கோபுரத்தின் உயரம் AB = 50 மீ
மரத்தின் உயரம் CD = y மற்றும் BD = x என்க.
படத்திலிருந்து,  ㄥXAC = 30° = ㄥACM மற்றும் ㄥXAD = 45° = ㄥADB

செங்கோண Δ ABD-ல்
tan45°= \(\frac {AB }{BD }\)
1 = \(\frac {50}{x }\) ⇒ x = 50 மீ
செங்கோண Δ AMC – ல்
tan30° = \(\frac {AM }{CM }\)
\(\frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } =\frac { AM }{ 50 } \) [DB = CM என்பதால்]
\(AM=\frac { 50 }{ \sqrt { 3 } } =\frac { 50\sqrt { 3 } }{ 3 } =\frac { 50\times 1.732 }{ 3 } \) = 28.87 மீ.
CD = MB = AB - AM = 50–28.87 = 21.13
எனவே, மரத்தின் உயரம் 21.13 மீ ஆகும்.

முதல் கட்டடத்தின் உயரம் AB = 60 மீ, மேலும் AB = MD = 60 மீ
இரண்டாவது கட்டடத்தின் உயரம் CD = h என்க.

தொலைவு BD = 140 மீ
மேலும், AM = BD = 140 மீ
படத்திலிருந்து  ㄥXCA = 30°= ㄥCAM
செங்கோண Δ AMC-ல்
tan 30° = \(\frac {CM }{AM }\)
\(\frac {1}{\sqrt 3}\) = \(\frac {CM }{140}\)
CM = \(\frac {140}{\sqrt 3}\) = \(\frac {140\sqrt 3}{3}\)
= \(\frac {140 \times 1.732}{3}\) = 80.83
மேலும் h = CD = CM + MD = 80.83 + 60 = 140.83 மீ
ஆகவே, இரண்டாவது கட்டடத்தின் உயரம் 140.83 மீ ஆகும்.

இடப்பக்கம்
\(\left( \frac { 1+{ \tan }^{ 2 }A }{ 1+{ \cot }^{ 2 }A } \right) =\frac { 1+{ \tan }^{ 2 }A }{ 1+\frac { 1 }{ { \tan }^{ 2 }A } } \)
= \(\frac { 1+{ \tan }^{ 2 }A }{ \frac { { \tan }^{ 2 }A+1 }{ { \tan }^{ 2 }A } } ={ \tan }^{ 2 }A\) ......(1)
வலப்பக்கம்
\({ \left( \frac { 1-{ \tan }A }{ { 1-\cot A } } \right) }^{ 2 }={ \left( \frac { 1-\tan A }{ 1-\frac { 1 }{ \tan A } } \right) }^{ 2 }\)
= \({ \left( \frac { 1-\tan A }{ \frac { \tan A-1 }{ \tan A } } \right) }^{ 2 }={ (-{ \tan }A) }^{ 2 }={ \tan }^{ 2 }A\) .......(2)
(1), (2) லிருந்து \(\left( \frac { 1+{ \tan }^{ 2 }A }{ 1+{ \cot }^{ 2 }A } \right) ={ \left( \frac { 1-{ \tan }A }{ { 1-\cot A } } \right) }^{ 2 }\)

tan² A - tan² B = \(\frac { { \sin }^{ 2 }A }{ { \cos }^{ 2 }A } -\frac { { \sin }^{ 2 }B }{ { \cos }^{ 2 }B } \)
\(=\frac { { \sin }^{ 2 }A{ \cos }^{ 2 }B-{ \sin }^{ 2 }B{ \cos }^{ 2 }A }{ { \cos }^{ 2 }A{ \cos }^{ 2 }B } \)
\(=\frac{\sin ^2 A\left(1-\sin ^2 B\right)-\sin ^2 B\left(1-\sin ^2 A\right)}{\cos ^2 A \cos ^2 B}\)
\(=\frac { { \sin }^{ 2 }A-{ \sin }^{ 2 }A{ \sin }^{ 2 }B-{ \sin }^{ 2 }B+{ \sin }^{ 2 }A{ \sin }^{ 2 }B }{ { \cos }^{ 2 }A{ \cos }^{ 2 }B } =\frac { { \sin }^{ 2 }A-{ \sin }^{ 2 }B }{ { \cos }^{ 2 }A{ \cos }^{ 2 }b } \)

இப்பொழுது, cos θ + sin θ = \(\sqrt2\) cos θ என்பதை இருபுறமும் வர்க்கப்படுத்துக.
(cos θ + sin θ)² = (\(\sqrt2\) cos θ)²
cos² θ +  sin² θ + 2 sin θ cos θ = 2 cos² θ
2 cos² θ - cos² θ -  sin² θ = 2 sin θ cos θ
cos² θ -  sin² θ = 2 sin θ cos θ
(cos θ + sin θ)(cos θ - sin θ) =  2 sin θ cos θ
cos θ - sin θ = \(\frac { 2\sin\theta \cos\theta }{ \cos\theta +\sin\theta } =\frac { 2 \sin\theta \cos\theta }{ \sqrt { 2 } \cos\theta } =\sqrt { 2 } \sin\theta \)
(ஏனெனில் cos θ + sin θ \(\sqrt { 2 } \cos\theta \) )
\(\therefore\) cos θ - sin θ = \(\sqrt { 2 } \sin\theta \)

