p²x²+(p²-q²)x-q²=0
ax²+bx+c=0
a=p²
b=p²-q²
c=-q²
\(\Delta ={ b }^{ 2 }-4ac\)
= (p²-q²)-4Xp²X-q²
= (p²-q²)2+4p²q²
= (p²+q²)²>0
கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டிற்கு மெய்யெண் தீர்வுகள் உண்டு.
\(\alpha =\cfrac { -b-\sqrt { \Delta } }{ 2a } =\cfrac { -({ p }^{ 2 }-{ q }^{ 2 })+\left( { p }^{ 2 }+q^{ 2 } \right) }{ 2{ p }^{ 2 } } \)
\(\beta =\cfrac { -b-\sqrt { \Delta } }{ 2a } =\cfrac { -\left( { p }^{ 2 }-{ q }^{ 2 } \right) -\left( p^{ 2 }+{ q }^{ 2 } \right) }{ 2{ p }^{ 2 } } \)

=-1

முதல் உறுப்பு a என்க, (a ஒரு மிகை ஒற்றை எண்)
எனினும் 0≤r<4, அதனால் கிடைக்கும் மீதி 0,1,2, 3 ஆகும்.
∴ a ஆனது 4q, (அல்லது)4q+1, (அல்லது) 4q+2 (அல்லது)4q+3, இங்கு q ஈவு ஆகும்.
a ஒரு ஒற்றை என்பதால் 4q மற்றும் 4q+2 ஆக இருக்க முடியாது(∵அவை 2ஆல் வகுப்படும்).
எனவே எந்த ஒரு மிகை ஒற்றை குழுவும் 4q+1 அல்லது 4q+3 என்ற வடிவில் அமையும்.

R-ன் மதிப்பகம் = {1, 2, 3, 4}
R-ன் துணை மதிப்பகம் = B = {-1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
R-ன் வீச்சகம் = {3, 6, 10, 9} 

P(x, y) எனும் புள்ளி A(7, 1) மற்றும் B(3, 5) யிலிருந்து சமதூரத்தில் உள்ள புள்ளி. இங்கு AP = BP. ஆகையால் AP² = BP².
(x - 7)² + (y - 1)² = (x - 3)² + (y - 5)²
x² - 14x + 49 + y² - 2y + 1 = x² - 6x + 9 + y² - 10y + 25
x - y = 2
இதுவே தேவையான உறவு ஆகும்.

கொடுக்கப்பட்டது XY||AC

ஆகையால் ∠BXY = ∠A மற்றும்
∠BYX = ∠C  (ஒத்த கோணங்கள்)
∴ ΔABC~ΔXBY (SAS விதிமுறைப்படி)
ஆகையால் \(\frac { ar(ABC) }{ ar(XBY) } ={ \left( \frac { AB }{ XB } \right) }^{ 2 }\) ...(1)
ar(ABC) = 2ar(XBY)
\(\frac { ar(ABC) }{ ar(XBY) } =\frac { 2 }{ 1 } \) ...(2)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து,
\({ \left( \frac { AB }{ XB } \right) }^{ 2 }=\frac { 2 }{ 1 } \) i.e.  \(\frac { AB }{ XB } =\frac { \sqrt { 2 } }{ 1 } \)
\(\frac { XB }{ AB } =\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \)
\(1-\frac { XB }{ AB } =1-\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \)
\(\frac { AB-XB }{ AB } =\frac { \sqrt { 2 } -1 }{ \sqrt { 2 } } \)
\(\frac { AX }{ AB } =\frac { \sqrt { 2 } -1 }{ \sqrt { 2 } } =\frac { 2-\sqrt { 2 } }{ 2 } \)

(i) ΔAEC மற்றும் ΔADB இல்
\(\angle A E C=\angle A D B=90^{\circ}\)
ΔCAE = ΔBAD [∵ பொதுக்கோணம்]
[AA விதிமுறைப்படி]
\(\triangle A E C \sim \triangle A D B\)
(ii) அவற்றின் ஒத்த பக்கங்கள் விகிதசமம்.
\(\therefore \frac{C A}{A B}=\frac{C E}{D B}\)
எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

