\(\sqrt { 3 } \)=\(\frac {p}{q }\)
\(\sqrt { 3 } \)=\(\frac {p}{q }\)(q≠0) (p மற்றும் q  என்பன சார்பகா எண்கள்)
எனவே, \(\sqrt { 3 } \)=\(\frac {p}{q }\)
\(\sqrt { 3 } \)q =p 
இருபுறமும் வர்க்கப்படுத்த,
(\(\sqrt { 3 } \)q)²=p²
3q2=p2    ....(1)
q2=\(\frac{p^2}{3}\)
எனவே, 3 ஆனது p²-யை வகுக்கும் 3 ஆனது p-யையும் வகுக்கும்.
எனவே, \(\frac{p}{q}\)=c என்க 
p=3c
நமக்குத் தெரியும் 
3q²=p²
p=3c என (1)-ல் பிரதியட
3q²=(3c)²
3q²=9c²
q²=\(\frac{1}{3}\)x9x2
q²=3c²
\(\frac{q^2}{3}=c^2\)
எனவே 3 ஆனது q2 ஐ வகுக்கும் 
அதனால், 3 ஆனது q ஐயும் வகுக்கும் ...(3)
முரண்பாட்டினால் \(\sqrt { 3 } \) ஆனது விகிதமுறா எண் 

\(f(x)=\begin{cases} { x }^{ 2 }+2x+1\quad : -7\le x<-5 \\ x+5\quad \quad \quad\quad: -5\le x\le 2 \\ x-1\quad \quad \quad \quad2<x\le 6 \end{cases}\)
f(-7) = x² + 2x +1
= (-7)² + 2(-7) + 1
= 49 - 14 + 1 = 36
f(3) = x + 5 = -3 + 5 = 2
f(-7) - f(-3) = 36 - 2 = 34

P, Q என்ற புள்ளிகள் AB கோட்டினை 
AP = PQ = QB எனப் பிரிப்பதாகக் கொள்வோம்.

எனவே P ஆனது AB ஐ உட்புறமாக 1:2 என்ற விகிதத்தில் பிரிக்கிறது. எனவே, P பிரிவு சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி
\(P(x,y)=\left[ \frac { 1(-7)+2(2) }{ 1+2 } ,\frac { 1(7)+2(-2) }{ 1+2 } \right] \)  i.e., (-1, 0)
மேலும் Q ஆனது AB இன் உட்புறமாக 2:1 என்ற விகிதத்தில் Q பிரிக்கிறது.
\(\therefore Q(x,y)=\left[ \frac { 2(-7)+1(2) }{ 2+1 } ,\frac { 2(4)+(-2) }{ 2+1 } \right] \) i.e., (-4, 2)
∴ AB கோட்டினை P(-1, 0) மற்றும் (-4, 2) புள்ளிகள் மூன்றும் பிரிவுகளாகப் பிரிக்கின்றன. 

ΔADC யில்
AC² = AD² + CD²  ...(1)
(பிதாகரஸ் தேற்றத்தின்படி)
ΔADB யில்,
AB² = AD² + BD² ...(2)
(பிதாகரஸ் தேற்றத்தின்படி)
(1) ஐ (2) லிருந்து கழிக்க
AB² - AC² = BD² - CD²
AB² + CD² = BD² + AC²

கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் (a, b + c), (b, c + a) மற்றும் (c, a + b) 
முக்கோணத்தின் பரப்பளவு \(=\frac{1}{2}\left[x_1\left(y_2-y_3\right)+x_2\left(y_3-y_1\right)+x_3\left(y_1-y_2\right)\right] \)
\(=\frac{1}{2}[a(c+a-a-b)+b(a+b-b-c) +c(b+c-c-a)]  \)
\(=\frac{1}{2}[a(c-b)+b(a-c)+c(b-a)]  \)
\(=\frac{1}{2}[a c-a b+a b-b c+b c-a c]  \)
\(=\frac{1}{2}(0)=0\)
முக்கோணத்தின் பரப்பளவு பூச்சியம் என்பதால், புள்ளிகள் ஒரே கோட்டமைப் புள்ளிகளாகும்.

