{ { 1-\cot A } } \right) }^{ 2 }\)

\(\left( \frac { { \cos }^{ 3 }A-{ \sin }^{ 3 }A }{ \cos A-\sin A } \right) -\left( \frac { { \cos }^{ 3 }A+{ \sin }^{ 3 }A }{ \cos A+\sin A } \right) \)
= \(\left( \frac { (\cos A-\sin A)({ \cos }^{ 2 }A+{ \sin }^{ 2 }A+\cos A \sin A }{ \cos A-\sin A } \right) \)
= \(\left( \frac { (\cos A-\sin A)({ \cos }^{ 2 }A+{ \sin }^{ 2 }A-\cos A \sin A }{ \cos A+\sin A } \right) \) [ஏனெனில் a³ - b³ = (a - b)(a² + b² + ab), a³ + b³ = (a + b)(a² + b² - ab)]
= (1 + cos A sin A) - (1 - cos A sin A)
= 2 cos A sin A

(cosec θ - sin θ)(sec θ - cos θ)(tan θ + cot θ)
\(=\left( \frac { 1 }{ \sin\theta } -\sin \theta \right) \left( \frac { 1 }{ \cos\theta } -\cos\theta \right) \left( \frac { \sin\theta }{ \cos\theta } +\frac { \cos\theta }{ \sin\theta } \right) \)
\(=\frac { 1-{ \sin }^{ 2 }\theta }{ \sin\theta } \times \frac { 1-{ \cos }^{ 2 }\theta }{ \cos\theta } \times \frac { { \sin }^{ 2 }\theta +{ \cos }^{ 2 }\theta }{ \sin\theta \cos\theta } \)
\(=\frac { { \cos }^{ 2 }\theta { \sin }^{ 2 }\theta \times 1 }{ { \sin }^{ 2 }\theta { \cos }^{ 2 }\theta } =1\)

AB என்பது 90 அடி உயரமுள்ள கட்டடம்.
AD என்பது மின்தூக்கி 2 நிமிடத்தில் இறங்கிய தொலைவு என்க.
\(\angle E A C=\angle A C B=60^{\circ} \)
\(\angle F D C=\angle D C B=30^{\circ}\)
செங்கோண முக்கோணம் \(\triangle D C B\) லிருந்து
\(\tan 30^{\circ} =\frac{D B}{C B} \)
\(\frac{1}{\sqrt{3}} =\frac{D B}{30 \sqrt{3}} \)
\(\frac{30 \sqrt{3}}{\sqrt{3}} =\mathrm{DB} \)
DB = 30  அடி
\(\therefore \ \mathrm{AD}=\mathrm{AB}-\mathrm{DB}=90-30=60\)  அடி
கடந்த தொலைவு = 60 x 0.305  மீ
எடுத்துக் கொண்ட காலம் = 2 நிமி = 2 x 60 நொடி
\(\therefore\) மின்தூக்கியின் வேகம் = தூரம் / காலம்
\(=\frac{60}{2}\)
= 30 அடி/ நிமிடம்

\(\operatorname{cosec} \theta+\cot \theta=P\) எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது   .....(1)
\(\operatorname{cosec}^2 \theta-\cot ^2 \theta =1\)  (முற்றொருமை)
\(\operatorname{cosec} \theta-\cot \theta =\frac{1}{\operatorname{cosec} \theta+\cot \theta} \)
\(\operatorname{cosec} \theta-\cot \theta =\frac{1}{P}\)   .....(2)
(1) மற்றும் (2) ஆகியவற்றைக் கூட்டக்கிடைப்பது, \(2 \operatorname{cosec} \theta=P+\frac{1}{P}\)
\(2 \operatorname{cosec} \theta=\frac{P^2+1}{P} \quad \ldots \text { (3) }\)
(2) -லிருந்து (1) -ஐ கழித்தால் கிடைப்பது, \(2 \cot \theta=P-\frac{1}{P}\)
\(2 \cot \theta=\frac{P^2-1}{P} \quad \ldots(4)\)
(4) -ஐ (3) -ஆல் வகுக்கக் கிடைப்பது, \(\frac{2 \cot \theta}{2 \operatorname{cosec} \theta}=\frac{P^2-1}{P} \times \frac{P}{P^2+1}\)
\(\Rightarrow \cos \theta=\frac{P^2-1}{P^2+1}\) எனக் கிடைக்கிறது.

