-2,2,-2,2,-2
t₂-t₁=2-(-2)=4
t₃-t₂=-2-2=-4
t₄-t₃=2-(-2)=4
இது ஒரு கூட்டுத்தொடர் வரிசை அல்ல.

\(f(x)=\begin{cases} { x }^{ 2 }+2x+1\quad : -7\le x<-5 \\ x+5\quad \quad \quad\quad: -5\le x\le 2 \\ x-1\quad \quad \quad \quad2<x\le 6 \end{cases}\)
f(-7) = x² + 2x +1
= (-7)² + 2(-7) + 1
= 49 - 14 + 1 = 36
f(3) = x + 5 = -3 + 5 = 2
f(-7) - f(-3) = 36 - 2 = 34

இணைகரத்தில் மூலைவிட்டங்கள் இருசமக்கூறிடும்.
∴ AC யின் மையப்புள்ளி = BD-ன் மையப்புள்ளி 
i.e., \(\left[ \frac { 6+9 }{ 2 } ,\frac { 1+4 }{ 2 } \right] =\left[ \frac { 8+p }{ 2 } ,\frac { 2+3 }{ 2 } \right] \)
\(\left[ \frac { 15 }{ 2 } ,\frac { 5 }{ 2 } \right] =\left[ \frac { 8+p }{ 2 } ,\frac { 5 }{ 2 } \right] \)
\(\frac { 15 }{ 2 } ,\frac { 8+p }{ 2 } \)
P = 7 

BL மற்றும் CM என்பன ΔABC யின் நடுக்கோடுகள்
A = ∠90°.
ΔABC யிலிருந்து
BC² = AB² + AC² ...(1)
(பிதாகரஸ் தேற்றத்தின்படி)

ΔABL லிருந்து,
BL² = AL² + AB²
\(BL^{ 2 }={ \left( \frac { AC }{ 2 } \right) }^{ 2 }+{ AB }^{ 2 }\)....(1)
(L ஆனது BC யின் நடுப்புள்ளி)
\({ BL }^{ 2 }=\frac { { AC }^{ 2 } }{ 4 } +{ AB }^{ 2 }\)
4BL² = AC² + 4AB² ...(2)
ΔCMA லிருந்து,
CM² = AC² + AM²
\({ CM }^{ 2 }={ AC }^{ 2 }+{ \left( \frac { AB }{ 2 } \right) }^{ 2 }\)
(M ஆனது AB யின் நடுப்புள்ளி)
\({ CM }^{ 2 }={ AC }^{ 2 }+\frac { { AB }^{ 2 } }{ 4 } \) 
4CM² = 4AC² + AB² ...(3)
(2) மற்றும் (3) ஐ கூட்ட கிடைப்பது
4(BL² + CM²) = 5(AC² + AB²)
4(BL² + CM²) = 5BC² [(1) லிருந்து]

(i) குறுக்குச் சாலை மற்றும் வடக்குத் தெரு சந்திக்கும் புள்ளியைக் காணுதல்.
D(0, k) என்பது குறுக்குச் சாலையின் மேல் உள்ள புள்ளி ஆகும்.
எனவே, x = 0, y = k என குறுக்கு சாலையின் சமன்பாட்டில் பிரதியிட, நாம் பெறுவது
0 - 3k + 18 = 0
k = 6
எனவே, D ஆனது (0,6) ஆகும்
(ii) குறுக்குச் சாலை மற்றும் கிழக்கு நிழற்சாலை சந்திக்கும் புள்ளியைக் காணுதல்.
E-யின் ஆயப் புள்ளி (q, 2) என்க.
x = q, y = 2 எனக் குறுக்குச் சாலை சமன்பாட்டில் பிரதியிட
4q - 6 + 18 = 0
4q = -12 எனவே q = –3
ஆகவே, E என்ற புள்ளி (-3, 2)ஆகும்.
ஆதலால், குறுக்கு சாலையானது வடக்கு தெருவை D(0, 6) என்ற புள்ளியிலும், கிழக்கு நிழற்சாலையை E (-3, 2) என்ற புள்ளியிலும் சந்திக்கிறது.