\(\alpha \) மற்றும் \(\beta \) என்பன கொடுக்கப்பட்ட இருபடிச் சமன்பாட்டின் மூலங்கள் என்க
(i) x² + 8x - 65 = 0 இங்கு a = 1,b = 8, c = -65 
\(\alpha +\beta =\cfrac { b }{ a } =-8\) மற்றும் \(\alpha \beta =\cfrac { c }{ a } =-65\)
\(\alpha +\beta =-8;\alpha \beta =-65\)
(ii) 2x² + 5x + 7 = 0 இங்கு, a = 2, b = 5, c = 7
\(\alpha +\beta =-\cfrac { b }{ a } =\cfrac { -5 }{ 2 } \) மற்றும் \(\alpha \beta =\cfrac { c }{ a } =\cfrac { 7 }{ 2 } \)
\(\alpha +\beta =-\cfrac { 5 }{ 2 } ;\alpha \beta =\cfrac { 7 }{ 2 } \)
(iii) kx² - k²x - 2k³ = 0 இங்கு,a = k, b = -k², c = -2k³
\(\alpha +\beta =-\cfrac { b }{ a } =\cfrac { -(-k^{ 2 }) }{ k } =k\) மற்றும் \(\alpha \beta =\cfrac { c }{ a } =\cfrac { -2k^{ 3 } }{ k } =-2k^{ 2 }\)

கொடுக்கப்பட்டது \(\left(x^2-3 x, y^2+4 y\right)=(-2,5)\)
\(\therefore\) x² - 3x = -2
x² - 3x + 2 = 0
(x - 1) (x - 2) = 0
x = 1, 2
y² + 4y = 5
y² + 4y - 5 = 0
(y + 5)(y - 1) = 0
y = -5, 1

படம் -ல் R குறிக்கப்பட்டுள்ளது. ஒவ்வொரு x ∈ X -க்கும், ஒரே ஒரு y ∈ Y உறுப்பு மட்டும் கிடைக்கிறது. எனவே X-ன் எல்லா உறுப்புகளுக்கும் Y-ல் ஒரே ஒரு நிழல் உரு உள்ளது. எனவே R-ஆனது ஒரு சார்பு ஆகும்.
மதிப்பகம் X = {1,2,3,4}; துணை மதிப்பகம் Y = {2,4,6,8,10}, வீச்சகம் f = {2,4,6,8}

\(\sqrt { 3 } \)=\(\frac {p}{q }\)
\(\sqrt { 3 } \)=\(\frac {p}{q }\)(q≠0) (p மற்றும் q  என்பன சார்பகா எண்கள்)
எனவே, \(\sqrt { 3 } \)=\(\frac {p}{q }\)
\(\sqrt { 3 } \)q =p 
இருபுறமும் வர்க்கப்படுத்த,
(\(\sqrt { 3 } \)q)²=p²
3q2=p2    ....(1)
q2=\(\frac{p^2}{3}\)
எனவே, 3 ஆனது p²-யை வகுக்கும் 3 ஆனது p-யையும் வகுக்கும்.
எனவே, \(\frac{p}{q}\)=c என்க 
p=3c
நமக்குத் தெரியும் 
3q²=p²
p=3c என (1)-ல் பிரதியட
3q²=(3c)²
3q²=9c²
q²=\(\frac{1}{3}\)x9x2
q²=3c²
\(\frac{q^2}{3}=c^2\)
எனவே 3 ஆனது q2 ஐ வகுக்கும் 
அதனால், 3 ஆனது q ஐயும் வகுக்கும் ...(3)
முரண்பாட்டினால் \(\sqrt { 3 } \) ஆனது விகிதமுறா எண் 

\(f(x)=\begin{cases} { x }^{ 2 }+2x+1\quad : -7\le x<-5 \\ x+5\quad \quad \quad\quad: -5\le x\le 2 \\ x-1\quad \quad \quad \quad2<x\le 6 \end{cases}\)
f(-7) = x² + 2x +1
= (-7)² + 2(-7) + 1
= 49 - 14 + 1 = 36
f(3) = x + 5 = -3 + 5 = 2
f(-7) - f(-3) = 36 - 2 = 34

P, Q என்ற புள்ளிகள் AB கோட்டினை 
AP = PQ = QB எனப் பிரிப்பதாகக் கொள்வோம்.