\(\angle A E D=90^{\circ}[\because A E \perp B C]\)
\(\mathrm{BC}=\mathrm{a}, \mathrm{AC}=\mathrm{b}, \mathrm{AB}=\mathrm{c}, \mathrm{ED}=\mathrm{x}, \mathrm{AD}=\mathrm{p}\) மற்றும் AE = h என தரப்பட்டுள்ளது.
ΔAEC இல், பிதாகரஸ் தேற்றத்தின்படி
\(A C^2=\mathrm{AE}^2+\mathrm{EC}^2  \)
\(\mathrm{AC}^2=\mathrm{AE}^2+(\mathrm{ED}+\mathrm{DC})^2  \)
\(\mathrm{AC}^2=\mathrm{AE}^2+\mathrm{ED}^2+\mathrm{DC}^2+2 \cdot \mathrm{ED} \cdot \mathrm{DC}  \)
\(\mathrm{AC}^2=\left(\mathrm{AE}^2+\mathrm{ED}^2\right)+\mathrm{DC}^2+2 \mathrm{ED} \cdot \mathrm{DC}  \)
\(\mathrm{AC}^2=\mathrm{AD}^2+\mathrm{DC}^2+2 \mathrm{ED} \cdot \mathrm{DC}  \)
\(\mathrm{AC}^2=\mathrm{AD}^2+\left(\frac{1}{2} B C\right)^2+2\left(\frac{1}{2} B C\right) D E\)
[∵ D ஆனது BC இன் மையப்புள்ளி, BD = DC]
\(\mathrm{AC}^2 =\mathrm{AD}^2+\mathrm{BC} \cdot \mathrm{DE}+\frac{1}{4} B C^2  \)
\(\mathrm{~b}^2 =\mathrm{P}^2+\mathrm{ax}+\frac{1}{4} a^2  \)
\(\mathrm{~b}^2 =\mathrm{P}^2+\mathrm{ax}+\frac{a^2}{4}\)

கொடுக்கப்பட்ட \(\triangle\)PQR -ன் பக்கங்களைப் போல் \(\frac { 7 }{ 4 } \) பங்கு அளவுடைய ஒத்த பக்கங்களைக் கொண்ட மற்றொரு முக்கோணத்தை அமைப்போம்.
வரைதலின் படிகள் 
1. ஏதேனும் ஓர் அளவைக் கொண்டு ΔPQR வரைக.
2. QR என்ற கோட்டுத்துண்டில் குறுங்கோணத்தை ஏற்படுத்துமாறு, QX என்ற கதிரை P என்ற முனைப் புள்ளிக்கு எதிர் திசையில் வரைக.
3. QX யின் மீது Q₁, Q₂, Q₃, Q_4, Q_5, Q₆  மற்றும் Q₇ என்ற 7 புள்ளிகளை (\(\frac { 7 }{ 4 } \) யில் 7 மற்றும் 4 ஆகியவற்றில் பெரியது)
QQ₁ = Q₁Q₂ = Q₂Q₃ = Q₃Q₄ = Q₄Q₅ = Q₅Q₆ = Q₆Q₇ என்றவாறு குறிக்கவும்.
4. Q₄ ஐ (4-வது புள்ளி, அதாவது \(\frac { 7 }{ 4 } \) யில் 4 மற்றும் 7 ஆகியவற்றில் சிறியது) புள்ளி R –வுடன் இணைக்க Q₄R -க்கு இணையாக Q₇-லிருந்து வரையப்படும் கோடு QR ஐ R'–ல் சந்திக்கிறது.
5. R'லிருந்து RP–க்கு இணையாக வரையப்படும் கோடு QP–ஐ P'–யில் சந்திக்கிறது. ΔP′QR'–யின் பக்கங்கள் ΔPQR  –ன் ஒத்த பக்கங்களின் அளவில் 4–ல் 7 பங்கு ஆகும்.
6. ΔP'QR'  ஆனது தேவையான வடிவொத்த முக்கோணம் ஆகும்.