வேகம் = 1.2 மீ/வினாடி, என்பது கொடுக்கப்பட்டது.
நேரம் = 4 வினாடி,
தொலைவு = வேகம் × நேரம்
= 1.2 x 4 = 4.8 மீ
4 வினாடிகளுக்குப் பிறகு சிறுவனுடைய நிழலின் நீளம் x என்க
\(\Delta ABE\sim \Delta CDE\) ஆகையால்,\(\cfrac { BE }{ DE } =\cfrac { AB }{ CD } \) எனவே \(\cfrac { 4.8+x }{ x } =\cfrac { 3.6 }{ 0.9 } =4\) (90 செ.மீ = 0.9 மீ)
4.8 + x = 4x  ⇒ 3x = 4.8 ஆகவே, x = 1.6 மீ
சிறுவனுடைய நிழலின் நீளம் DE = 1.6 மீ

\(\mathrm{f}: A \rightarrow B, \mathrm{f}(\mathrm{x})=\frac{x}{2}-1\)
A = {2, 4, 6, 10, 12}, B = {0,1, 2, 4, 5, 9}
f(2) = \(\frac {2 }{ 2 } -1 = 0\)
f(4) = \(\frac {4 }{ 2 } -1 = 1\)
f(6) = \(\frac {6 }{ 2 } -1 = 2\)
f(10) = \(\frac {10 }{ 2 } -1 = 4\)
f(12) = \(\frac {12 }{ 2 } -1 = 5\)
(i) வரிசைச் சோடிகளின் கணம் 
= {(2, 0), (4, 1), (6, 2), (10, 4), (12, 5)}
(ii) அட்டவணை 
x  2 4 6 10 12 f(x) 0 1 2 4 5 (iii) அம்புக்குறி படம்

A = {1,3,5} ,B = {2,3} எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன.
(i) A x B = {1,3,5} x {2,3} = {(1,2), (1,3), (3,2), (3,3), (5,2), (5,3)}  .......(1)
B x A = {2,3} x {1,3,5} = {(2,1), (2,3), (2,5), (3,1), (3,3), (3,5)}   .......(2)
(ii) (1) மற்றும் (2) -ன் மூலமாக  A x B ≠ B x A ஏனெனில்  (1,2) ≠ (2,1), (1,3) ≠ (3,1)...
(iii) n(A) = 3; n(B) = 2.
(1) மற்றும் (2)-லிருந்து நாம் காண்பது, n (A x B) = n (B x A) = 6;
n (A) x n (B) = 3 x 2 = 6 மற்றும் n (B) x n (A) = 2 x 3 = 6
எனவே, n (A x B) = n (B x A) = n(A) x n(B) = 6.
ஆகவே, n (A x B) = n (B x A) = n(A) x n(B).

\(\triangle A B C \sim \triangle P Q R\) எனில்,
\(\frac{A B}{P Q}=\frac{B C}{Q R}=\frac{A C}{P Q}=\) ΔABC இன் சுற்றளவு / ΔPQR இன் சுற்றளவு
AB + BC + CA = 36 செ. மீ 
\(\mathrm{PQ}+\mathrm{QR}+\mathrm{PR}=\) 24 செ.மீ 
\(\frac{A B}{P Q}=\frac{36}{24} \Rightarrow \frac{A B}{10}=\frac{36}{24} \)
\(\mathrm{AB}=\frac{36 \times 10}{24}\)
AB = 15 செ.மீ

\(\frac{x}{x^2-25}-\frac{8}{x^2+6 x+5} =\frac{x}{(x+5)(x-5)}-\frac{8}{(x+5)(x+1)}  \)
\(=\frac{x(x+1)-8(x-5)}{(x+5)(x-5)(x+1)}  \)
\(=\frac{x^2+x-8 x+40}{(x+5)(x-5)(x+1)}  \)
\(=\frac{x^2-7 x+40}{\left(x^2-25\right)(x+1)}\)

\(\left(1^3+2^3+3^3+\ldots+15^3\right)-(1+2+3+\ldots+15)   \)
\(=\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2-\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]  \)
\(=\left[\frac{15 \times 16}{2}\right]^2-\left[\frac{15 \times 16}{2}\right]=(120)^2-120\)
= 14400 - 120 = 14280

கொடுக்கப்பட்ட (5, 7), (3, p) மற்றும் (6,6) என்பன ஒரே கோடமைப் புள்ளிகள்
\(\therefore\) இப்புள்ளிகளால் அமையும் முக்கோணத்தின் பரப்பு பூச்சியம்.
அதாவது \(\frac{1}{2}\left\{x_1\left(y_2-y_3\right)+x_2\left(y_3-y_1\right)+x_3\left(y_1-y_2\right)\right\}=0\)
\(5(\mathrm{p}-6)+3(6-7)+6(7-\mathrm{p})=0 \)
\(5 \mathrm{p}-30-3+42-6 \mathrm{p}=0 \)
\(\Rightarrow-\mathrm{p}+9=0 \Rightarrow \mathrm{p}=9\)

