(i) \(\sqrt { { 16x }^{ 2 }+9{ y }^{ 2 }-24xy+24x-18y+9 } \)
= \(\sqrt { \left( 4x \right) ^{ 2 }+\left( -3y \right) ^{ 2 }+\left( 3 \right) ^{ 2 }+2\left( 4x \right) \left( -3y \right) +2\left( -3y \right) (3)+2\left( 4x \right) \left( 3 \right) } \)
= \(\sqrt { \left( 4x-3y+3 \right) ^{ 2 } } =\left| 4x-3y+3 \right| \)
(ii) \(\sqrt { \left( { 6x }^{ 2 }+x-1 \right) \left( { 3x }^{ 2 }+2x-1 \right) \left( { 2x }^{ 2 }+3x+1 \right) } \)
= \(\sqrt { \left( 3x-1 \right) \left( 2x+1 \right) \left( 3x-1 \right) (x+1)\left( 2x+1 \right) \left( x+1 \right) } =\left| \left( 3x-1 \right) \left( 2x+1 \right) \left( x+1 \right) \right| \)
(iii) முதலில் கொடுக்கப்பட்ட பல்லுறுப்பு கோவையைக் காரணிப்படுத்தலாம்.
\(\sqrt { 15 } { x }^{ 2 }+\left( \sqrt { 3 } +\sqrt { 10 } \right) x+\sqrt { 2 } =\sqrt { 15 } { x }^{ 2 }+\sqrt { 3x } +\sqrt { 10x } +\sqrt { 2 } \)
= \(\sqrt { 3x } \left( 5x+1 \right) +\sqrt { 2 } \left( \sqrt { 5x } +1 \right) \)
= \(\left( \sqrt { 5x } +1 \right) \times \left( \sqrt { 3x } +\sqrt { 2 } \right) \)
\(\sqrt { 5x^{ 2 } } +\left( 2\sqrt { 5 } +1 \right) x+2=\sqrt { 5 } { x }^{ 2 }+2\sqrt { 5x } +x+2\)
= \(\sqrt { 5x } \left( x+2 \right) +1\left( x+2 \right) =\left( \sqrt { 5x } +1 \right) \left( x+2 \right) \)
\(\sqrt { 3 } { x }^{ 2 }+\left( \sqrt { 2 } +2\sqrt { 3 } \right) x+2\sqrt { 2 } =\sqrt { { 3x }^{ 2 } } +\sqrt { 2x } +2\sqrt { 3x } +2\sqrt { 2 } \)
= \(x\left( \sqrt { 3x } +\sqrt { 2 } \right) +2\left( \sqrt { 3x } +\sqrt { 2 } \right) =\left( x+2 \right) \left( \sqrt { 3x } +\sqrt { 2 } \right) \)
எனவே
\(\sqrt { [15{ x }^{ 2 }+\left( \sqrt { 3 } +\sqrt { 10 } \right) x+\sqrt { 2 } ]\left[ \sqrt { { 5x }^{ 2 } } +(2\sqrt { 5 } +1)x+2 \right] \left[ \sqrt { { 3x }^{ 2 } } +\left( \sqrt { 2 } +\sqrt { 3 } \right) x+2\sqrt { 2 } \right] } \)
=\(\sqrt { (\sqrt 5{ x + 1})\left( \sqrt { 3 } +\sqrt { 2 } \right) (\sqrt 5{ x + 1}) (x + 2)+(\sqrt { 3 } x+ \sqrt 2)(x + 2) } \) = \(\left| \left( \sqrt { 5 } x+1 \right) \left( \sqrt { 3 } x+\sqrt { 2 } \right) \left( x+2 \right) \right| \)

x + 2y - z = 5 ...(1)
x - y + z = -2 ...(2)
-5x - 4y + z = -11 ...(3)

இங்கு 0 = 0 என்ற முற்றொருமை கிடைக்கிறது.
எனவே, கொடுக்கப்பட்ட  சமன்பாட்டு தொகுப்பிற்கு எண்ணற்ற தீர்வுகள் உண்டு