முதல் n உறுப்புகளின் கூடுதல்
\(\mathrm{S}_n =2n^2-3n \)
∴ முதல் உறுப்பு S₁ = 2(1)² - 3(1) = 2 - 3 = - 1 = t₁
முதல் இரு உறுப்புகளின் கூடுதல்
\(\mathrm{S}_2 =2(2)^2-3(2) \)
= 8 - 6 = 2 
\(\therefore \quad \mathrm{t}_2 =\mathrm{S}_2-\mathrm{S}_1  \)
\(=2-(-1)=2+1  \)
\(\mathrm{t}_2 =3\)
முதல் மூன்று உறுப்புகளின் கூடுதல்
\(\mathrm{S}_3 =2(3)^2-3(3)  \)
\(=18-9=9  \)
\(\therefore  \mathrm{t}_3 =\mathrm{S}_3-\mathrm{S}_2=9-2  \)
\(\mathrm{t}_3 =7 \)
இங்கு  \(\mathrm{t}_2-\mathrm{t}_1 =3-(-1)=3+1=4 \)
\( \mathrm{t}_3-\mathrm{t}_2 =7-3=4  \)
\(\therefore \mathrm{t}_2-\mathrm{t}_1 =\mathrm{t}_3-\mathrm{t}_2.\)
∴ இது ஒரு கூட்டுத்தொடர்வரிசை ஆகும்.

f(x) = 6x³ - 30x² + 60x - 48 = 6(x³ - 5x² + 10x - 8) மற்றும் 
g(x) = 3x³ - 12x² + 21x - 18 = 3 (x³ - 4x² + 7x - 6) என இருப்பதால், தற்பொழுது நாம்
x³ - 5x² + 10x - 8 மற்றும் x² - 4x² + 7x - 6 என்ற பல்லுறுப்புக் கோவைகளின் மீ.பெ.வ காண்போம்.

இங்கு தலையாயக் கெழுக்கள் 3 மற்றும் 6 -ன் மீ.பெ.வ 3 ஆகும்
எனவே, மீ.பெ.வ [(6x³ - 30x² + 60x - 48, 3x³ - 12x² + 21x - 18)] = 3(x - 2)

கொடுக்கப்பட்டது X = {3,4,6,8}
உறவு \(\mathrm{R}=\left\{(x, f(x)) / x \in X, f(x)=x^2+1\right\}\)
x = 3 எனும்போது, \(\mathrm{f}(3)=(3)^2+1=9+1=10 \in N\)
x = 4 எனும்போது, \(\mathrm{f}(4)=(4)^2+1=16+1=17 \in N \)
x = 6 எனும்போது, \(\mathrm{f}(6)=(6)^2+1=36+1=37 \in N\)
x = 8 எனும்போது, \(\mathrm{f}(8)=(8)^2+1=64+1=65 \in N\)
\(R=\{(3,10),(4,17),(6,37),(8,65)\}\)
X-ன் எல்லா உறுப்புகளும் இயல் எண்களை நிழல் உருக்களாகக் கொண்டிருப்பதால், X -லிருந்து N-க்கான உறவு ஒரு சார்பாகும்.

4,10,16,22,..
இங்கு a₂-a₂=10-4=6
a₃-a₂=16-10=6
a₄-a₃=22-16=6
∴ அது ஒரு A.P. பொது வித்தியாசம் 6.
∴ அடுத்து இரண்டு உறுப்புகள், \(\underline { 28 } ,\underline { 34 } .\)

R-ன் மதிப்பகம் = {1, 2, 3, 4}
R-ன் துணை மதிப்பகம் = B = {-1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
R-ன் வீச்சகம் = {3, 6, 10, 9} 