கொடுக்கப்பட்டது: (a + 2, 4) = (5, 2a + b)
\(\begin{array}{rl|rl} a+2 & =5 & 2 a+b & =4 \\ a & =5-2 & 2(3)+b & =4 \\ & =3 & b=4-6 & =-2 \end{array} \)

ஏழு வருடங்களுக்கு முன்பு சுவாதியின் வயது = x ஆண்டுகள் என்க.
வருணின் வயது 5x² ஆண்டுகள் என்க.
சுவாதியின் தற்போதைய வயது =x+7 
வருணின் தற்போதைய வயது=(5x²+7)
3 ஆண்டுகளுக்கு பிறகு 
சுவாதியின் வயது =x+7+3
= x+10
வருணின் வயது= 5x²+7+3 
=5x²+10
3 ஆண்டுகளுக்குப் பிறகு சுவாதியின் வயது = \(\cfrac { 2 }{ 5 } \) வருணின் வயது 
\(\therefore x+10=\cfrac { 2 }{ 5 } \left( { 5x }^{ 2 }+10 \right) \\ \)
x+10=2x²+4
2x2-x-6=0
2x(x-2)+3(x-2)=0
(2x+3)(x-2)=0
x-2=0
x=0(\(\because\) 2x+3 \(\neq \)0 ஏனெனில் x>0)
சுவாதியின் தற்போதைய வயது =(2+7)ஆண்டுகள்
= 9ஆண்டுகள்
வருணின் தற்போதைய வயது =(5X²+7) ஆண்டுகள்
= 27 ஆண்டுகள்

a_n=3+2n
a₁=3+2=5
a₂=3+2x2=7
a₃=3+2x3=9
எண் வரிசை 5,7,9,11,...
இங்கு, 7-5=9-7=11-9=2
இது ஒரு A.P d=2
S₂₄=? n=24, a=5, d=2.
s₂₄=\(\frac{24}{2}\)[2x5+(24-1)x2]
=12[10+46]=672.
∴ 24 உறுப்புகளின் கூடுதல் =672.

A = {1, 2, 3, 4, 5}
B = {1, 2, 3, 4,....}|
f : A ⟶ B, f(x) = x²
∴ f (1) = 1² = 1
f (2) = 2² = 4
f (3) = 3² = 9
f (4) = 4² = 16
f (5) = 5² = 25
∴ f - ன் வீச்சகம் = {1, 4, 9, 16, 25}
வெவ்வேறான உறுப்புகள் வெவ்வேறு நிழல் உருக்களோடு தொடர்புபடுத்தப்பட்டுள்ளதால் இது ஒன்றுக்கு ஒன்றான சார்பு ஆகும். மேலும் 3 ∈ B இருப்பினும் f(x) = x² = 3 என்பதிற்கிணங்க என்ற ஒரு உறுப்பும் x ∈ A -ல் இல்லாததால், இது மேல் சார்பு அல்ல.

Δ-ன் பரப்பு
= \(\frac { 1 }{ 2 } \) [2(k + 3) + 4(- 3 - 3) + 6 (3 - k)] = 0
⇒ \(\frac { 1 }{ 2 } \) [-4k] = 0
⇒ k = 0
Δ ABC-யின் பரப்பு
= \(\frac { 1 }{ 2 } \) [2 (0 + 3) + 4(- 3 - 3) + 6(3 - 0)] = 0

ΔACD ~ ΔABC
ஆகையால்,
\(\frac { AC }{ AB } =\frac { AD }{ AC } \)
AC2 = AB·AD ...(1)
எனவே \(\frac { BC }{ BA } =\frac { BD }{ BC } \)
BC² = BA·BD ...(2)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து
\(\frac { { BC }^{ 2 } }{ { AC }^{ 2 } } =\frac { BA.BD }{ AB.AD } =\frac { BD }{ AD } \)