எனவே P ஆனது AB ஐ உட்புறமாக 1:2 என்ற விகிதத்தில் பிரிக்கிறது. எனவே, P பிரிவு சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி
\(P(x,y)=\left[ \frac { 1(-7)+2(2) }{ 1+2 } ,\frac { 1(7)+2(-2) }{ 1+2 } \right] \)  i.e., (-1, 0)
மேலும் Q ஆனது AB இன் உட்புறமாக 2:1 என்ற விகிதத்தில் Q பிரிக்கிறது.
\(\therefore Q(x,y)=\left[ \frac { 2(-7)+1(2) }{ 2+1 } ,\frac { 2(4)+(-2) }{ 2+1 } \right] \) i.e., (-4, 2)
∴ AB கோட்டினை P(-1, 0) மற்றும் (-4, 2) புள்ளிகள் மூன்றும் பிரிவுகளாகப் பிரிக்கின்றன. 

ΔADC யில்
AC² = AD² + CD²  ...(1)
(பிதாகரஸ் தேற்றத்தின்படி)
ΔADB யில்,
AB² = AD² + BD² ...(2)
(பிதாகரஸ் தேற்றத்தின்படி)
(1) ஐ (2) லிருந்து கழிக்க
AB² - AC² = BD² - CD²
AB² + CD² = BD² + AC²

AC என்ற ஏணியானது AB என்ற சுவருடன் \(\angle B=90^{\circ}\) என்றவாறு ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தை உருவாக்குகிறது.

∴ பிதாகரஸ் தேற்றத்தின்படி,
\(A C^2=A B^2+B^2  \)
\(5^2 =4^2+B^2  \)
\(B C^2 =25-16 = 9\)
\(\mathrm{BC}^2 =9 \)
BC = 3 மீ
C ஆனது 1.6 மீ சுவர் பக்கமாக நகர்ந்தால் BC = 3 மீ - 1.6 மீ = 1.4 மீ
ΔABC இல்,
\(A C^2 =A B^2+B^2  \)
\(5^2 =A B^2+(1.4)^2  \)
\(25-1.96 =A B^2  \)
\(A B^2 =23.04 \)
A B = 4.8 மீ 
சுவரின் தற்போது உயரம் = 4.8 மீ
வேறுபாடு = 4.8 - 4 = 0.8 மீ
∴ ஏணியின் மேல்முனை சுவரில் 0.8 மீ தொலைவு மேல்நோக்கி நகரும்.

பெருக்குத் தொடா் வரிசையின்
9^வது உறுப்பு \(=ar^{9-1}=32805 \Rightarrow a r^8=32805 \ldots (1)\)
6^வது உறுப்பு \(=a r^{6-1}=1215 \Rightarrow a r^5=1215 \quad \ldots (2)\)
\(\frac{(1)}{(2)} \Rightarrow \frac{a r^8}{a r^5}=\frac{32805}{1215} \) \(\Rightarrow \mathrm{r}^3=27 \) ....(3)
∴ பெருக்குத் தொடர் வரிசையின் 12 -வது உறுப்பு
\(t_{12} =a r^{12-1}  \) = ar¹¹
= ar⁸ \(\times\) r³ = 32805 \(\times\) 27
= 765735
(\(\because\) (1) மற்றும் (3) லிருந்து)
பெருக்குத் தொடர் வரிசையின் 12 -வது உறுப்பு = 765735

கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் \(\left(-\frac{1}{2}, 3\right), (-5,6)\) மற்றும் (-8,8).
முக்கோணத்தின் பரப்பளவு \(=\frac{1}{2}\left[x_1\left(y_2-y_3\right)+x_2\left(y_3-y_1\right) +x_3\left(y_1-y_2\right)\right] \)
\(=\frac{1}{2}\left[-\frac{1}{2}(6-8)-5(8-3)-8(3-6)\right]  \)
\(=\frac{1}{2}\left[-\frac{1}{2}(-2)-5(5)-8(-3)\right]  \)
\(=\frac{1}{2}[1-25+24]=\frac{1}{2}(0)=0\)
முக்கோணத்தின் பரப்பளவு பூச்சியம் என்பதால், புள்ளிகள் ஒரே கோட்டமைந்த புள்ளிகளாகும்.