\(LHS=\cfrac { sin\theta -cos\theta +1 }{ sin\theta +cos\theta -1 } =\cfrac { tan\theta -1+sec\theta }{ tan\theta +1-sec\theta } \)
= \(\cfrac { \left( tan\theta +sec\theta \right) -1 }{ \left( tan\theta +cos\theta \right) +1 } \)
= \(\cfrac { \{ (tan\theta +sec\theta )-1\} \left( tan\theta -sec\theta \right) }{ \left\{ \left( tan\theta -sec\theta \right) +1 \right\} \left( tan\theta -sec\theta \right) } \)
= \(\cfrac { \left( { tan }^{ 2 }\theta -{ sec }^{ 2 }\theta \right) -\left( tan\theta -sec\theta \right) }{ \left( tan\theta -sec\theta \right) \left( tan\theta -sec\theta \right) } \)
= \(\cfrac { -1-tan\theta +sec\theta }{ \left( tan\theta -sec\theta \right) \left( tan\theta -sec\theta \right) } \)
= \(\cfrac { -1 }{ tan\theta -sec\theta } =\cfrac { 1 }{ sec\theta -tan\theta } \)

செங்கோண \(\Delta ABC\)-யில் 
\(tanA=\cfrac { BC }{ AB } =\cfrac { 4 }{ 3 } \)
BC=4k,AB =3k,இங்கு k என்பது மிகை எண்.

பிதாகரஸ் தேற்றத்தின்படி,
AC²=AB²+BC²
=(4k)²+(3k)²=25k²
ஆகையால் 
AC = 5k 
எனவே மற்ற முக்கோண விகிதங்களைக் காண்போம்.
\(sinA=\cfrac { BC }{ AC } =\cfrac { 4k }{ 5k } =\cfrac { 4 }{ 5 } \)
\(cosA=\cfrac { AB }{ AC } =\cfrac { 3k }{ 5k } =\cfrac { 3 }{ 5 } \)
\(cotA=\cfrac { 1 }{ tanA } =\cfrac { 3 }{ 4 } \)
\(cosecA=\cfrac { 1 }{ sinA } =\cfrac { 5 }{ 4 } \) மற்றும் 
\(scA=\cfrac { 1 }{ cosA } =\cfrac { 3 }{ 5 } \)

கட்டடத்தின் உயரம் BC என்க. தரையில் பந்து இருக்கும் இடத்தை A என்க. BC = 20 மீ, மேலும் ㄥXCA = 60° = ㄥCAB

AB = x மீ என்க.
செங்கோண Δ ABC – ல்
tan 60° = \(\frac {BC}{AB}\)
\(\sqrt 3 = \frac {20}{x }\)
x = \(\frac { 20\times \sqrt { 3 } }{ \sqrt { 3 } \times \sqrt { 3 } } =\frac { 20\times 1.732 }{ 3 } \) = 11.55 மீ
எனவே, கட்டடத்தின் அடிக்கும் பந்திற்கும் இடையேயுள்ள தொலைவு = 11.55 மீ.

AB மற்றும் DE - இரு நபர்கள்
AB = 2 DE
\(\mathrm{BD}=x \Rightarrow \mathrm{BC}=\mathrm{CD}=\frac{x}{2}\)
செங்கோண முக்கோணம் \(\triangle A B C\) லிருந்து
\(\tan \theta=\frac{A B}{B C} \)
\(\tan \theta=\frac{2 D E}{B C}=\frac{2 D E}{\frac{x}{2}}=\frac{4 D E}{x} \ldots \text { (1) }\)
செங்கோண முக்கோணம் \(\triangle E D C\) லிருந்து
\(\tan \theta=\frac{C D}{E D}=\frac{\frac{x}{2}}{E D} \)
\(\tan \theta=\frac{x}{2 E D}\)   ...(2)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து,
\(\frac{4 D E}{x} =\frac{x}{2 E D} \)
\(8 \mathrm{DE}^2 =\mathrm{x}^2 \)
\(\mathrm{DE}^2 =\frac{x^2}{8} \)
\(\mathrm{DE} =\frac{x}{\sqrt{8}} \)
\(\mathrm{DE} =\frac{x}{2 \sqrt{2}}\)

\( x=a \tan \theta \quad y=b \sec \theta \)
\(x^2=a^2 \tan ^2 \theta \quad y^2=b^2 \sec ^2 \theta \)
\(\frac{x^2}{a^2}=\tan ^2 \theta \quad \frac{y^2}{b^2}=\sec ^2 \theta \)
\(\sec ^2 \theta-\tan ^2 \theta=\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2} \)
\(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1\)

\(\sin \theta=\cos \theta \Rightarrow \theta=45^{\circ} \)
\(2 \tan ^2 \theta+\sin ^2 \theta-1=2 \tan ^2 45^{\circ}+\sin ^2 45^{\circ}-1 \)
\(=2(1)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2-1 \)
\(=2+\frac{1}{2}-1 \)
\(=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\)

\(\tan \theta \operatorname{cosec}^2 \theta-\tan \theta =\tan \theta\left(\operatorname{cosec}^2 \theta-1\right) \)
\(=\tan \theta \cot ^2 \theta \)
\(=\tan \theta \times \frac{1}{\tan ^2 \theta} \)
\(=\frac{1}{\tan 0}=\cot \theta\)

\(\sin ^2 \theta+\frac{1}{1+\tan ^2 \theta} =\sin ^2 \theta+\frac{1}{\sec ^2 \theta} \)
\(=\sin ^2 \theta+\cos ^2 \theta=1\)