வரைமுறை:
படி 1:  AB = 5.5 செ.மீ என்ற கோட்டுத்துண்டு வரைந்தேன்.
படி 2: புள்ளி A வழியே ∠BAE = 25° என இருக்கும்படி AE வரைந்தேன்.
படி 3: புள்ளி A வழியே ∠EAF = 90° என இருக்கும்படி AF வரைந்தேன்.
படி 4: AB - இக்கு வரையப்படும் மையக்குத்துக்கோடு XY ஆனது AF ஐ O விலும், AB ஐ G-இலும் சந்திக்கிறது.
படி 5: O -வை மையமாகவும் OA -வை ஆரமாகவும் கொண்டு ஒரு வட்டம் வரைந்தேன்.
படி 6: G இலிருந்து மையக்குத்துக்கோடு XY-இல் GM = 4 செ.மீ  இருக்கும்படி ஒரு வில் வரைந்தேன்.
படி 7: AB இக்கு இணையாக M வழியே PQ என்ற கோடு வரைந்தேன்.
படி 8: PQ ஆனது வட்டத்தை C மற்றும் S இல் சந்திக்கிறது
படி 9: AC மற்றும் BC ஐ இணைத்தேன். ΔABC ஆனது தேவையான முக்கோணம் ஆகும்.

படி 1 y = x² - 4x + 3 யின் வரைபடம் வரைவதற்குக் கீழ்க்கண்ட மதிப்புகளை அட்டவணைப்படுத்த வேண்டும்.

x	-2	-1	0	1	2	3	4
y	15	8	3	0	-1	0	3

படி 2 : x² - 6x + 9 என்ற சமன்பாட்டைத் தீர்வு காண்பதற்கு y = x² - 4x + 3 லிருந்து x² - 6x + 9 = 0 ஐக் கழிக்க வேண்டும்

y = 2x - 6 என்பது ஒரு நேர்கோட்டின் சமன்பாடு ஆகும். y = 2x - 6 -யின் வரைபடம் வரைவதற்கு மதிப்புகளைக் கீழ்க்கண்டவாறு அட்டவணைப்படுத்த வேண்டும்.

x	0	1	2	3	4	5
y	-6	-4	-2	0	2	4

y = 2x - 6 என்ற நேர்க்கோடும் y = x² - 4x + 3 என்ற பரவளையமும் ஒரே ஒரு புள்ளியில் சந்திக்கின்றன.
படி 3: y = x² - 4x + 3 என்ற பரவளையமும் y = 2x - 6 என்ற நேர்கோடும் (3, 0) என்ற புள்ளியில் தொடுகின்றன. எனவே, இதன் x ஆயத் தொலைவு 3 என்பதே x² - 6x + 9 = 0 என்ற சமன்பாட்டின் தீர்வு ஆகும்.

இயந்திரத்தின் தற்போதைய மதிப்பு ரூ.40,000. அதன் மதிப்பு ஒவ்வொரு வருட முடிவில் 10% குறையும் என்பதால், முதல் வருட முடிவில் அதன் மதிப்பு ஆரம்ப மதிப்பில் 90% ஆக இருக்கும்.
அதாவது முதல் வருட முடிவில் இயந்திரத்தின் மதிப்பு 40,000 x \(\frac { 90 }{ 100 } \) ஆகும்.
இரண்டு வருடம் கழித்து இயந்திரத்தின் மதிப்பானது முதல் வருட மதிப்பில் 90% ஆக இருக்கும்.
இரண்டாம் வருட முடிவில் இயந்திரத்தின் மதிப்பானது 40,000 x \(\left( \frac { 90 }{ 100 } \right) ^{ 2 }\) ஆகும்.
இந்த வகையில் தொடர்ந்தால், இயந்திரத்தின் மதிப்பு பின்வருமாறு குறைகிறது.
\(40000,40000\times \frac { 90 }{ 100 } ,40000\times \left( \frac { 90 }{ 100 } \right) ^{ 2 }...\)
இந்தத் தொடர்வரிசை முதல் உறுப்பு 40,000 மற்றும் பொது விகிதம் \(\frac { 90 }{ 100 } \) உடைய ஒரு பெருக்குத் தொடர்வரிசை ஆகும்.
6வது வருடத்தில் இயந்திரத்தின் மதிப்பைக் காண (5வது வருட முடிவில்), பெருக்குத் தொடர்வரிசையின் 6-வது உறுப்பைக் கண்டறிய வேண்டும்.
ஆகவே, n = 6, a = 40,000, r = \(\frac { 90 }{ 100 } \)
t_n = ar^n-1, என்பதைப் பயன்படுத்த t₆ = \(40,000\times \left( \frac { 90 }{ 100 } \right) ^{ 6-1 }=40000\times \left( \frac { 90 }{ 100 } \right) ^{ 5 }\)
t₆ = \(40,000 \times \frac { 9 }{ 10 } \times \frac { 9 }{ 10 } \times \frac { 9 }{ 10 } \times \frac { 9 }{ 10 } \times \frac { 9 }{ 10 } \) = 23619.6
எனவே, 6-வது வருடத்தில் இயந்திரத்தின் மதிப்பு = ரூ.23619.60