60 x 2 = 120^o

\(x^2+4 x+4 =0   \)
\((x+2)^2 =0\)
x = -2 (இருமுறை) 
மூலங்கள் மெய் மற்றும் சமம்.
∴ X-அச்சுடன் வெட்டும் புள்ளிகளின் எண்ணிக்கை 1.

\(A=2^{65} \)
\(B=2^{64}+2^{63}+2^{62}+\ldots+2^0\)
இங்கு \(a=2^{64} ; r=\frac{2^{63}}{2^{64}}=\frac{1}{2} ; n=65\)
\(\mathrm{S}_{\mathrm{n}}=\frac{a\left(r^n-1\right)}{r-1} \)
\(\mathrm{B}=\frac{2^{64}\left(\left(\frac{1}{2}\right)^{65}-1\right)}{-\frac{1}{2}}=2^{65}\left(\frac{1}{2^{65}}-1\right)(-1) \)
\(=\left(1-2^{65}\right)(-1) \) \(=2^{65}-1\)
\(\therefore B=\mathrm{A}-\mathrm{I} \)                  (\(\because\) \(\mathrm{A}=2^{65}\))
\(\mathrm{A}=\mathrm{B}+1\)

PQ-ன் சாய்வு \(=\frac{1}{\sqrt{3}}=\mathrm{m}\)
செங்குத்துகோட்டின் சாய்வு \(=\frac{-1}{m}=-\sqrt{3}\)

A = {1,2,3,4}, B = {4,8,9,10} மற்றும் f ={(1,4),(2,8),(3,9),(4,10)} ஒன்றுக்கு ஒன்றான சார்பு

ஒரு எண்ணின் பத்தாம் இட இலக்கம் =x என்க
அதன் ஒன்றாம் இட இலக்கம் = \(\cfrac { 18 }{ x } \)
\(\therefore\) அந்த எண் = \(10x+\cfrac { 18 }{ x } \)
இலக்கங்கள் இடம் மாறுவதால் கிடைக்கும் எண்
= \(10\times \cfrac { 18 }{ x } +x\)
\(\therefore \left( 10x+\cfrac { 18 }{ x } \right) -\left( 10\times \cfrac { 18 }{ x } +x \right) =63\)
\(\Rightarrow 10x+\cfrac { 18 }{ x } -\cfrac { 180 }{ x } -x=0\)
\(\Rightarrow 9x-\cfrac { 162 }{ x } -63=0\)
\(\Rightarrow\) 9x²-63x-162=0
\(\Rightarrow\) x²-7x-18=0
10 இட இலக்கம் குறை எண்ணாக இருக்க முடியாது.x=9.
அந்த எண் = \(10\times 9+\cfrac { 18 }{ 9 } =92\)

a_n=3+2n
a₁=3+2=5
a₂=3+2x2=7
a₃=3+2x3=9
எண் வரிசை 5,7,9,11,...
இங்கு, 7-5=9-7=11-9=2
இது ஒரு A.P d=2
S₂₄=? n=24, a=5, d=2.
s₂₄=\(\frac{24}{2}\)[2x5+(24-1)x2]
=12[10+46]=672.
∴ 24 உறுப்புகளின் கூடுதல் =672.

R =  {(a, -2), (-5, b), (8, c), (d, -1)}
a = -2, b = -5, c = 8, d = -1

Δ-ன் பரப்பு
= \(\frac { 1 }{ 2 } \) [1.5 (- 2 - 4) + 6(4 - 3) + (-3)(3 + 2)]
= \(\frac { 1 }{ 2 } \) [9 + 6 - 15] = 0
∴ Δ-ன் பரப்பு '0' எனில் முக்கோணம் அமைக்க இயலாது, ஏனெனில் மூன்று புள்ளிகளும் ஒரே கோட்டில் அமைவன.

O வழியே, PQ || BC வரைக.