(cosec θ - sin θ)(sec θ - cos θ)(tan θ + cot θ)
\(=\left( \frac { 1 }{ \sin\theta } -\sin \theta \right) \left( \frac { 1 }{ \cos\theta } -\cos\theta \right) \left( \frac { \sin\theta }{ \cos\theta } +\frac { \cos\theta }{ \sin\theta } \right) \)
\(=\frac { 1-{ \sin }^{ 2 }\theta }{ \sin\theta } \times \frac { 1-{ \cos }^{ 2 }\theta }{ \cos\theta } \times \frac { { \sin }^{ 2 }\theta +{ \cos }^{ 2 }\theta }{ \sin\theta \cos\theta } \)
\(=\frac { { \cos }^{ 2 }\theta { \sin }^{ 2 }\theta \times 1 }{ { \sin }^{ 2 }\theta { \cos }^{ 2 }\theta } =1\)

\(\frac { (1+\cot A+\tan A)(\sin A-\cos A) }{ { \sec }^{ 3 }A-{ cosec }^{ 3 }A } \)
= \(\frac { \left( 1+\frac { \cos A }{ \sin A } +\frac { \sin A }{ \cos A } \right) \left( \sin A-\cos A \right) }{ (\sec A-cosecA)({ \sec }^{ 2 }A+\sec A cosecA+{ cosec }^{ 2 }A } \)
= \(\frac { \frac { (\sin A \cos A+{ \cos }^{ 2 }A+{ \sin }^{ 2 }A)(\sin A-\cos A) }{ \sin A \cos A } }{ (\sec A- cosecA)\left( \frac { 1 }{ { \cos }^{ 2 }A } +\frac { 1 }{ \cos A \sin A } +\frac { 1 }{ { \sin }^{ 2 }A } \right) } \)
= \(\frac { (\sin A \cos A+1)\left( \frac { \sin A }{ \sin A\cos A } -\frac { \cos A }{ \sin A \cos A } \right) }{ (\sec A-cosecA)\left( \frac { { \sin }^{ 2 }A+\sin A \cos A+{ \cos }^{ 2 }A }{ { \sin }^{ 2 }A{ \cos }^{ 2 }A } \right) } \)
= \(\frac { (\sin A \cos A+1)(\sec A-cosecA) }{ (\sec A-cosecA)(1+\sin A \cos A) } \times { \sin }^{ 2 }A{ \cos }^{ 2 }A={ \sin }^{ 2 }A{ \cos }^2A\)

LHS = secA(1-sin A)(sec A +tanA)
= \(\left[ \cfrac { 1 }{ cosA } \right] \left( 1-sinA \right) \left[ \cfrac { 1 }{ cosA } +\cfrac { sinA }{ cosA } \right] \)
= \(\cfrac { \left( 1-sinA \right) (1+sinA) }{ { cos }^{ 2 }A } \)
= \(\cfrac { 1-{ sin }^{ 2 }A }{ { cos }^{ 2 }A } =\cfrac { { cos }^{ 2 }A }{ { cos }^{ 2 }A } =1=RHS\)

\(LHS=\cfrac { sin\theta -cos\theta +1 }{ sin\theta +cos\theta -1 } =\cfrac { tan\theta -1+sec\theta }{ tan\theta +1-sec\theta } \)
= \(\cfrac { \left( tan\theta +sec\theta \right) -1 }{ \left( tan\theta +cos\theta \right) +1 } \)
= \(\cfrac { \{ (tan\theta +sec\theta )-1\} \left( tan\theta -sec\theta \right) }{ \left\{ \left( tan\theta -sec\theta \right) +1 \right\} \left( tan\theta -sec\theta \right) } \)
= \(\cfrac { \left( { tan }^{ 2 }\theta -{ sec }^{ 2 }\theta \right) -\left( tan\theta -sec\theta \right) }{ \left( tan\theta -sec\theta \right) \left( tan\theta -sec\theta \right) } \)
= \(\cfrac { -1-tan\theta +sec\theta }{ \left( tan\theta -sec\theta \right) \left( tan\theta -sec\theta \right) } \)
= \(\cfrac { -1 }{ tan\theta -sec\theta } =\cfrac { 1 }{ sec\theta -tan\theta } \)

செங்கோண \(\Delta ABC\)-யில் 
\(tanA=\cfrac { BC }{ AB } =\cfrac { 4 }{ 3 } \)
BC=4k,AB =3k,இங்கு k என்பது மிகை எண்.

பிதாகரஸ் தேற்றத்தின்படி,
AC²=AB²+BC²
=(4k)²+(3k)²=25k²
ஆகையால் 
AC = 5k 
எனவே மற்ற முக்கோண விகிதங்களைக் காண்போம்.
\(sinA=\cfrac { BC }{ AC } =\cfrac { 4k }{ 5k } =\cfrac { 4 }{ 5 } \)
\(cosA=\cfrac { AB }{ AC } =\cfrac { 3k }{ 5k } =\cfrac { 3 }{ 5 } \)
\(cotA=\cfrac { 1 }{ tanA } =\cfrac { 3 }{ 4 } \)
\(cosecA=\cfrac { 1 }{ sinA } =\cfrac { 5 }{ 4 } \) மற்றும் 
\(scA=\cfrac { 1 }{ cosA } =\cfrac { 3 }{ 5 } \)