1,-1,-3,-5
t₂-t₁=-1-1=-2
t₃-t₂=-3-(-1)=-2
t₄-t₃=-5-(-3)=-2
இது ஒரு A.P பொது வித்தியாசம் -2.
அடுத்த இரண்டு உறுப்புகள் (-5+(-2))=-7,-7+(-2)=-9, i.e \(\underline { -7 } ,\underline {-9} .\)

R-ன் மதிப்பகம் = {1, 2, 3, 4}
R-ன் துணை மதிப்பகம் = B = {-1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
R-ன் வீச்சகம் = {3, 6, 10, 9} 

P(x, y) எனும் புள்ளி A(7, 1) மற்றும் B(3, 5) யிலிருந்து சமதூரத்தில் உள்ள புள்ளி. இங்கு AP = BP. ஆகையால் AP² = BP².
(x - 7)² + (y - 1)² = (x - 3)² + (y - 5)²
x² - 14x + 49 + y² - 2y + 1 = x² - 6x + 9 + y² - 10y + 25
x - y = 2
இதுவே தேவையான உறவு ஆகும்.

PQ||RS

அதனால், ∠P = ∠S (ஒன்றுவிட்ட கோணங்கள்)
∠Q = ∠R
∠PQR = ∠SOR(குத்தெதிர் கோணங்கள் சமம்)
∴ ΔPOQ∼ΔSOR (AAA  விதிமுறைப்படி)

கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் (1,-5) மற்றும் (4,2)
(1,-5),(4,2) ஆகிய புள்ளிகளை சேர்க்கும் கோட்டின் நடுப்புள்ளி
\(=\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)=\left(\frac{1+4}{2}, \frac{-5+2}{2}\right)  \)
\(=\left(\frac{5}{2},-\frac{3}{2}\right)\)
\(\left(\frac{5}{2},-\frac{3}{2}\right) \)
\(\left(\frac{5}{2},-\frac{3}{2}\right)\)புள்ளி வழிச் செல்வதும் Y -அச்சிற்கு இணையானதுமான கோட்டின் சமன்பாடு x = a.
அதாவது, \(x=\frac{5}{2} \Rightarrow 2 x-5=0\)

\(\frac{x^3-y^3}{3 x^2+9 x y+6 y^2} \times \frac{x^2+2 x y+y^2}{x^2-y^2} \)
\(=\frac{(x-y)\left(x^2+x y+y^2\right)}{(3 x+6 y)(x+y)} \times \frac{(x+y)^2}{(x+y)(x-y)}  \)
\(=\frac{x^2+x y+y^2}{3 x+6 y}  =\frac{x^2+x y+y^2}{3(x+2 y)}\)

AB = 5.6 செ.மீ. AD = 1.4 செ.மீ, AC = 7.2 செ.மீ மற்றும் AE = 1.8 செ.மீ.
BD = AB - AD = 5.6 - 1.4 = 4.2 செ.மீ
மற்றும் EC = AC - AE = 7.2 - 1.8 = 5.4 செ.மீ
\(\cfrac { AD }{ DB } =\cfrac { 1.4 }{ 4.2 } =\cfrac { 1 }{ 3 } \) மற்றும் \(\cfrac { AE }{ EC } =\cfrac { 1.8 }{ 5.4 } =\cfrac { 1 }{ 3 } \)
\(\cfrac { AD }{ DB } =\cfrac { AE }{ EC } \)
எனவே, அடிப்படை விகிதசம தேற்றத்தின் மறுதலையின்படி DE -யானது BC-க்கு இணை ஆகும்.

\(\left[\begin{matrix} 12 & 3 \\ x & 5 \end{matrix} \right] =\left[\begin{matrix} y & z \\ 3 & 5 \end{matrix} \right] \)
ஒத்த உறுப்புக்களைச் சமப்படுத்த
x = 3, y = 12, z = 3