PQ 丄 AB மற்றும் PQ 丄 DC (∵ ㄥB = 90° மற்றும் ㄥC = 90°)
ㄥBPQ = 90° மற்றும் ㄥCQP = 90°
∴ BPQC மற்றும் APQD செவ்வகங்கள்
ΔOPB லிருந்து
OB² = BP² + OP²  ...(1)
இதைப்போலவே ΔOQD லிருந்து
OD² = OQ²+DQ² ...(2)
ΔOQC லிருந்து 
OC² = OQ²+CQ² ...(3)
ΔOAP, we have
OA² = AP²+OP² ...(4)
(1) மற்றும் (2) ஐக் கூட்ட
OB² + OD² = BP² + OP² + OQ² + DQ²
(∵ BP = CQ மற்றும் DQ = AP)
= CQ² + OP² + OQ² + AP²
= CQ² + OQ² + OP² + AP²
= OC² + OA² [(3) மற்றும் (4) லிருந்து]

படி 1: BC = 8 செ.மீ என்ற கோட்டுத்துண்டு வரைக. 
படி 2: புள்ளி B வழியே ∠CBE = 60° என இருக்கும்படி BE வரைக.
படி 3: புள்ளி B வழியே ∠EBF = 90° என இருக்கும்படி BF வரைக.
படி 4: BC-க்கு வரையப்படும் மையக்குத்துக்கோடானது BF-ஐ O-விலும், BC-ஐ G-யிலும் சந்திக்கிறது.
படி 5: O-வை மையமாகவும், OB-யை ஆரமாகவும் கொண்டு ஒரு வட்டம் வரைக.
படி 6: புள்ளி B -யிலிருந்து BC-யில் 6 செ.மீ தொலைவில் D என்ற புள்ளிக்கு ஒரு வில் வரைக
படி 7: மையக்குத்துக்கோடானது வட்டத்தை I என்ற புள்ளியில் சந்திக்கிறது. ID-யை இணைக்கவும்.
படி 8: ID-யை வட்டத்தில் A-யில் சந்திக்குமாறு நீட்டவும். AB மற்றும் AC-யை இணைக்கவும்.\(\Delta \) ABC என்பது தேவையான முக்கோணம் ஆகும்.

படி 1 : y = 2x² -ன் வரைபடம் வரைவதற்கு மதிப்புகளைக் கீழ்க்கண்டவாறு அட்டவணைப்படுத்த வேண்டும்.

x	-2	-1	0	1	2
y	8	2	0	2	8

படி 2 : 2x² - x - 6 = 0 என்ற சமன்பாட்டின் தீர்வு காண்பதற்கு, முதலில் y = 2x² லிருந்து 2x² - x - 6 = 0 ஐ கழிக்க வேண்டும்.

y = x + 6 என்பது ஒரு நேர்கோட்டின் சமன்பாடு ஆகும். y = x + 6 நேர்கோட்டின் வரைபடம் வரைவதற்கு மதிப்புகளைக் கீழ்க்கண்டவாறு அட்டவணைப்படுத்த வேண்டும்.

x	-2	-1	0	1	2
y	4	5	6	7	8

படி 3 : y = 2x² என்ற பரவளையம் மற்றும் y = x + 6 என்ற நேர்கோடு வெட்டும் புள்ளிகள் (–1.5, 4. 5) மற்றும் (2, 8).
படி 4 : இப்புள்ளிகளின் x- ஆயத் தொலைவுகள் -1.5 மற்றும் 2 ஆகும்.
எனவே, சமன்பாடு 2x² - x - 6 = 0 -யின் தீர்வுகள் –1.5 மற்றும் 2 ஆகும்.

கொடுக்கப்பட்டது:
வெட்டுத்துண்டுகளின் விகிதம் 2: 5
அதாவது,  \(\frac{a}{b}=\frac{2}{5}\)
\(\mathrm{a}=\frac{2 b}{5}\)
கோட்டின் வெட்டுத்துண்டு வடிவச் சமன்பாடு
\(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1 \)
\(\Rightarrow \frac{x}{\left(\frac{2 b}{5}\right)}+\frac{y}{b}=1 \)
\(\Rightarrow \frac{5 x}{2 b}+\frac{y}{b}=1 \)
\(\Rightarrow 5 \mathrm{x}+2 \mathrm{y}=2 \mathrm{~b}\) ......... (1)
இது (1, -4) புள்ளி வழிச் செல்வதால்  
5(1) + 2(-4) = 2b
\(5-8=2 b \Rightarrow b=-\frac{3}{2} \)
b ன் மதிப்பை (1) ல் பிரதியிட 
\(5x+2y = 2(\frac{-3}{2})\)
\(\Rightarrow 5 x+2 y+3=0\)
இதுவே தேவையான நேர்கோட்டின் சமன்பாடு