B, D ஐ இணைப்பதால் ΔABD, ΔBCD கிடைக்கின்றன.
இப்பொழுது ΔABD - ன் பரப்பு
= \(\frac { 1 }{ 2 } \) [-5(- 5 - 5) + (-4) (5 - 7) + 4 (7 + 5 )]
= \(\frac { 1 }{ 2 } \) (50 + 8 + 48)
= \(\frac { 106 }{ 2 } \) = 53 சதுர அலகுகள்
மேலும் ΔBCD யின் பரப்பு
= \(\frac { 1 }{ 2 } \) [-4 (- 6 - 5) - 1 (5 + 5) + 4 (-5 + 6)]
= \(\frac { 1 }{ 2 } \) (44 - 10 + 4)
= 19 சதுர அலகுகள்
ஆகையால் நாற்கரம் ABCD-ன் பரப்பு
= 53 + 19 = 72 சதுர அலகுகள்

PQ||RS

அதனால், ∠P = ∠S (ஒன்றுவிட்ட கோணங்கள்)
∠Q = ∠R
∠PQR = ∠SOR(குத்தெதிர் கோணங்கள் சமம்)
∴ ΔPOQ∼ΔSOR (AAA  விதிமுறைப்படி)

f o f(k) = f(f(k)) = 2(2k - 1) - 1 = 4k - 3
எனவே, f o f(k) =4k - 3
ஆனால் f o f(k) = 5 எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.
\(4 k-3=5 \Rightarrow k=2\)

(i) 8x⁴y², 48x²y⁴
முதலில் நாம் எண் கெழுக்களின் மீ.சி.ம காண்போம்.
அதாவது, மீ.சி.ம (8, 48) = 2 x 2 x 2 x 6 = 48
இப்பொழுது உறுப்புகளில் உள்ள மாறிகளுக்கு மீ.சி.ம காண்போம்.
அதாவது மீ.சி.ம (x⁴y², x²y⁴) = x⁴y⁴
எண்கெழுக்களின் மீ.சி.ம மற்றும் மாறிகளின் மீ.சி.ம ஆகியவற்றின் பெருக்கற்பலன் கொடுக்கப்பட்ட கோவைகளின் மீ.சி.ம ஆகும். எனவே, மீ.சி.ம (8x⁴y², 48x²y⁴) = 48x⁴y⁴
(ii) (5x - 10), (5x² - 20)
5x - 10 = 5(x - 2)
5x² - 20 = 5(x² - 4) = 5(x + 2)(x - 2)
எனவே,மீ.சி.ம [(5x - 10), (5x² - 20)] = 5(x + 2)(x - 2)
(iii) (x⁴ - 1), x² - 2x + 1
x⁴ - 1 = (x²)² - 1 = (x² + 1)(x² - 1) = (x² + 1)(x + 1)(x - 1)
x² - 2x + 1 = (x - 1)²
எனவே, மீ.சி.ம [(x⁴ - 1), (x² - 2x + 1)] = (x² + 1)(x + 1)(x - 1)² 
(iv) x³ - 27, (x - 3)², x² - 9
x³ - 27 = (x - 3)(x² + 3x + 9); (x - 3)² = (x - 3)²; (x² - 9) = (x + 3)(x - 3)
எனவே, மீ.சி.ம [(x³ - 27), (x - 3)², (x² - 9) = (x - 3)² (x + 3)(x² + 3x + 9)

