-2,2,-2,2,-2
t₂-t₁=2-(-2)=4
t₃-t₂=-2-2=-4
t₄-t₃=2-(-2)=4
இது ஒரு கூட்டுத்தொடர் வரிசை அல்ல.

A-யின் வெவ்வேறான உறுப்புகள் வெவ்வேறு நிழல் உறுப்புகளை கொண்டுள்ளன. B-ன் ஒவ்வொரு உறுப்புக்கும் முன் உரு உள்ளது.
∴ இது ஒரு ஒன்றுக்கொன்றான மேல் சார்பு ஆகும்.

இணைகரத்தில் மூலைவிட்டங்கள் இருசமக்கூறிடும்.
∴ AC யின் மையப்புள்ளி = BD-ன் மையப்புள்ளி 
i.e., \(\left[ \frac { 6+9 }{ 2 } ,\frac { 1+4 }{ 2 } \right] =\left[ \frac { 8+p }{ 2 } ,\frac { 2+3 }{ 2 } \right] \)
\(\left[ \frac { 15 }{ 2 } ,\frac { 5 }{ 2 } \right] =\left[ \frac { 8+p }{ 2 } ,\frac { 5 }{ 2 } \right] \)
\(\frac { 15 }{ 2 } ,\frac { 8+p }{ 2 } \)
P = 7 

ΔADC யில்
AC² = AD² + CD²  ...(1)
(பிதாகரஸ் தேற்றத்தின்படி)
ΔADB யில்,
AB² = AD² + BD² ...(2)
(பிதாகரஸ் தேற்றத்தின்படி)
(1) ஐ (2) லிருந்து கழிக்க
AB² - AC² = BD² - CD²
AB² + CD² = BD² + AC²

வட்டத்தின் வெளியே உள்ள T என்ற புள்ளியிலிருந்து வட்டத்திற்கு வரையப்பட்ட தொடுகோடு TB ஆகும். OB-ஆரம்
\(\therefore \angle O B T=90^{\circ}\)
மேலும் \(\angle A B T=65^{\circ}\)(கொடுக்கப்பட்டது)
\(\therefore \angle O B A=\angle O B T-\angle A B T \)
\(=90^{\circ}-65^{\circ}=25^{\circ}\)
OA = OB [ஆரம்]
ΔABO ஒரு இருசமபக்க முக்கோணம்.
∴ இருசமபக்க முக்கோணத்தில் சமபக்கங்களுக்கு எதிரே உள்ள கோணங்கள் சமம்.
\(\therefore \angle O B A=\angle B A O=25^{\circ}\)
ΔAOB இல்
\(\angle A O B+\angle O B A+\angle O A B=180^{\circ} \)
\(\angle A O B+25^{\circ}+25^{\circ}=180^{\circ}\)
[முக்கோணத்தின் மூன்று கோணங்களின் கூடுதல் 180°]
\(\angle A O B+50^{\circ}=180^{\circ} \)
\(\angle A O B=180^{\circ}-50^{\circ}=130^{\circ} \)
\(\therefore \angle A O B=130^{\circ}\)

(i)
 
மேற்கண்ட தொடர்வரிசையில் தொகுதி ஒரே எண்ணாக உள்ளது மற்றும் அடுத்தடுத்த உறுப்புகளின் பகுதியானது 4 அதிகரிக்கிறது.
எனவே அடுத்த மூன்று உறுப்புகளானது a₅ = \(\frac { 1 }{ 14+4 } =\frac { 1 }{ 18 } \)
a₆ = \(\frac { 1 }{ 18+4 } =\frac { 1 }{ 22 } \)
a₇ = \(\frac { 1 }{ 22+4 } =\frac { 1 }{ 26 } \)
(ii) 
இங்கு ஒவ்வோர் உறுப்பும் முந்தைய உறுப்பைவிட 3 குறைவாக உள்ளது. எனவே அடுத்த மூன்று உறுப்புகள் -7, -10, -13.
(iii) 
இங்கு ஒவ்வோர் உறுப்பும் முந்தைய உறுப்பை 10 ஆல் வகுக்கக் கிடைக்கிறது. எனவே அடுத்த மூன்று உறுப்புகள்
a₄ = \(\frac { 0.01 }{ 10 } \) = 0.001
a₅ = \(\frac { 0.001 }{ 10 } \) = 0.0001
a₆ = \(\frac { 0.0001 }{ 10 } \) = 0.00001