முதலிடம் பெறுபவர்களின் எண்ணிக்கை x, இரண்டாமிடம் பெறுபவர்களின் எண்ணிக்கை y, மூன்றாமிடம் பெறுபவர்களின் எண்ணிக்கை z என்க.
மொத்த பரிசுகள் = 24; மொத்த புள்ளிகள் = 56.
எனவே, மூன்று மாறிகளில் அமைந்த நேரிய சமன்பாடு
x + y + z = 24  ...(1)
5x + 3y + z = 56 ...(2)
x + y = z   ...(3)
(3) ஐ (1) -யில் பிரதியிட, நாம் பெறுவது, z + z = 24 ⇐, z = 12

x = 4, z = 12 என (3) –யில் பிரதியிட நாம் பெறுவது, y = 12 - 4 = 8
எனவே, முதலிடம் பெற்றவர்களின் எண்ணிக்கை 4 ஆகும்;
இரண்டாமிடம் பெற்றவர்களின் எண்ணிக்கை 8 ஆகும்.
மூன்றாமிடம் பெற்றவர்களின் எண்ணிக்கை 12 ஆகும்;

(i) \(x^4+3 x^3-x-3, x^3+x^2-5 x+3\)
உயர்ந்த வரிசை பல்லுறுப்புக் கோவையை, குறைந்த வரிசை பல்லுறுப்புக் கோவையால் வகுக்க, மற்றும்
\(f(x)=x^4+3 x^3-x-3 \)
\(g(x)=x^3+x^2-5 x+3\) என்க.
f(x) ஐ g(x) ஆல் வகுக்க,

 g(x)-ன் வகுத்தி '3' இல்லாததால்,  g(x) ஐ x² + 2x - 3 ஆல் வகுக்க,

மீதி பூச்சியம் வருவதால் மீ.பெ.வ = x² + 2x -3
(ii) \(f(x)=x^4-1, g(x)=x^3-11 x^2+x-11\) என்க. f(x) ஐ g(x) ஆல் வகுக்க

\(=120\left(x^2+1\right) \neq 0\)
'120' என்பது g(x) ன் வகுத்தி அல்ல. எனவே, g(x) ஐ x² + 1 ஆல் வகுக்க.

மீதி பூச்சியம் வருவதால், மீ.பெ.வ = x² + 1
(iii) \(f(x) =4 x^4+14 x^3+8 x^2-8 x  \)
\(=2\left(2 x^4+7 x^3+4 x^2-4 x\right)  \) மற்றும்
\(g(x) =3 x^4+6 x^3-12 x^2-24 x \)
\(=3\left(x^4+2 x^3-4 x^2-8 x\right) \) என்க. 
\(2 x^4+7 x^3+4 x^2-4 x \ ஐ \ x^4+2 x^3-4 x^2-8 x\) ஆல் வகுக்க

மீதி பூச்சியம் வருவதால், மீ.பெ.வ = x³ + 4x² + 4
அதாவது,  x(x² + 4x + 4) = x(x + 2)²
(iv) \(\mathrm{f}(\mathrm{x}) =6 \mathrm{x}^3+12 \mathrm{x}^2+6 \mathrm{x}+12  \)
\(=6\left(\mathrm{x}^3+2 \mathrm{x}^2+\mathrm{x}+2\right)  \)
\(\mathrm{g}(\mathrm{x}) =3 \mathrm{x}^3+3 \mathrm{x}^2+3 \mathrm{x}+3  \)
\(=3\left(\mathrm{x}^3+\mathrm{x}^2+\mathrm{x}+1\right)\) என்க 
6, 3 ன் மீ.பொ.வ 3
இப்போது, \(x^3+2 x^2+x+2 \ ஐ \ x^3+x^2+x+1\) ஆல் வகுக்க

மீதி பூச்சியம் வருவதால் மீ.பெ.வ = 3(x² + 1)