60 x 2 = 120^o

AB = \(\left(\begin{array}{rr} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{array}\right) \left[\begin{array}{rr} 0 & 1 \\ 2 & -1 \\ 0 & 2 \end{array}\right] \)
\(=\left[\begin{array}{rr} 1+4+0 \ \ 0-2 + 6 \\ 3+4+0 \ 0-2+2 \end{array}\right] =\left[\begin{array}{rr} 5 & 4 \\ 7 & 0 \end{array}\right] \)
\(\begin{gathered} A B+C=\left[\begin{array}{ll} 5 & 4 \\ 7 & 0 \end{array}\right]+\left(\begin{array}{rr} 0 & 1 \\ -2 & 5 \end{array}\right)=\left[\begin{array}{ll} 5 & 5 \\ 5 & 5 \end{array}\right] \\ \end{gathered}\)
இது சரி 
(ii) \(\begin{gathered} B C=\left[\begin{array}{rr} 1 & 0\\ 2 & -1 \\ 0 & 2 \end{array}\right] \end{gathered}\left(\begin{array}{rr} 0 & 1 \\ -2 & 5 \end{array}\right)\)
\(=\left[\begin{array}{rr} 0+0 \ 1+0 \\ 0+2 \ 2-5 \\ 0-4 \ 0+7 \end{array}\right] =\left[\begin{array}{rr} 0 & 1 \\ 2 & -3 \\ -4 & 7 \end{array}\right] \)
இது சரி 
(iii) BA \(=\left[\begin{array}{rr} 1 & 0\\ 2 & -1 \\ 0 & 2 \end{array}\right] \left(\begin{array}{rr} 1&2&3 \\ 3&2&1 \end{array}\right)\)
\(=\left[\begin{array}{rr} 1+0 & 2+0 & 3+0 \\2-3 & 4-2 &6-1 \\ 0+6 & 0+4 & 0+2 \end{array}\right] \)
\(=\left[\begin{array}{rr} 1 & 2& 3\\ -1 & 2 & -5 \\ 6&4&2 \end{array}\right]\)
BA + C காண இயலாது 
(AB)C = \(=\left[\begin{array}{ll} 5 & 4 \\ 7 & 0 \end{array}\right]+\left(\begin{array}{rr} 0 & 1 \\ -2 & 5 \end{array}\right)=\left[\begin{array}{ll} 0-8 & 5+20 \\ 0+0 & 7+0 \end{array}\right] =\left[\begin{array}{ll} -8 & 25 \\ 0 & 7 \end{array}\right] \)
இது சரியல்ல எனவே (i) மற்றும் (ii) மட்டுமே சரியானது 

\(\left(1^3+2^3+3^3+\ldots+15^3\right)-(1+2+3+\ldots+15)   \)
\(=\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2-\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]  \)
\(=\left[\frac{15 \times 16}{2}\right]^2-\left[\frac{15 \times 16}{2}\right]=(120)^2-120\)
= 14400 - 120 = 14280

கொடுக்கப்பட்டது: (a + 2, 4) = (5, 2a + b)
\(\begin{array}{rl|rl} a+2 & =5 & 2 a+b & =4 \\ a & =5-2 & 2(3)+b & =4 \\ & =3 & b=4-6 & =-2 \end{array} \)

ஏழு வருடங்களுக்கு முன்பு சுவாதியின் வயது = x ஆண்டுகள் என்க.
வருணின் வயது 5x² ஆண்டுகள் என்க.
சுவாதியின் தற்போதைய வயது =x+7 
வருணின் தற்போதைய வயது=(5x²+7)
3 ஆண்டுகளுக்கு பிறகு 
சுவாதியின் வயது =x+7+3
= x+10
வருணின் வயது= 5x²+7+3 
=5x²+10
3 ஆண்டுகளுக்குப் பிறகு சுவாதியின் வயது = \(\cfrac { 2 }{ 5 } \) வருணின் வயது 
\(\therefore x+10=\cfrac { 2 }{ 5 } \left( { 5x }^{ 2 }+10 \right) \\ \)
x+10=2x²+4
2x2-x-6=0
2x(x-2)+3(x-2)=0
(2x+3)(x-2)=0
x-2=0
x=0(\(\because\) 2x+3 \(\neq \)0 ஏனெனில் x>0)
சுவாதியின் தற்போதைய வயது =(2+7)ஆண்டுகள்
= 9ஆண்டுகள்
வருணின் தற்போதைய வயது =(5X²+7) ஆண்டுகள்
= 27 ஆண்டுகள்