M என்பது QS -ன் நடுப்புள்ளி.
\(\frac { { x }_{ 2 }+1 }{ 2 } \) = 2 ⇒ x₂ = 3
\(\frac { { y }_{ 2 }+1 }{ 2 } \) = -1 ⇒ y₂ = -3
⇒ Q = (3, -3)
∵ சாய்சதுரத்தில் மூலைவிட்டங்கள் ஒன்றையொன்று செங்குத்தாக இருசமக்கூறிடும்.
∴ \(\frac { { x }_{ 1 }+{ x }_{ 3 } }{ 2 } \) = 2 ⇒ x₁ + x₃ = 4       ...(1)
\(\frac { { y }_{ 1 }+{ y }_{ 3 } }{ 2 } \) = -1 ⇒ y₁ + y₃ = -2        ....(2)
\(\left( \frac { { { y }_{ 3 }-{ y }_{ 1 } } }{ { x }_{ 3 }-{ x }_{ 1 } } \right) \times \left( \frac { -3-1 }{ 3-1 } \right) =-1\)
(∵ m₁ x m₂ = -1)
⇒ \(\frac { { { y }_{ 3 }-{ y }_{ 1 } } }{ { x }_{ 3 }-{ x }_{ 1 } } =\frac { 1 }{ 2 } \) ⇒ x₃ - x₁ = 2(y₃ - y₁)   ...(3)
∵ QS = 2PR
QS = \(\sqrt { { (-3-1) }^{ 2 }+{ (3-1) }^{ 2 } } \)
= \(\sqrt { { (-4) }^{ 2 }+{ (2) }^{ 2 } } =\sqrt { 20 } \)
⇒ PR = \(\frac { \sqrt { 20 } }{ 2 } \)
⇒ \(\sqrt { { ({ { x }_{ 3 }-{ x }_{ 1 }) } }^{ 2 }+{ ({ y }_{ 3 }-{ y }_{ 1 }) }^{ 2 } } =\frac { \sqrt { 20 } }{ 2 } \)
(3) லிருந்து 
⇒ \(\sqrt { { \left[ 2({ y }_{ 3 }-{ y }_{ 1 }) \right] }^{ 2 }+{ ({ y }_{ 3 }-{ y }_{ 1 }) }^{ 2 } } =\frac { \sqrt { 20 } }{ 2 } \)
⇒ \(\sqrt { 5{ ({ y }_{ 3 }-{ y }_{ 1 }) }^{ 2 } } =\frac { \sqrt { 20 } }{ 2 } \)

⇒ y₃ - y₁ = 1   ....(4)|
y₃ - y₁ = 1 ⟶ (4A)
∴ x₃ - x₁ = 2 ⟶(5)
(4) மற்றும் (2) லிருந்து 
(4) + (2) ⇒ 2y₃ = -1 ⇒ y₃ = \(\frac { -1 }{ 2 } \)
(4) - (2) ⇒ -2y₁ = 3 ⇒ y₁ = \(\frac { -3 }{ 2 } \)
(5) மற்றும் (1) லிருந்து,
(5) + (1) ⇒ 2x₃ = 6 ⇒ x₃ = 3
(5) - (1) ⇒ -2x₁ = -2 ⇒ x₁ = +1
∴ P = \(\left( +1,\frac { 3 }{ 2 } \right) \) அல்லது 
(4A), (2) லிருந்து, 2y₃ = -3,         -2y₁ = 1
                                     \({ { y }_{ 3 } }=\frac { -3 }{ 2 } \) ⇒ \({ y }_{ 1 }=\frac { -1 }{ 2 } \) 
\(P=\left( 3,\frac { -1 }{ 2 } \right) \)

A = {1,3,5} ,B = {2,3} எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன.
(i) A x B = {1,3,5} x {2,3} = {(1,2), (1,3), (3,2), (3,3), (5,2), (5,3)}  .......(1)
B x A = {2,3} x {1,3,5} = {(2,1), (2,3), (2,5), (3,1), (3,3), (3,5)}   .......(2)
(ii) (1) மற்றும் (2) -ன் மூலமாக  A x B ≠ B x A ஏனெனில்  (1,2) ≠ (2,1), (1,3) ≠ (3,1)...
(iii) n(A) = 3; n(B) = 2.
(1) மற்றும் (2)-லிருந்து நாம் காண்பது, n (A x B) = n (B x A) = 6;
n (A) x n (B) = 3 x 2 = 6 மற்றும் n (B) x n (A) = 2 x 3 = 6
எனவே, n (A x B) = n (B x A) = n(A) x n(B) = 6.
ஆகவே, n (A x B) = n (B x A) = n(A) x n(B).