\(A+B=\left( \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{matrix} \right) +\left( \begin{matrix} 1 & 7 & 0 \\ 1 & 3 & 1 \\ 2 & 4 & 0 \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} 1+1 & 2+7 & 3+0 \\ 4+1 & 5+3 & 6+1 \\ 7+2 & 8+4 & 9+0 \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} 2 & 9 & 3 \\ 5 & 8 & 7 \\ 9 & 12 & 9 \end{matrix} \right) \)

(i) \(\cfrac { x-3 }{ { x }^{ 2 }-9 } =\cfrac { x-3 }{ (x+3)(x-3) } =\cfrac { 1 }{ x+3 } \)
(ii) \(\cfrac { { x }^{ 2 }-16 }{ { x }^{ 2 }+8x+16 } =\cfrac { (x+4)(x-4) }{ \left( x+4 \right) ^{ 2 } } =\cfrac { x-4 }{ x+4 } \)

A ன் வரிசை = 2 x 3
B ன் வரிசை = 3 x 4
AB ன் வரிசை = 2 x 4
AB ல் நிரல்களின் எண்ணிக்கை = 4

α,β என்பன \(\mathrm{qx}^2+\mathrm{p} \dot{\mathrm{x}}+\mathrm{r}=0\) என்ற சமன்பாட்டின் மூலங்கள் என்க.
மூலங்களின் கூடுதல் \(\alpha+\beta=\frac{-p}{q}\)
மூலங்களின் பெருக்கல் \(\alpha \beta=\frac{r}{q}\)
\(\alpha^2, \beta^2\) என்பன \(\mathrm{q}^2 \mathrm{x}^2+\mathrm{p}^2 \mathrm{x}+\mathrm{r}^2=0\) என்ற சமன்பாட்டின் மூலங்கள்
∴ மூலங்களின் கூடுதல் \(\alpha^2+\beta^2=\frac{-p^2}{q^2}\)
ஆனால் \(\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2 \alpha \beta\)
\(\therefore\left(\frac{-p}{q}\right)^2-\frac{2 r}{q}=\frac{-p^2}{q^2} \)
\(\frac{p^2}{q^2}+\frac{p^2}{q^2}=\frac{2 r}{q} \)
\(\frac{2 p^2}{q^2}=\frac{2 r}{q} \Rightarrow \frac{p^2}{q^2}=\frac{r}{q}\)
p²=qr⇒p என்பது பெருக்குச் சராசரி மற்றும் q, p, r ஆகியன பெருக்குத் தொடர் வரிசையில் அமையும்.

\((2 \mathrm{x}-1)^2  =9   \)
\(2 \mathrm{x}-1  =\pm 3  \)
\(2 \mathrm{x}-1  =3 \quad 2 \mathrm{x}-1  =-3 \)
\(2 \mathrm{x} =4  \quad 2 \mathrm{x} =-2\)
\(\mathrm{x} =2  \quad \mathrm{x}  =-1\)
தீர்வு x = -1,2

\(\frac{x}{x^2-25}-\frac{8}{x^2+6 x+5} =\frac{x}{(x+5)(x-5)}-\frac{8}{(x+5)(x+1)}  \)
\(=\frac{x(x+1)-8(x-5)}{(x+5)(x-5)(x+1)}  \)
\(=\frac{x^2+x-8 x+40}{(x+5)(x-5)(x+1)}  \)
\(=\frac{x^2-7 x+40}{\left(x^2-25\right)(x+1)}\)

x + y - 3z = -6    .....(1)
-7y + 7z = 7  ........(2)
3z  = 9 ⇒ z = 3     ......(3)
(2) ⇒-7y + 7z = 7 (÷7)
-y + z = 1
-y + 3 = 1
y = 3- 1 = 2
(1) ல் பிரதியிட,
x + 2 - 3(3) = -6 
x + 2 - 9 = -6 
x = -6 + 7 = 1
∴ தீர்வு: x = 1, y = 2, z = 3