இங்கு 
S₁₄=1050
n=14
a=10
s_n=\(\frac{n}{2}\)(2a+(n-1)d)
1050=\(\frac{14}{2}\)(20+13d)
=140+91d
910=91d
d=10
a₂₀=10+(20-1)x10
=20
∴ 20 வது உறுப்பு =200.

f(2) = 2x - 1
= 2(2) -1 = 3
f(4) = 3x² - 10
= 3 (4²) - 10 = 38
∴ f(2) - f(4) = 3 - 38 = -35

இணைகரத்தில் மூலைவிட்டங்கள் ஒன்றையொன்று இருசமக்கூறிடும். ∴ AC-ன் நடுப்புள்ளி = BD-ன் நடுப்புள்ளியின் ஆயத்தொலைவுகள்
\(\left( \frac { -2+4 }{ 2 } ,\frac { -1+b }{ 2 } \right) =\left( \frac { a+1 }{ 2 } ,\frac { 0+2 }{ 2 } \right) \)
\(\Rightarrow \left( 1,\frac { b-1 }{ 2 } \right) =\left( \frac { a+1 }{ 2 } ,1 \right) \)
\(\Rightarrow \frac { a+1 }{ 2 } \) = 1 ⇒ a + 1 = 2 ⇒ a = 1
\(\Rightarrow \frac { b-1 }{ 2 } \) = 1 ⇒ b - 1 = 2 ⇒ b = 3

AB - ஏணி, CA - சுவர், A - ஜன்னல்,
மேலும், BC = 2.5 மீ மற்றும் CA = 6 மீ
பித்தாகரஸ் தேற்றத்தின்படி,

AB² = BC²+ CA²
= (2.5)² + (6)²
= 42.25
AB = 6.5
ஏணியின் நீளம் = 6.5 மீ.

விட்டம் (d) = 6 செ.மீ எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. ஆரம் \(\left( r \right) =\frac { 6 }{ 2 } \) = 3 செ.மீ

வரைமுறை
படி 1 : O-வை மையமாகக் கொண்டு 3 செ.மீ ஆரமுள்ள வட்டம் வரைக
படி 2 : 8 செ.மீ நீளமுள்ள OP என்ற ஒரு கோடு வரைக.
படி 3 : OP-க்கு மையக்குத்துக் கோடு வரைக. அது OP-ஐ M -ல் சந்திக்கும்.
படி 4 : M-யை மையமாகவும், MO-வை ஆரமாகவும் கொண்டு வரையப்படும் வட்டமானது முந்தைய வட்டத்தை A மற்றும் B -யில் சந்திக்கிறது.
படி 5 : AP மற்றும் BP யை இணைக்கவும். AP மற்றும் BP தேவையான தொடுகோடுகள் ஆகும். தொடுகோட்டின் நீளம் PA = PB = 7.4 செ.மீ.
சரிபார்த்தல் : செங்கோண முக்கோணம் OPA-யில் PA² = OP² - OA² = 8² – 3² = 64 – 9 = 55
PA = \( \sqrt{55} = 7.4\) செ.மீ (தோராயமாக) .

y = x² - 4 
அட்டவணை மதிப்புகள்

வரைபடத்தில் புள்ளிகளைக் குறிக்க, y = x² - 4 என்ற வளைவரை கிடைக்கிறது.
x² - x - 12 = 0, என்பதைத் தீர்க்க,
y = x² - 4  லிருந்து \(x^2-x-12=0\) என்பதைக் கழிக்க.
 \(y=x^2+0 x-4  \)
\(0=x^2-x-12 \)
一一一一一一一一
y = x + 8 என்ற சமன்பாடு நோ்க்கோட்டை குறிக்கிறது.
一一一一一一一一
y = x + 8 என்ற நேர்க்கோட்டிற்கான வரைபடம் வரைய வேண்டும்.

நேர்க்கோடு, பரவளையத்தை (4, 12) மற்றும் (-3, 5) ஆகிய புள்ளிகளில் சந்திக்கிறது.
தீர்வு : x = 4, -3