6=2¹x3¹ மற்றும் 
20=2x2x5=2²x5¹
HCF (6,20)=2 மற்றும் LCM (6,20)
=2x2x3x5=60
HCF (6,20)=2²=2
​​​​​​LCM (6,20)=2²x3¹ ​​​​​​x5¹=60
(a) மற்றும் (b)=4க்கு வகுத்தல் முறையைப் பயன்படுத்துவோம்.

சார்பு அல்ல. குத்துக்கோடு வளைவரையை இரு புள்ளிகளில் சந்திக்கிறது.

A (1, 7), B (4, 2), C (-1, -1) மற்றும் D (-4, 4) என்க. ABCD ஒரு சதுரம் என நிரூபிக்க வேண்டுமாயின் அதன் நான்கு பக்கங்களும் சமம் என்றும் மூலைவிட்டங்கள் சமம் என்றும் நிரூபிக்க வேண்டும்.
d = \(\sqrt { { \left( { x }_{ 2 }-{ x }_{ 1 } \right) }^{ 2 }+{ \left( { y }_{ 2 }-{ y }_{ 1 } \right) }^{ 2 } } \)
∴ AB = \(\sqrt { { \left( 1-4 \right) }^{ 2 }+{ \left( 7-4 \right) }^{ 2 } } =\sqrt { 9+25 } =\sqrt { 34 } \)
BC = \(\sqrt { { \left( 4+1 \right) }^{ 2 }+{ \left( 2+1 \right) }^{ 2 } } =\sqrt { 25+9 } =\sqrt { 34 } \)
CD = \(\sqrt { { \left( -1+4 \right) }^{ 2 }+{ \left( 7-4 \right) }^{ 2 } } =\sqrt { 9+25 } =\sqrt { 34 } \)
DA = \(\sqrt { { \left( 1+4 \right) }^{ 2 }+{ \left( 7+1 \right) }^{ 2 } } =\sqrt { 25+9 } =\sqrt { 34 } \)
AC = \(\sqrt { { \left( 1+1 \right) }^{ 2 }+{ \left( 7+1 \right) }^{ 2 } } =\sqrt { 4+64 } =\sqrt { 68 } \)
BD = \(\sqrt { { \left( 4+4 \right) }^{ 2 }+{ \left( 2-4 \right) }^{ 2 } } =\sqrt { 64+4 } =\sqrt { 68 } \)
AB = BC = CD = DA மற்றும் AC = BD
∴ ABCD ஒரு சதுரத்தின் உச்சிகள் ஆகும்.

OA.OB = OC.OD (கொடுக்கப்பட்டுள்ளது)

ஆகையால், \(\frac { OA }{ OC } =\frac { OD }{ OB } \) ...(1)
மேலும் ∠AOD = ∠COB (குத்தெதிர் கோணங்கள்) ....(2)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து
∴ ΔAOD~ΔCOB (SAS விதிமுறைப்படி)
ஆகையால் ∠A = ∠C மற்றும் ∠B = ∠D
(வடிவொத்த முக்கோணங்களின் ஒத்த கோணங்கள்)

\(\mathrm{f}(\mathrm{x})=\frac{2}{x}, \mathrm{~g}(\mathrm{x})=2 \mathrm{x}^2-1  \)
\(f \circ g=\mathrm{f}[\mathrm{g}(\mathrm{x})]=\mathrm{f}\left[2 \mathrm{x}^2-1\right]=\frac{2}{2 x^2-1}  \)
\(g \circ f=\mathrm{g}[\mathrm{f}(\mathrm{x})]=\mathrm{g}\left[\frac{2}{x}\right]=2\left(\frac{2}{x}\right)^2-1  \)
\(=2\left(\frac{4}{x^2}\right)-1=\frac{8-x^2}{x^2}  \)
\(\therefore f \circ g \neq g \circ f\)

தரப்பட்டுள்ளது: ABCD என்ற சரிவகத்தில் \(\mathrm{DC} || \mathrm{AB}\) மற்றும் \(\mathrm{EF} || \mathrm{AB}\)
நிரூபிக்க வேண்டியது: \(\frac{A E}{E D}=\frac{B F}{F C}\)
அமைப்பு: AC ஐ இணைக்கும் கோடு. EF ஐ G இல் சந்திக்கிறது.
நிரூபணம்:
ΔADC இல்
\(\mathrm{EG} || \mathrm{DC} \)
\(\Rightarrow \frac{A E}{E D}=\frac{A G}{G C}\)  [தேல்ஸ் தேற்றத்தின்படி]   ... (1) }
ΔABC இல்
\(\frac{A G}{G C}=\frac{B F}{F C}\) [தேல்ஸ் தேற்றத்தின்படி] ... (2)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து,
\(\frac{A E}{E D}=\frac{B F}{F C}\)

(i) \(\frac { { x }^{ 2 }-1 }{ { x }^{ 2 }+x } =\frac { (x+1)(x-1) }{ x(x+1) } =\frac { x-1 }{ x } \).
(ii) \(\frac { { x }^{ 2 }-11x+18 }{ { x }^{ 2 }-4x+4 } =\frac { (x-2)(x-9) }{ (x-2)(x-2) } =\frac { x-9 }{ x-2 } \)
(iii) \(\frac { 9{ x }^{ 2 }+81x }{ { x }^{ 3 }+8x^{ 2 }-9x } =\frac { 9x(x+9) }{ x({ x }^{ 2 }+8x-9) } =\frac { 9(x+9) }{x (x+9)(x-1) } \) =\(\frac { 9 }{ x-1 } \)
(iv) \(\frac { { p }^{ 2 }-3p-40 }{ 2{ p }^{ 3 }-24{ p }^{ 2 }+64p } =\frac { (p-8)(p+5) }{ 2p({ p }^{ 2 }-12p+32) } \)

A(-2, 5), B(6, -1) மற்றும் C(2, 2) என்பன கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் ஆகும்.
AB - யின் சாய்வு = \(\frac { -1-5 }{ 6+2 } =\frac { -6 }{ 7 } =\frac { -3 }{ 4 } \)
BC -  யின் சாய்வு = \(\frac { 2+1 }{ 2-6 } =\frac { 3 }{ -4 } =\frac { -3 }{ 4 } \)
AB-யின் சாய்வு = BC -யின் சாய்வு
எனவே, A, B, C என்ற புள்ளிகள் ஒரே நேர்க்கோட்டின் மேல் அமைந்துள்ளன. ஆகவே,  A, B, C  என்பன ஒரே கோடமைந்த புள்ளிகள் ஆகும்.

APBO என்ற நாற்கரத்தில்
\(70^{\circ}+90^{\circ}+90^{\circ}+\angle A O B =360^{\circ}  \)
\(\angle A O B =360^{\circ}-250^{\circ}=110^{\circ}\)

\(\frac{x}{x^2-25}-\frac{8}{x^2+6 x+5} =\frac{x}{(x+5)(x-5)}-\frac{8}{(x+5)(x+1)}  \)
\(=\frac{x(x+1)-8(x-5)}{(x+5)(x-5)(x+1)}  \)
\(=\frac{x^2+x-8 x+40}{(x+5)(x-5)(x+1)}  \)
\(=\frac{x^2-7 x+40}{\left(x^2-25\right)(x+1)}\)

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 இவற்றின் மீ.பொ.ம 2520

கொடுக்கப்பட்ட (5, 7), (3, p) மற்றும் (6,6) என்பன ஒரே கோடமைப் புள்ளிகள்
\(\therefore\) இப்புள்ளிகளால் அமையும் முக்கோணத்தின் பரப்பு பூச்சியம்.
அதாவது \(\frac{1}{2}\left\{x_1\left(y_2-y_3\right)+x_2\left(y_3-y_1\right)+x_3\left(y_1-y_2\right)\right\}=0\)
\(5(\mathrm{p}-6)+3(6-7)+6(7-\mathrm{p})=0 \)
\(5 \mathrm{p}-30-3+42-6 \mathrm{p}=0 \)
\(\Rightarrow-\mathrm{p}+9=0 \Rightarrow \mathrm{p}=9\)

சதுரங்க அட்டையின் ஒரு பக்க அளவு x என்க
64 சதுரங்களின் பரப்பு =(x-4)2
(x-4)²=64X6.25
\(\Rightarrow \)x²-8x+16=400
\(\Rightarrow \)x²-8x-384=0
\(\Rightarrow \)x²-24x+16x-384=0
\(\Rightarrow \)(x-24)(x+16)=0
x=24செ.மீ 

a_n=3+2n
a₁=3+2=5
a₂=3+2x2=7
a₃=3+2x3=9
எண் வரிசை 5,7,9,11,...
இங்கு, 7-5=9-7=11-9=2
இது ஒரு A.P d=2
S₂₄=? n=24, a=5, d=2.
s₂₄=\(\frac{24}{2}\)[2x5+(24-1)x2]
=12[10+46]=672.
∴ 24 உறுப்புகளின் கூடுதல் =672.

f(2) = 2x - 1
= 2(2) -1 = 3
f(4) = 3x² - 10
= 3 (4²) - 10 = 38
∴ f(2) - f(4) = 3 - 38 = -35

Δ-ன் பரப்பு
= \(\frac { 1 }{ 2 } \) [1.5 (- 2 - 4) + 6(4 - 3) + (-3)(3 + 2)]
= \(\frac { 1 }{ 2 } \) [9 + 6 - 15] = 0
∴ Δ-ன் பரப்பு '0' எனில் முக்கோணம் அமைக்க இயலாது, ஏனெனில் மூன்று புள்ளிகளும் ஒரே கோட்டில் அமைவன.

AB - ஏணி, CA - சுவர், A - ஜன்னல்,
மேலும், BC = 2.5 மீ மற்றும் CA = 6 மீ
பித்தாகரஸ் தேற்றத்தின்படி,

AB² = BC²+ CA²
= (2.5)² + (6)²
= 42.25
AB = 6.5
ஏணியின் நீளம் = 6.5 மீ.

வரைமுறை:
படி 1: QR = 5 செ.மீ என்ற கோட்டுத்துண்டு வரைந்தேன்.
படி 2: புள்ளி Q வழியே ∠RQE = 40° என இருக்கும்படி QF ஐ வரைந்தேன்.
படி 3: புள்ளி Q வழியே ∠EQF = 90° என இருக்கும்படி XY ஆனது QF ஐ வரைந்தேன்.
படி 4: QR - க்கு வரையப்படும் மையக் குத்துக் கோடு, ,QF ஐ O விழும் QR ஐ G - யிலும் சந்திக்கிறது.
படி 5: O - வை மையமாகவும் OQ - வை ஆரமாகவும் கொண்டு ஒரு வட்டம் வரைந்தேன்
படி 6: G-லிருந்து 4.4 செ.மீ ஆரமுள்ள வில்களை வட்டத்தில் வெட்டுமாறு வரைந்தேன் அவை வெட்டும் புள்ளிகளை P மற்றும் s' எனக் குறித்தேன்.
படி 7: QP மற்றும் PR ஐ இணைத்தேன் ΔPQR ஆனது தேவைக்கான முக்கோணம் ஆகும்.
படி 8: P இலிருந்து QR க்கு செங்குத்துக்கோடு PN வரைந்தேன். PN ஆனது QR -ஐ M - இல் சந்திக்கிறது.
படி 9: குத்துக்கோடு PM இன் நீளம் 2.1 செ.மீ ஆகும்.

(i) பால்காரரிடம் உள்ள பசும்பாலின் அளவு = 175 லிட்டர்
எருமைப்பாலின் அளவு = 105 லிட்டர்
விற்கப் பயன்படுத்தும் இரு கலன்களும் சம கொள்ளளவு உடையவை.
∴ ஒரு கலனின் கொள்ளளவு = 105, 175 இன் மீ.பொ.வ
யூக்ளிடின் வகுத்தல் துணைத் தேற்றத்தின்படி
175 = 105 x 1 + 70
105 = 70 x 1 + 35
70 = 35 x 2 + 0
மீதி = 0
∴ (105, 175) இன் மீ.பொ.வ = 35
கலனின் அதிகபட்ச கொள்ளளவு = 35 லிட்டர்.
(ii) பசும்பால் கலன்களின் எண்ணிக்கை

\(=\frac{175}{35}=5\)
விற்கப்பட்ட பசும்பாலின் அளவு = 5 கலன்கள்
(iii) எருமைப்பால் கலன்களின் எண்ணிக்கை

\(=\frac{105}{35}=3\)
விற்கப்பட்ட எருமைப்பாலின் அளவு = 3 கலன்கள்

y = x² - 9x + 20 = 0
y = x² - 9x + 20  என்க  
அட்டவணை மதிப்புகள்

வரைபடத்தில் புள்ளிகளைக் குறிக்க, நமக்குக் கிடைப்பது y = x² - 9x + 20
பரவளையம் X-அச்சை (4, 0) மற்றும் (5, 0) என்ற புள்ளிகளில் வெட்டுகிறது.
எனவே, தீர்வு x =4 ,5
பரவளையம் X-அச்சை வெவ்வேறு புள்ளிகளில் வெட்டுவதால், மூலங்கள் மெய் மற்றும் வெவ்வேறானவை.